1、5.5数学归纳法必备知识基础练1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为12n(n-3)条时,第一步验证n等于()A.1B.2C.3D.02.用数学归纳法证明n33n2+3n+1这一不等式时,应注意n必须为()A.nN+B.nN+,n2C.nN+,n3D.nN+,n43.用数学归纳法证明1n+1+1n+2+13n56时,从n=k到n=k+1,不等式左边需添加的项是()A.13k+1+13k+2+13k+3B.13k+1+13k+223k+3C.13k+31k+1D.13k+34.用数学归纳法证明“2n+1n2+n+2(nN+)”时,第一步的验证为.5.用数学归纳法证明:1+5+9+13+(4n
2、-3)=2n2-n(nN+).6.数列an的前n项和为Sn,且满足an=Sn+1Sn-2(nN+).(1)求S1,S2,S3,S4的值;(2)猜想数列Sn的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.关键能力提升练7.利用数学归纳法证明1n+1n+1+1n+2+12nn2,请补全证明过程:(1)当n=1时,f(21)=1+1212.(2)假设n=k(kN+)时命题成立,即f(2k)k2,则当n=k+1时,f(2k+1)=f(2k)+k+12,即当n=k+1时,命题成立.综上所述,对任意nN+,都有f(2n)n2成立.13.用数学归纳法证明“设f(n)=1+12+13+1n”,则2+f(1)+f(2)
3、+f(n-1)=nf(n)(nN+,n2)时,第一步要证的式子是.14.是否存在a,b,c,使等式1n2+2n2+3n2+nn2=an2+bn+cn对一切nN+都成立?若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论.15.(2022江西赣州高二期中)已知数列an满足a1=13,前n项和Sn=(2n2-n)an.(1)求a2,a3,a4的值并猜想an的表达式;(2)用数学归纳法证明(1)的猜想.学科素养创新练16.(多选题)用数学归纳法证明2n-12n+1nn+1对任意nk(n,kN+)都成立,则以下满足条件的k的值为()A.1B.2C.3D.417.已知m,n为正整数,(1)证明:当x-
4、1时,(1+x)m1+mx;(2)对于n6,已知1-1n+3n12,求证:1-mn+3n3n2+3n+1这一不等式时,应注意n必须为nN+,n4,故选D.3.B当n=k时,左边为1k+1+1k+2+13k,当n=k+1时,左边为1k+2+1k+3+13k+13k+1+13k+2+13k+3,所以左边需添加的项是13k+1+13k+2+13k+31k+1=13k+1+13k+223k+3,故选B.4.当n=1时,左边=4,右边=4,左右,不等式成立5.证明(1)当n=1时,左边=1,右边=1,命题成立.(2)假设n=k(k1,kN+)时,命题成立,即1+5+9+13+(4k-3)=2k2-k.则
5、当n=k+1时,1+5+9+13+(4k-3)+(4k+1)=2k2-k+(4k+1)=2k2+3k+1=2(k+1)2-(k+1).所以当n=k+1时,命题成立.综合(1)(2)可知,原命题成立.6.解(1)当n=1时,a1=S1=S1+1S1-2,S1=12.又a2=S2-S1=S2+1S2-2,S2=23,同理S3=34,S4=45.(2)猜想Sn=nn+1(nN+).下面用数学归纳法证明这个结论.当n=1时,结论成立.假设n=k(kN+)时结论成立,即Sk=kk+1,当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=Sk+1+1Sk+1-2,1Sk+1=2-Sk.Sk+1=12-Sk=12-k
6、k+1=k+1k+2,即当n=k+1时结论成立.由,知Sn=nn+1对任意的正整数n都成立.7.C不等式左端共有n+1项,且分母是首项为n,公差为1,末项为2n的等差数列,当n=k时,左端为1k+1k+1+1k+2+12k;当n=k+1时,左端为1k+1+1k+2+1k+3+12k+12k+1+12k+2,对比两式,可得结论.8.CP(n)对n=6不成立,无法判断当n6时,P(n)是否成立,故A错误;假设P(n)对n=5成立,则根据推理关系,得P(n)对n=6成立,与条件P(n)对n=6不成立矛盾,假设不成立,故B错误;同理可得,当nk2,当n=k+1时,f(2k+1)=1+12+13+1k+
7、12k+12k+1+12k+2+12k+1=f(2k)+12k+1+12k+2+12k+1k+12,故答案为12k+1+12k+2+12k+1.13.2+f(1)=2f(2)n2,n0=2.观察等式左边最后一项,将n0=2代入等式,可得2+f(1)=2f(2).14.解取n=1,2,3可得a+b+c=1,8a+4b+2c=5,27a+9b+3c=14,解得a=13,b=12,c=16.下面用数学归纳法证明1n2+2n2+3n2+nn2=2n2+3n+16n=(n+1)(2n+1)6n.即证12+22+n2=16n(n+1)(2n+1),当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立;假设当n=k(k
8、N+)时等式成立,即12+22+k2=16k(k+1)(2k+1)成立,则当n=k+1时,等式左边=12+22+k2+(k+1)2=16k(k+1)(2k+1)+(k+1)2=16k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2=16(k+1)(2k2+7k+6)=16(k+1)(k+2)(2k+3),当n=k+1时等式成立.由数学归纳法,综合,知当nN+时等式成立,故存在a=13,b=12,c=16使已知等式成立.15.解(1)a1=13,前n项和Sn=(2n2-n)an,令n=2,得a1+a2=6a2,a2=135=115.令n=3,得a1+a2+a3=15a2,a3=157=135.令n=4,得
9、a1+a2+a3+a4=28a2,a4=179=163.猜想an=1(2n-1)(2n+1).(2)证明如下:当n=1时,结论成立;假设当n=k(kN+)时,结论成立,即ak=1(2k-1)(2k+1),则当n=k+1时,Sk=(2k2-k)ak=k2k+1,Sk+1=2(k+1)2-(k+1)ak+1,即Sk+1=Sk+ak+1=k2k+1+ak+1=2(k+1)2-(k+1)ak+1,k(2k+3)ak+1=k2k+1,ak+1=1(2k+1)(2k+3),当n=k+1时结论成立.由可知,对一切nN+都有an=1(2n-1)(2n+1)成立.16.CD取n=1,则2n-12n+1=13,n
10、n+1=12,2n-12n+1nn+1不成立;取n=2,则2n-12n+1=35,nn+1=23,2n-12n+1nn+1不成立;取n=3,则2n-12n+1=79,nn+1=34,2n-12n+1nn+1成立;取n=4,则2n-12n+1=1517,nn+1=45,2n-12n+1nn+1成立;下面证明:当n3时,2n-12n+1nn+1成立.当n=3,则2n-12n+1=79,nn+1=34,2n-12n+1nn+1成立;设当n=k(k3)时,有2k-12k+1kk+1成立,则当n=k+1时,有2k+1-12k+1+1=32k-12k+1+12k-12k+1+3,令t=2k-12k+1,则
11、2k+1-12k+1+1=3t+1t+3=3-8t+3,因为tkk+1,故2k+1-12k+1+13-8kk+1+3=4k+14k+3,因为4k+14k+3k+1k+2=2k-1(4k+3)(k+2)0,所以2k+1-12k+1+1k+1k+2=k+1(k+1)+1,所以当n=k+1时,不等式也成立,由数学归纳法可知,2n-12n+1nn+1对任意的n3都成立.故选CD.17.(1)证明当x=0时,11,即(1+x)m1+mx成立;当x0时,用数学归纳法证明.当m=1时,原不等式成立;当m=2时,左边=1+2x+x2,右边=1+2x,因为x20,所以左边右边,原不等式成立.假设当m=k时,不等
12、式成立,即(1+x)k1+kx,则当m=k+1时,x-1,1+x0,于是在不等式(1+x)k1+kx两边同乘以1+x,得(1+x)k(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,所以(1+x)k+11+(k+1)x,即当m=k+1时,不等式也成立.综合知,对一切正整数m不等式都成立.(2)证明当n6,mn时,由(1),得1-1n+3m1-mn+30,于是1-mn+3n1-1n+3nm=1-1n+3nm12m,m=1,2,n.(3)解由(2)知,当n6时,1-1n+3n+1-2n+3n+1-nn+3n12+122+12n=1-12n1,n+2n+3n+n+1n+3n+3n+3n1,即3n+4n+(n+2)n(n+3)n,即当n6时,不存在满足等式3n+4n+(n+2)n=(n+3)n的正整数n.故只需要讨论n=1,2,3,4,5的情形:当n=1时,34,等式不成立;当n=2时,32+42=52,等式成立;当n=3时,33+43+53=63,等式成立;当n=4时,34+44+54+64为偶数,而74为奇数,故34+44+54+6474,等式不成立;当n=5时,同n=4的情形可分析出,等式不成立.综上,所求的n只有n=2,3.
