1、1 第五章计数原理 1 基本计数原理1.2 计数原理的简单应用 课后篇巩固提升合格考达标练1.如图,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网络联系,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点 A 向结点 B 传递信息,信息可以分开沿不同路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为()A.26B.24C.20D.19答案 D解析由题图可知,从 A 到 B 有 4 种不同的传递路线,各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为 3,4,6,6,由分类加法计数原理得,单位时间内传递的最大信息量为 3+4+6+6=19.2.从 0,1,2,9 这 10 个数字中,
2、任取两个不同数字作为平面直角坐标系中点(a,b)的坐标,能够确定不在 x 轴上的点的个数是()A.100B.90C.81D.72答案 C解析分两步:第一步选 b,因为 b0,所以有 9 种选法;第二步选 a,因为 ab,所以有 9 种选法.由分步乘法计数原理知共有 99=81 个点.3.在由 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数中,能被 5 整除的有()A.512 个B.192 个C.240 个D.108 个答案 D解析可分为两类:第一类是末位为 0,由分步乘法计数原理,共有 543=60(个).第二类是末位为 5,由分步乘法计数原理共有 443=48(个).由分类加法计数原理
3、得共有 60+48=108(个).4.某体育彩票规定:从 01 至 36 共 36 个号中抽出 7 个号为一注,每注 2 元.某人想从 01 至 10 中选 3 个连续的号,从 11 至 20 中选 2 个连续的号,从 21 至 30 中选 1 个号,从 31 至 36 中选 1 个号组成一注,则这个人把这种特殊要求的号买全(每组号买一注),需要()A.3 360 元B.6 720 元C.4 320 元D.8 640 元2 答案 D解析从 01 至 10 中选 3 个连续的号,有 8 种方法;从 11 至 20 中选 2 个连续的号,有 9 种方法;从 21 至30 中选 1 个号,有 10
4、种方法;从 31 至 36 中选 1 个号,有 6 种方法,故总的选法有 89106=4 320(种),可得需要 24 320=8 640(元).故选 D.5.五个工程队承建某项工程的 5 个不同的子项目,每个工程队承建 1 项,其中甲工程队不能承建 1 号子项目,则不同的承建方案有 种.答案 96解析完成承建任务可分五步:第一步,安排 1 号子项目,有 4 种方法;第二步,安排 2 号子项目,有 4 种方法;第三步,安排 3 号子项目,有 3 种方法;第四步,安排 4 号子项目,有 2 种方法;第五步,安排 5 号子项目,有 1 种方法.由分步乘法计数原理知,共有 44321=96 种承建方
5、案.6.如图所示,在 A,B 间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致电路不通,今发现 A,B 之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有 种.答案 13解析四个焊点共有 24种情况,其中使线路通的情况有:1,4 处都通,2 和 3 处至少有一个通时线路才通,共有 3 种情况.故线路不通的情况有 24-3=13(种).7.若把两条异面直线看成“一对”,那么六棱锥的棱所在的 12 条直线中,异面直线共有多少对?解底面上的六条棱所在的直线共面,则每两条之间不能构成异面直线.六条侧棱所在的直线共点,每两条之间也不能构成异面直线.结合图形可知,底面上的六条棱所在的直线中的每一条与和它不相交的四条侧棱所在的
6、四条直线中的每一条能构成异面直线.再由分步乘法计数原理知,可构成异面直线 64=24(对).8.用 6 种不同颜色的彩色粉笔写黑板报,板报设计如图所示,要求相邻区域不能用同一种颜色的彩色粉笔.若允许同一种颜色多次使用,则该板报有多少种书写方案?解第一步,选英语角用的彩色粉笔,有 6 种不同的选法;第二步,选语文学苑用的彩色粉笔,不能与英语角相同,有 5 种不同的选法;第三步,选理综世界用的彩色粉笔,与英语角和语文学苑用的颜色都不相同,有 4 种不同的选法;第四步,选数学天地用的彩色粉笔,只要与理综世界不同即可,有 5 种不同的选法.3 由分步乘法计数原理知,共有 6545=600 种不同的书写
7、方案.等级考提升练9.有四位教师在同一年级的四个班各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法种数是()A.8B.9C.10D.11答案 B解析设四位监考教师分别为 A,B,C,D,所教班分别为 a,b,c,d.若 A 监考 b,则余下三人监考剩下的三个班,共有 3 种不同方法.同理,若 A 监考 c,d 时,也分别有 3 种不同方法.由分类加法计数原理,得监考方法共有 3+3+3=9(种).10.已知 a1,2,3,b4,5,6,7,r8,9,则方程(x-a)2+(y-b)2=r2可表示不同的圆的个数为()A.12B.36C.20D.24答案 D解析完成表示的圆这件
8、事可以分三步完成:第一步,确定 a,有 3 种不同的选取方法;第二步,确定 b,有 4种不同的选取方法;第三步,确定 r,有 2 种不同的选取方法,故选 D.11.(多选题)某食堂窗口供应两荤三素共 5 种菜,甲、乙两人每人在该窗口打 2 种菜,且每人至多打 1种荤菜,则下列说法中正确的是()A.甲若选一种荤菜,则有 6 种选法B.乙的选菜方法数为 9C.若两人分别打菜,总的方法数为 18D.若两人打的菜均为一荤一素且只有一种相同,则方法数为 30答案 AB解析若甲打一荤一素,则有 23=6 种选法,故 A 正确;若乙打一荤一素,则有 6 种选法,若打两素,则有 3 种选法,共 9 种选法,故
9、 B 项正确;选项 C 应为 99=81 种方法,选项 D 应为 232+321=18 种.12.(a1+a2)(b1+b2)(c1+c2+c3)完全展开后的项数为()A.9B.12C.18D.24答案 B解析由分步乘法计数原理得,完全展开后的项数为 223=12.13.如图,一环形花坛被分成 A,B,C,D 四个区域,现有 4 种不同的花可供选种,要求在每个区域里种 1 种花,且相邻的 2 个区域种不同的花,则不同种法的种数为()A.96B.84C.60D.48答案 B4 解析当 A,C 区域种同样的花时,A,C 区域有 4 种种法,B 区域有 3 种种法,D 区域有 3 种种法;当 A,C
10、 区域种不同的花时,A 区域有 4 种种法,C 区域有 3 种种法,B 区域有 2 种种法,D 区域有 2 种种法.故一共有 433+4322=84 种不同的种法.14.古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配,用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配,共可配成 组.答案 60解析分两类,第一类:由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配,则有56=30 组不同的结果.第二类也有 30 组不同的结果,共可得到 30+30=60(组).15.圆周上有 2n(n 大于 2)
11、个等分点,任取 3 点可得一个三角形,恰为直角三角形的个数为 .答案 2n(n-1)解析先在圆周上找一点,因为有 2n 个等分点,所以应有 n 条直径,不经过该点的直径应有(n-1)条,这(n-1)条直径都可以与该点形成直角三角形,一个点可以形成(n-1)个直角三角形,而这样的点有 2n 个,所以一共有 2n(n-1)个符合题意的直角三角形.16.用 0,1,9 这十个数字,可以组成多少个满足下列条件的数?(1)三位整数;(2)无重复数字的三位整数;(3)小于 500 的无重复数字的三位整数;(4)小于 100 的无重复数字的自然数.解由于 0 不能放到首位,可以单独考虑.(1)百位上有 9
12、种选择,十位和个位各有 10 种选法.由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是 91010=900.(2)由于数字不可重复,可知百位数字有 9 种选择,十位数字也有 9 种选择,但个位数字仅有 8 种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是 998=648.(3)百位数字只有 4 种选择,十位数字有 9 种选择,个位数字有 8 种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的三位数的个数是 498=288.(4)小于 100 的自然数可以分为一位和两位自然数两类.一位自然数:10 个.两位自然数:十位数字有 9种选择,个位数字也有 9 种选择,由分步乘法计数原理知,适合题意的两位数的
13、个数是 99=81.由分类加法计数原理知,适合题意的自然数的个数是 10+81=91.新情境创新练17.已知 AB=a1,a2,a3,且 AB,当 AB 时,(A,B)与(B,A)视为不同的对,则这样的(A,B)对有 个.答案 26解析由集合 A,B 都是 AB 的子集,AB 且 AB=a1,a2,a3知可分四类.对 A=时,B 有 1 种取法;当 A 对一元素集时,A 有 3 种取法,B 有 2 种取法;5 当 A 为二元素集时,A 有 3 种取法,B 有 4 种取法;当 A 为三元素集时,A 有 1 种取法,B 有 7 种取法.故不同的(A,B)对有 1+32+34+7=26(个).18.(北京大学自主招生)从一个正九边形的 9 个顶点中选 3 个使得它们是一个等腰三角形的 3 个顶点的选法种数是()A.30B.36C.42D.前 3 个答案都不对答案 A解析如图,正九边形的 9 个顶点构成其外接圆的 9 个等分点,以每个分点为“顶点”的等腰三角形共计4 个,但P1P4P7,P2P5P8和P3P6P9分别重复两次计数,所以不同的选法种数是 49-23=30.
