1、高 考 总 复 习 艺考生山东版数学 第6节 离散型随机变量的分布列及均值与方差第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布最新考纲核心素养考情聚焦1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用3.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念4.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题1.离散型随机变量的分布列，达成数据分析、逻辑推理和数学抽象的素养2.离散型随机变量的期望与方差，增强数据分析、逻辑推理和数学运算的素养3.超几何分布，增强数据分析、逻辑推理和数学抽象的素养2020年的高考
2、预计与分布列相结合，考查期望、方差，通过设置密切贴近现实生活的场景，考查概率思想的应用意识和创新意识一般以解答题形式出现，难度中等1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为 随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为 离散型 随机变量2离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1，x2，xi，xn，X 取每一个值 xi(i1,2，n)的概率 P(Xxi)pi，则表Xx1x2xixnPp1p2pipn称为离散型随机变量 X 的 概率分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质：pi0(i1,2，n)；p1p2pn 13常见离散型随机变量的分布列(
3、1)两点分布：若随机变量 X 服从两点分布，其分布列为X01P1pp 其中 pP(X1)称为成功概率(2)超几何分布：在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(Xk)CkMCnkNMCnN，(k0,1,2，m，其中 mminM，n，且 nN，MN，n，M，NN*)，称分布列为超几何分布列如果随机变量 X 的分布列具有下表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布X01mPC0MCn0NMCnNC1MCn1NMCnNCmMCnmNMCnN4.离散型随机变量 X 的均值与方差(1)均值：称 E(X)x1p1x2p2xipixnpn 为随机变量 X的均值或数学期望
4、(2)方差：称 D(X)n,i1(xiE(X)2pi 为随机变量 X 的方差，它刻画了随机变量 X 与其均值 E(X)的平均偏离程度，称其算术平方根 DX为随机变量 X 的标准差(3)均值与方差的性质：E(aXb)aE(X)b.D(aXb)a2D(X)(a，b 为常数)1.随机变量的线性关系若 X 是随机变量，YaXb，a，b 是常数，则 Y 也是随机变量2分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为 1 可求参数的值(2)随机变量 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率思考辨析 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“”，错误的打“”(1)随机试
5、验所有可能的结果是明确的，并且不止一个()(2)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出()(3)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定()(4)如果随机变量 X 的分布列由下表给出：X25P0.30.7则它服从二点分布()(5)从 4 名男演员和 3 名女演员中选出 4 人，其中女演员的人数 X服从超几何分布()(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)小题查验1袋中装有 10 个红球、5 个黑球每次随机抽取 1 个球后，若取得黑球则另换 1 个红球放回袋中，直到
6、取到红球为止若抽取的次数为，则表示“放回 5 个红球”事件的是()A4 B5 C6 D5解析：C“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故6.故选 C.2(人教 A 版教材 P49A 组 T5 改编)设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数，则 P(X0)等于()A0 B.12C.13D.23解析：C 设失败率为 p，则成功率为 2p.X 的分布列为 X 0 1 P p 2p 即“X 0”表示试验失败，“X 1”表示试验成功，由 p2p1 得 p13，故选 C.3已知某离散型随机变量 X 的分布列如下表，则随机变量 X 的方差 D(X)等于
7、()X01Pm2mA.19B.29C.13D.23解析：B 由已知得 m2m1 得 m13，由于 X 服从两点分布，所以 D(X)m2m29.4(2019石家庄市模拟)一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的，3 个旧的，从盒子中任取 3 个球来用，用完即为旧的，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量，则 P(X4)的值为 _.解析：事件“X4”表示取出的 3 个球有 1 个新球，2 个旧球，故 P(X4)C19C23C312 27220.答案：272205设离散型随机变量 的可能取值为 1,2,3,4，P(k)akb(k1,2,3,4)又 E()3，则 ab _.解析：因为
8、P(1)P(2)P(3)P(4)10a4b1，又 E()30a10b3，解得 a110，b0，所以 ab110.答案：110 考点一 离散型随机变量的分布列(自主练透)题组集训1已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结束(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用 100 元，设 X 表示直到检测出 2件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求 X 的分布列和均值(数学期望)解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次
9、检测出的是正品”为事件 A，P(A)A12A13A25 310.(2)X 的可能取值为 200,300,400.P(X200)A22A25 110，P(X300)A33C12C13A22A35 310，P(X400)1P(X200)P(X300)1 110 310 610.故 X 的分布列为X200300400P110310610E()200 110300 310400 6102090240350.2(2019赣州市模拟)盒内有大小相同的 9 个球，其中 2 个红色球，3 个白色球，4 个黑色球规定取出 1 个红色球得 1 分，取出 1个白色球得 0 分，取出 1 个黑色球得1 分现从盒内任取
10、 3 个球(1)求取出的 3 个球中至少有一个红球的概率；(2)求取出的 3 个球得分之和恰为 1 分的概率；(3)设 为取出的 3 个球中白色球的个数，求 的分布列解：(1)P1C37C39 712.(2)记“取出 1 个红色球，2 个白色球”为事件 B，“取出 2 个红色球，1 个黑色球”为事件 C，则 P(BC)P(B)P(C)C12C23C39 C22C14C39 542.(3)可能的取值为 0,1,2,3，服从超几何分布，P(k)Ck3C3k6C39，k0,1,2,3.故 P(0)C36C39 521，P(1)C13C26C39 1528，P(2)C23C16C39 314，P(3)
11、C33C39 184.的分布列为0123P5211528314184求解离散型随机变量 X 的分布列的步骤：理解 X 的意义，写出 X 可能取的全部值；求 X 取每个值的概率；写出 X 的分布列提醒：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识考点二 离散型随机变量的期望与方差(师生共研)典例(2019贵阳监测)从 A 地到 B 地共有两条路径 L1 和 L2，经过这两条路径所用的时间互不影响，且经过 L1 和 L2 所用时间的频率分布直方图分别如图和.现甲选择 L1 或 L2 在 40 分钟内从 A 地到 B 地，乙选择 L1 或
12、L2 在 50 分钟内从 A 地到 B 地(1)求图中 a 的值；并回答，为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到 B 地，甲和乙应如何选择各自的路径？(2)用 X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到 B 地的人数，针对(1)中的选择方案，求 X 的分布列和数学期望解(1)(0.010.023a)101，解得 a0.03，用 A i表示甲选择 Li(i1,2)在 40 分钟内从 A 地到 B 地，用 B i表示乙选择 Li(i1,2)在 50 分钟内从 A 地到 B 地，则 P(A 1)(0.010.020.03)100.6，P(A 2)(0.010.04)100.5，P(A 1)P(A 2)，
13、所以甲应选择 L1.又 P(B 1)(0.010.020.030.02)100.8，P(B 2)(0.010.040.04)100.9，P(B 2)P(B 1)，所以乙应选择 L2.(2)用 M，N 分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙两人在各自允许的时间内赶到 B 地，由(1)知 P(M)0.6，P(N)0.9，X 的可能取值为 0,1,2.由题意知，M，N 相互独立，所以 P(X 0)0.40.10.04，P(X 1)0.40.90.60.10.42，P(X 2)0.60.90.54，所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.04 0.42 0.54 所以 E(X)00.0410.42
14、20.541.5.求离散型随机变量 的均值与方差的方法(1)理解 的意义，写出 可能取的全部值；(2)求 取每个值的概率；(3)写出 的分布列；(4)由均值的定义求 E()；(5)由方差的定义求 D()跟踪训练随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化。某调查机构随机抽取 10 名购物者进行采访，5 名男性购物者中有 3名倾向于选择网购，2 名倾向于选择实体店，5 名女性购物者中有 2名倾向于选择网购，3 名倾向于选择实体店(1)若从 10 名购物者中随机抽取 2 名，其中男、女各一名，求至少 1 名倾向于选择实体店的概率；(2)若从这 10 名购物者中随机抽取 3 名，设 X 表
15、示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求 X 的分布列和数学期望解：(1)设“随机抽取 2 名，其中男、女各一名，至少 1 名倾向于选择实体店”为事件 A，则 A 表示事件“随机抽取 2 名，其中男、女各一名，都倾向于选择网购”，则 P(A)1P(A)1C13C12C15C151925.(2)X 所有可能的取值为 0,1,2,3，且 P(Xk)Ck3C3k7C310，则 P(X0)C03C37C310 724，P(X1)C13C27C310 2140，P(X2)C23C17C310 740，P(X3)C33C07C310 1120.所以 X 的分布列为X0123P72421407401120
16、E(X)0 724121402 7403 1120 910.考点三 超几何分布(师生共研)典例(2018天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为 24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，现从这 7人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查()用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 X的分布列与数学期望；()设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 A 发生的概率解析(1)由已知，甲
17、、乙、丙三个部门的员工人数之比为 322，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，2 人(2)()随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.P(Xk)Ck4C3k3C37(k0,1,2,3)所以，随机变量 X 的分布列为X0123P13512351835435随机变量 X 的数学期望 E(X)0 13511235218353 435127.()设事件 B 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2 人”；事件 C 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，则 ABC，且
18、 B 与 C 互斥，由()知，P(B)P(X2)，P(C)P(X1)故 P(A)P(BC)P(X2)P(X1)1235183567.所以，事件 A 发生的概率为67.1超几何分布的两个特点(1)超几何分布是不放回抽样问题(2)随机变量为抽到的某类个体的个数2超几何分布的特征：考查对象分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考查某类个体个数 X 的概率分布3超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型跟踪训练(2019河南豫南九校二模)为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共 200 名司机，他们进行“
19、爱心送考”的次数统计如图所示(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；(2)从这 200 名司机中任选两人，设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量 X，求 X 的分布列及数学期望解：(1)由统计图得 200 名司机中送考 1 次的有 20 人，送考 2 次的有 100 人，送考 3 次的有 80 人，所以该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为20110028032002.3.(2)从该公司任选两名司机，记“这两人中一人送考 1 次，另一人送考 2 次”为事件 A，“这两人中一人送考 2 次，另一人送考 3 次”为事件 B，“这两人中一人送考 1 次，另一人送考 3 次”为事件 C，“这两人送考次数相同”为事件 D，由题意知 X 的所有可能取值为 0,1,2，P(X1)P(A)P(B)C120C1100C2200 C1100C180C2200 100199，P(X2)P(C)C120C180C2200 16199，P(X0)P(D)C220C2100C280C2200 83199，所以 X 的分布列为X012P8319910019916199E(X)0 8319911001992 16199132199.
