1、第三章空间向量与立体几何 3 空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示3.2 空间向量运算的坐标表示及应用 课后篇巩固提升合格考达标练1.在空间直角坐标系 O-xyz 中,已知点 A(1,-2,0)和向量 a=(-3,4,12),且 =2a,则点 B 的坐标为()A.(-7,10,24)B.(7,-10,-24)C.(-6,8,24)D.(-5,6,24)答案 D解析a=(-3,4,12),且 =2a,=(-6,8,24),A(1,-2,0),点 B 的坐标是(-5,6,24),故选 D.2.已知 a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若 a(a-b),则实数 的值为()A.-2B.-C
2、.D.2答案 D解析由题意知,a-b=(-2+,1-2,3-),因为 a(a-b),所以 a(a-b)=(4-2)+(1-2)+(9-3)=14-7=0,解得=2.3.已知向量 a=(1,1,0),b=(-1,0,2),则|3a+b|=()A.B.4C.5D.答案 D4.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M 是棱 DD1的中点,O 为底面 ABCD 的中心,P 为棱 A1B1上任意一点,则直线 OP 与 AM 所成的角为()A.45B.60C.90D.不能确定答案 C解析建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为 2,A1P=p,易得 =(-2,0,1),=(1,p-1,2),而 =
3、-2+0+2=0,所以 ,即 OPAM,所以直线 OP 与 AM 所成的角为 90.故选 C.5.已知 A(0,0,-x),B(1,2),C(x,2)三点,点 M 在平面 ABC 内,O 是平面 ABC 外一点,且 =x +2x +4 ,则 与 的夹角为()A.B.C.D.答案 C解析由 A,B,C,M 四点共面可知 x+2x+4=1,x=-1,A(0,0,1),C(-1,2),=(1,1),=(-1,1),cos=,即 与 的夹角为 .故选 C.6.已知向量 a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)2b=-2,则实数 x=.答案-8解析由已知得 c+a=(2,
4、2,x+1),2b=(2,4,2),所以(c+a)2b=4+8+2(x+1)=-2,解得 x=-8.7.已知向量 a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)c=7,则 a 与 c 的夹角为 .答案 120解析由题得 a+b=(-1,-2,-3),所以|a+b|=.因为(a+b)c=7,所以 a+b 与 c 夹角的余弦值为 ,即夹角为 60.因为 a=(1,2,3)与 a+b=(-1,-2,-3)方向相反,所以可知 a 与 c 的夹角为 120.8.已知 a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),ab,bc,求:(1)a,b,c;(2)a+c 与
5、 b+c 所成角的余弦值.解(1)因为 ab,所以-,解得 x=2,y=-4,这时 a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又因为 bc,所以 bc=0,即-6+8-z=0,解得 z=2,所以 c=(3,-2,2).(2)由(1)得 a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),所以 a+c 与 b+c 所成角的余弦值 cos=-=-.9.如图所示,在正四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,O 是 AC 与 BD 的交点,PO=1,M是 PC 的中点.设 =a,=b,=c.(1)用向量 a,b,c 表示 ;(2)在如图所示的空间直角坐标系中,求 的坐标.解
6、(1),)=)=-=-a+b+c.(2)a=(1,0,0),b=(0,1,0).A(0,0,0),O ,0,P ,1,c=,1,=-a+b+c=-(1,0,0)+(0,1,0)+,1=-.等级考提升练10.已知 a+b=(2,2),a-b=(0,0),则 cos等于()A.B.C.D.答案 C11.已知两点 A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),当|取最小值时,x 的值等于()A.19B.-C.D.答案 C解析 =(1-x,2x-3,3-3x),|2=(1-x)2+(2x-3)2+(3-3x)2=14x2-32x+19=14(-),当且仅当 x=时,|取得最小值.故选 C.12
7、.已知 A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则 与 的夹角是()A.30B.45C.60D.90答案 C13.(多选题)下列各组向量中共面的有()A.a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5)B.a=(1,2,-1),b=(0,2,-4),c=(0,-1,2)C.a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1)D.a=(1,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)答案 ABC解析选项 A 中,设 a=x b+y c,则 解得 -故存在实数 x=-1,y=1 使得 a=-b+c,因此a,b,c 共面.选项 B 中 b=-2c,选项 C
8、中 c=a-b.故 B,C 中三个向量也共面.选项 D 中,设 a=xb+yc,则 显然无解,故 a,b,c 不共面.14.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,下列计算结果一定等于 0 的是()A.B.C.D.答案 C解析如图,以 D 为原点,分别以 DA,DC,DD1所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,设DA,DC,DD1的长度分别为 a,b,c,则 A(a,0,0),B(a,b,0),C(0,b,0),D(0,0,0),B1(a,b,c),C1(0,b,c),D1(0,0,c),=(-a,0,c),=(-a,0,-c),=(-a,-b,c),=(-a,b,0),=(0
9、,b,0),=(-a,0,0),=a2-c2,当 ac 时,0;=a2-b2,当 ab 时,0;=0;=a20.故选 ABC.15.已知空间三点 A(0,2,3),B(2,5,2),C(-2,3,6),则以 AB,AC 为邻边的平行四边形的面积为 .答案 6 解析由题意可得 =(2,3,-1),=(-2,1,3),|=,|=,所以cos=-=-,所以 sin=,则以 AB,AC 为邻边的平行四边形的面积为 S=6.16.已知点 A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),O(0,0,0),点 Q 在直线 OP 上运动,当 取得最小值时,点 Q 的坐标为 .答案()解析设 =(,2),
10、则 Q(,2),故 =(1-,2-,3-2),=(2-,1-,2-2),所以 =62-16+10=6(-),当=时,取最小值,此时点 Q 的坐标为().17.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以 和 为邻边的平行四边形的面积;(2)若|a|=,且 a 分别与 垂直,求向量 a 的坐标.解(1)由题中条件可知,=(-2,-1,3),=(1,-3,2),所以 cos=-.于是 sin=.故以 和 为邻边的平行四边形的面积为S=|sin=14 =7.(2)设 a=(x,y,z),由题意得 -解得 或 -故 a=(1,1,1)或 a=(-1,-1,-1).新情境创新练18.已知 A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).(1)若 ,求点 D 的坐标;(2)是否存在实数,使得 =+成立?若存在,求出,的值;若不存在,说明理由.解(1)设 D(x,y,z),则 =(-x,1-y,-z),=(-1,0,2),=(-x,-y,2-z),=(-1,1,0).因为 ,所以存在实数 m,n,有 解得 -即 D(-1,1,2).(2)依题意 =(-1,1,0),=(-1,0,2),=(0,-1,2).假设存在实数,使得 =+成立,则有(-1,0,2)=(-1,1,0)+(0,-1,2)=(-,-,2),所以 -故存在=1,使得 成立.
