1、1 第二章圆锥曲线 3 抛物线3.2 抛物线的简单几何性质 课后篇巩固提升合格考达标练1.抛物线 y=ax2的准线方程是 y=1,则 a 的值为()A.B.-C.4D.-4答案 B解析由 y=ax2,变形得 x2=y,抛物线的准线方程是 y=1,-=1,解得 a=-.2.若抛物线 y2=4x 上一点 P 到 x 轴的距离为 2,则点 P 到抛物线的焦点 F 的距离为()A.4B.5C.6D.7答案 A解析由题意,知抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=-1,抛物线 y2=4x 上一点 P 到 x 轴的距离为 2,则 P(3,2),点 P 到抛物线的准线的距离为 3+1=4,点 P 到抛物线的焦
2、点 F 的距离为 4.故选 A.3.已知点(x,y)在抛物线 y2=4x 上,则 z=x2+y2+3 的最小值是()A.2B.3C.4D.0答案 B解析因为点(x,y)在抛物线 y2=4x 上,所以 x0,因为 z=x2+y2+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,所以当 x=0 时,z 最小,其最小值为 3.4.已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上的一点,则ABP 的面积为()A.18B.24C.36D.48答案 C解析不妨设抛物线方程为 y2=2px(p0),依题意,lx 轴,且焦点 F ,0,当
3、x=时,|y|=p,|AB|=2p=12,p=6,又点 P 到直线 AB 的距离为 =p=6,故 SABP=|AB|p=126=36.2 5.抛物线 y2=2x 的焦点为 F,则经过点 F 与点 M(2,2)且与抛物线的准线相切的圆的个数是()A.1B.2C.0D.无数个答案 B解析因为点 M(2,2)在抛物线 y2=2x 上,又焦点 F ,0,由抛物线的定义知,过点 F,M 且与 l 相切的圆的圆心即为线段 FM 的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有 2 个,故过点 F,M 且与 l 相切的圆有 2 个.6.抛物线 x2=2py(p0)的焦点为 F,其准线与双曲线 =1 相交于 A,B
4、 两点,若ABF 为等边三角形,则 p=.答案 6解析抛物线的焦点坐标 F 0,准线方程为 y=-,代入 =1 得|x|=.要使ABF 为等边三角形,则 tan ,解得 p2=36,p=6.7.抛物线 x2=4y 的焦点为 F,过点 F 作斜率为 的直线 l 与抛物线在 y 轴右侧的部分相交于点 A,过点A 作抛物线准线的垂线,垂足为 H,则AHF 的面积是 .答案 4 解析由抛物线的定义可得|AF|=|AH|,直线 AF 的斜率为 ,AF 的倾斜角为 30.直线 AH 垂直于准线,FAH=60,故AHF 为等边三角形.设 A m,m0,过 F 作 FMAH 于点 M,则在FAM中,|AM|=
5、|AF|,-1=+1,解得 m=2,故等边三角形 AHF 的边长|AH|=4,AHF 的面积是 44sin 60=4.8.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与 y 轴的交点,A 为抛物线上一点,且|AM|=,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.解设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p0),设 A(x0,y0),由题意知 M 0,-,|AF|=3,y0+=3,|AM|=,+y0+2=17,3 =8,代入方程 =2py0得,8=2p 3-,解得 p=2 或 p=4.所求抛物线的标准方程为 x2=4y 或 x2=8y.等级考提升练9.设抛物线的焦点到顶点的距离为 3,则抛物线上
6、的点到准线的距离的取值范围是()A.(6,+)B.6,+)C.(3,+)D.3,+)答案 D解析抛物线的焦点到顶点的距离为 3,=3,即 p=6.又抛物线上的点到准线距离的最小值为 ,抛物线上的点到准线距离的取值范围是3,+).10.已知抛物线 C 的焦点是双曲线 x2-y2=1 的焦点中的一个,且顶点在原点,则抛物线 C 的标准方程是()A.y2=2 xB.y2=2xC.y2=4xD.y2=4 x答案 D解析由已知可知双曲线的焦点为(-,0),(,0).设抛物线方程为 y2=2px(p0),则 ,所以 p=2,所以抛物线方程为 y2=4 x.故选 D.11.设 F 为抛物线 y2=2x 的焦
7、点,A,B,C 为抛物线上三点,若 F 为ABC 的重心,则|+|+|的值为()A.1B.2C.3D.4答案 C解析依题意,设点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又焦点 F ,0,所以 x1+x2+x3=3 ,则|+|+|=x1+x2+x3+=(x1+x2+x3)+=3.12.过点 F(0,3),且和直线 y+3=0 相切的动圆圆心的轨迹方程是()A.y2=12xB.y2=-12xC.x2=-12yD.x2=12y答案 D解析由已知条件,过点 F(0,3),且和直线 y+3=0 相切的动圆圆心轨迹是以点 F(0,3)为焦点,直线 y=-3为准线的抛物线,故其方程为 x2=
8、12y.4 13.已知抛物线的方程为 y2=2px(p0),O 为坐标原点,A,B 为抛物线上的点,若OAB 为等边三角形,且面积为 48,则 p 的值为 .答案 2解析设 A(x1,y1),B(x2,y2).|OA|=|OB|,.又 =2px1,=2px2,+2p(x2-x1)=0,即(x2-x1)(x1+x2+2p)=0.又 x1,x2与 p 同号,x1+x2+2p0.x2-x1=0,即 x1=x2.根据抛物线对称性可知点 A,B 关于 x 轴对称,由OAB 为等边三角形,不妨设直线 OB 的方程为 y=x,由 解得 B(6p,2 p),|OB|=4 p,OAB 的面积为 48,(4 p)
9、2=48,解得 p2=4,p=2.14.已知 F 是抛物线 y2=4x 的焦点,A,B 是抛物线上两点,若AFB 是等边三角形,则AFB 的边长为 .答案 8+4 或 8-4 解析由题意可知点 A,B 一定关于 x 轴对称,且 AF,BF 与 x 轴夹角均为 30,由于 y2=4x 的焦点为(1,0),由 -化简得 y2-4 y-4=0,解得 y1=2+4,y2=2-4,所以AFB 的边长为 8+4 或 8-4.新情境创新练15.如图,已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,过点 P(2,0)的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF 分别与抛物线交于点 M,N.(1)求 y1y2的值;(2)连接 MN,记直线 MN 的斜率为 k1,直线 AB 的斜率为 k2,证明:为定值.(1)解依题意,设直线 AB 的方程为 x=my+2,5 代入 y2=4x,得 y2-4my-8=0,从而 y1y2=-8.(2)证明设 M(x3,y3),N(x4,y4),-,设直线 AM 的方程为 x=ny+1,代入 y2=4x,消去 x 得 y2-4ny-4=0,所以 y1y3=-4,同理 y2y4=-4,-=-,由(1)知 y1y2=-8,所以 =2 为定值.
