1、第五章计数原理 4 二项式定理4.1 二项式定理的推导 课后篇巩固提升合格考达标练1.(x+2)6的展开式中 x3的系数是()A.20B.40C.80D.160答案 D解析设含 x3的项为第 k+1 项,则 Tk+1=x6-k2k,令 6-k=3,得 k=3,故展开式中 x3的系数为 23=160.2.二项式()的展开式的常数项是()A.7B.14C.D.答案 A解析该二项式的通项为 Tk+1=-()-.令-=0,解得 k=2,所以所求常数项为 =7.3.(x-y)10的展开式中 x6y4的系数是()A.840B.-840C.210D.-210答案 A解析在二项式通项 Tk+1=(-y)kx1
2、0-k中,令 k=4,即得(x-y)10的展开式中 x6y4项的系数为 (-)4=840.4.(1-)20的二项展开式中,x 的系数与 x9的系数之差为()A.190B.380C.-190D.0答案 D解析(1-)20的二项展开式的通项为 Tk+1=(-1)k ,x 的系数为 =190,x9的系数为 =190,所以它们的差为 0.5.在(-)的展开式中,x2的系数为 .答案 解析(-)的展开式的通项 Tk+1=x5-k(-)(-)-,令 5-k=2,得 k=2,所以 x2的系数为(-).6.(x-y)(x+y)8的展开式中 x2y7的系数为 (用数字作答).答案-20解析 x2y7=x(xy7
3、),其系数为 ,x2y7=y(x2y6),其系数为-,x2y7的系数为 =8-28=-20.7.(-)的展开式中,常数项的值为 .答案 8.求证:32n+2-8n-9(nN+)能被 64 整除.证明 32n+2-8n-9=(8+1)n+1-8n-9=8n+1+8n+-8n-9=8n+1+8n+-82+8+1-8n-9=8n+1+8n+-82.该式每一项都含因式 82,故能被 64 整除.9.已知在()的展开式中,第 5 项的系数与第 3 项的系数之比为 563,求展开式中的常数项.解 T5=)n-424x-8=16 -,T3=)n-222x-4=4 -.由题意知,解得 n=10.原二项式的通项
4、为 Tk+1=)10-k2kx-2k=2k -,令 -=0,解得 k=2,展开式中的常数项为 22=180.等级考提升练10.(2020 河南郑州期中)已知(2-x)10=a0+a1x+a2x2+a10 x10,则 a8等于()A.180B.-180C.45D.-45答案 A解析 a8=22=180.11.(2020 河北保定期中)若(1+3x)n(nN+)的展开式中,第 3 项的二项式系数为 6,则第 4 项的系数为()A.4B.27C.36D.108答案 D解析(1+3x)n展开式的第 k+1 项为 Tk+1=(3x)k,由 =6,得 n=4,从而 T4=(3x)3,故第 4 项的系数为
5、33=108.12.(2020 山西太原一中月考)(x-2y)6的展开式中,x4y2的系数为()A.15B.-15C.60D.-60答案 C解析(x-2y)6展开式的第 k+1 项为 Tk+1=x6-k(-2y)k,令 k=2,则 x4y2的系数为 (-2)2=60.13.(1+3x)n(其中 nN+,且 n6)的展开式中,若 x5与 x6的系数相等,则 n 等于()A.6B.7C.8D.9答案 B解析二项式(1+3x)n的通项是 Tk+1=(3x)k=3k xk,依题意得 35 =36 ,即 =3 -(n6),解得 n=7.14.(多选题)若(2-x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则()A.a0=64B.a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=1C.a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36D.a3是 a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6中的最大值答案 ABC解析(2-x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,令 x=0,有 26=a0=64,故选项 A 正确;令 x=1,有(2-1)6=1=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6,故选项 B 正确;令 x=-1,有(2+1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36,故选项 C 正确;又 a3=23(-1)30,m=2.
