1、1 第五章计数原理 2 排列问题第 1 课时 排列(一)课后篇巩固提升合格考达标练1.已知下列问题:从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组;从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动;从 a,b,c,d 中选出 3 个字母;从 1,2,3,4,5 这 5 个数字中取出2 个数字组成一个两位数.其中是排列问题的有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个答案 B解析由排列的定义知,是排列问题.2.=9101112,则 m 等于()A.3B.4C.5D.6答案 B3.5 +4 等于()A.107B.323C.320D.348答案 D解析 5 +4 =5543+443=348.4
2、.已知 =7 -,则 n 的值是()A.2B.6C.7D.8答案 C解析由 =7 -知,n-42,故 n6.原方程可化为 n(n-1)=7(n-4)(n-5),即 3n2-31n+70=0,解得 n=7 或 n=(舍),故选 C.5.方程 3 =2 +6 的解为 .答案 5解析由排列数定义可得 即 x3,xN+,原方程可化为 3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),x3,可化为 3x2-17x+10=0,即(3x-2)(x-5)=0,解得 x=5 或 x=(舍).6.由 1,4,5,x 四个数字组成没有重复数字的四位数,所有这些四位数的各个数位上的数字之和为 288,则 x=
3、.答案 22 解析当 x0 时,有 =24 个四位数,每个四位数的数字之和为 1+4+5+x,故 24(1+4+5+x)=288,解得 x=2;当 x=0 时,每个四位数的数字之和为 1+4+5=10,而 288 不能被 10 整除,即 x=0 不符合题意.综上可知,x=2.7.某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂 1 面、2 面或 3面(旗的颜色无重复),并且不同的顺序表示不同的信号,则一共可以表示 种不同的信号.答案 15解析第 1 类,挂 1 面旗表示信号,有 种不同结果;第 2 类,挂 2 面旗表示信号,有 种不同结果;第 3 类,挂 3 面旗表
4、示信号,有 种不同结果;根据分类加法计数原理,可以表示的信号共有 =3+32+321=15 种.8.A,B,C,D 四人站成一排,其中 A 不站排头,写出所有的站法.解作出“树形图”如下:故所有的站法是BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA.等级考提升练9.若 S=+,则 S 的个位数字是()A.8B.5C.3D.0答案 C解析 =1,=2,=6,=24,个位数之和为 1+2+6+4=13,而 ,都含有 5 和至少一个偶数,个位数字均为 0,S 的个位数字
5、为 3.10.从 2,3,5,7 四个数中任选两个分别相除,则得到的结果有()A.6 个B.10 个C.12 个D.16 个答案 C解析符合题意的商有 =43=12 个.11.若 a,b1,3,5,7,9,则 lg a-lg b 的不同值的个数是()A.9B.10C.18D.20答案 C解析首先从 1,3,5,7,9 这五个数中任取两个不同的数进行排列,共有 =20 种排法,因为 ,所以从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a,b,共可得到 lg a-lg b 的不同值的个数是20-2=18.3 12.从集合3,5,7,9,11中任取两个元素,相加可得多少个不同的和
6、?相除可得多少个不同的商?作为椭圆 =1 中的 a,b,可以得到多少个焦点在 x 轴上的椭圆方程?作为双曲线 =1 中的a,b,可以得到多少个焦点在 x 轴上的双曲线方程?上面四个问题属于排列问题的是()A.B.C.D.答案 B解析加法满足交换律,不是排列问题;除法不满足交换律,如 ,是排列问题;若方程 =1 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则必有ab,a,b 的大小一定;在双曲线 =1 中不管 ab 还是 a1)个车站,客运车票增加了 62 种,则 n=,m=.4 答案 15 2解析由题意得,=62,(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62,整理得 m(2n+m-1)=62=231.m,n
7、均为正整数,2n+m-1 也为正整数.62 不可能再分解为其他两个正整数相乘的形式,-解得 n=15,m=2.16.某国的篮球职业联赛共有 16 支球队参加.(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次,共要进行多少场比赛?(2)若 16 支球队恰好 8 支来自北部赛区,8 支来自南部赛区,为增加比赛观赏度,各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后,再进行一场总冠军赛,共要进行多少场比赛?解(1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛,对应于从 16 支球队任取两支的一个排列,比赛的总场次是 =1615=240.(2)由(1)中的分析,比赛的总场次是 2+1=872+1=113.新情境创
8、新练17.从集合1,2,3,20中任选出 3 个不同的数,使这 3 个数成等差数列,这样的等差数列可以有多少个?解设 a,b,cN+,且 a,b,c 成等差数列,则 a+c=2b,由此可以得出 a+c 应是偶数.因此从 1 到 20 这 20 个自然数中任选 3 个数成等差数列.则第一个数与第三个数必同时为偶数或同时为奇数,而 1 到 20 这 20 个自然数中有 10 个偶数和 10 个奇数,当第一个数 a 和第三个数 c 选定后,中间的数 b 也就唯一确定了,所以选法只有两类:a 与 c 都是偶数,有 种选法;a 与 c 都是奇数,有 种选法.根据分类加法计数原理,选出 3 个不同的数成等差数列,这样的数列有 =180(个).
