1、第一章直线与圆 2 圆与圆的方程2.3 直线与圆的位置关系 课后篇巩固提升合格考达标练1.直线 y=x+1 与圆 x2+y2=1 的位置关系为()A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离答案 B解析由圆的方程得到圆心坐标(0,0),半径 r=1,则圆心(0,0)到直线 y=x+1 的距离 d=-1,即dr,所以直线与圆的位置关系是相交但直线不过圆心.故选 B.2.直线 x-y+m=0 与圆 x2+y2-2x-2=0 相切,则实数 m 等于()A.或-B.-或 3 C.-3 或 D.-3 或 3 答案 C解析圆的标准方程为(x-1)2+y2=3,由题意知圆心(1,0)到直线 x-y+
2、m=0 的距离等于半径,即 ,|+m|=2,解得 m=或 m=-3,故选 C.3.直线 y=kx+3 被圆 x2+y2-6y=0 所截得的弦长是()A.6B.3C.2 D.8答案 A解析圆的标准方程为 x2+(y-3)2=9,圆心为(0,3),半径为 3,而直线 y=kx+3 过定点(0,3),即该直线过圆心,故直线 y=kx+3 被圆 x2+y2-6y=0 所截得的弦长即为圆的直径 6.4.(2020 全国,文 6)已知圆 x2+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案 B解析圆的方程可化为(x-3)2+y2=9.因为 -=2 3,
3、所以点(1,2)在圆内.如图所示,设圆心 O1(3,0),A(1,2),当弦 BC 与 O1A 垂直时弦最短,因为|O1A|=-=2,|O1B|=3,所以|AB|=-=1,所以|BC|=2|AB|=2.5.已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0,设该圆过点 P(3,5)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD,则四边形ABCD 的面积为()A.10 B.20 C.30 D.40 答案 B解析设圆的圆心为 M,则 M(3,4),半径 r=5.当过点 P 的直线过圆心 M 时,对应的弦 AC 是最长的,此时,|AC|=2r=10;当过点 P 的直线与 MP垂直时,对应的弦 BD 最小,此时在 R
4、tMPD 中,|MD|=r=5,|MP|=1,故|BD|=2 -=4.此时四边形 ABCD 的面积为S=|AC|BD|=20,故选 B.6.过原点的直线与圆 x2+y2-2x-4y+4=0 相交所得弦的长为 2,则该直线的方程为 .答案 2x-y=0解析若所求直线斜率存在,设其方程为 y=kx,即 kx-y=0.由于直线 kx-y=0 被圆截得的弦长等于 2,圆的半径是 1,因此圆心到直线的距离等于 -=0,即圆心(1,2)在直线 kx-y=0 上.于是有 k-2=0,即 k=2,因此所求直线方程是 2x-y=0.易知直线斜率不存在时不符合题意.7.已知直线 l:2mx-y-8m-3=0,则直
5、线过定点 ,该直线被圆 C:x2+y2-6x+12y+20=0 截得最短弦长为 .答案(4,-3)2 解析将直线 l 变形得 2m(x-4)=y+3,即直线 l 恒过定点 P(4,-3),圆的方程可化为(x-3)2+(y+6)2=25.显然点 P 在圆内.当圆心 C(3,-6)到直线 l 的距离最大时,直线 l 被圆所截得的弦 AB 的长度最短.此时 PCl,又 kPC=-=3,所以直线 l 的斜率为-,则 2m=-,所以 m=-.因为|PC|=,|AC|=5,所以|AB|=2 -=2 .故当 m=-时,直线 l 被圆 C 截得的弦长最短,最短弦长为 2 .8.若直线 y=kx+1 与圆 x2
6、+y2=1 相交于 P,Q 两点,且POQ=120(其中 O 为原点),则 k 的值为 .答案-或 解析由题意知直线 y=kx+1 恒过定点(0,1),圆 x2+y2=1 的圆心是(0,0),半径是 1,取 PQ 的中点为 E,连接 OE,则 OEPQ.因为POQ=120,故POE=60,所以|OE|=.又直线 l 的方程为 kx-y+1=0,所以 ,故 k=.9.已知圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0.(1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切?(2)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且 AB=2 时,求直线 l 的方程.解圆 C 方程可化为 x
7、2+(y-4)2=4,此圆的圆心为(0,4),半径为 2.(1)若直线 l 与圆 C 相切,则有 =2,解得 a=-,即当 a=-时,直线 l 与圆 C 相切.(2)过圆心 C 作 CDAB,则根据题意和圆的性质,得 解得 a=-7 或 a=-1,故所求方程为 7x-y+14=0 或 x-y+2=0.等级考提升练10.若直线 ax+by=2 与圆 x2+y2=1 有两个不同的公共点,那么点(b,a)与圆 x2+y2=4 的位置关系是()A.点在圆外B.点在圆内C.点在圆上D.不能确定答案 A解析因为直线 ax+by=2 与圆 x2+y2=1 有两个公共点,所以有 2,因为点(b,a)与 x2+
8、y2=4 的圆心的距离为 ,圆 x2+y2=4 的半径为 2,所以点(b,a)在圆外.故选 A.11.已知过点 P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5 相切,且与直线 ax-y+1=0 垂直,则 a=()A.-B.1C.2D.答案 C解析点 P 在圆上,在点 P 的圆的切线有斜率,设在点 P(2,2)的圆的切线的斜率为 k,则直线方程为 y-2=k(x-2),即 kx-y+2-2k=0,由于和圆相切,故 -,得 k=-,由于直线 kx-y+2-2k=0 与直线 ax-y+1=0 垂直,因此-a=-1,解得 a=2,故选 C.12.若直线 ax+by-3=0 和圆 x2+y2+4x-1=0
9、 相切于点 P(-1,2),则 ab 的值为()A.-3B.-2C.2D.3答案 C解析圆的标准方程为(x+2)2+y2=5,直线与圆相切,则圆心到直线的距离为,所以-,整理,得 a2-12a+5b2-9=0,又直线过 P(-1,2),代入,得-a+2b-3=0,由 -解得 所以 ab=2.13.(2021 山西吕梁一模)已知直线 l:x+by+1=0 与圆 C:(x+b)2+(y+2)2=8 相交于 A,B 两点,且ABC 是顶角为 的等腰三角形,则 b 等于()A.1B.-C.-1D.1 或-答案 D解析圆 C:(x+b)2+(y+2)2=8 的圆心为(-b,-2),半径为 2,由题意AB
10、C 是顶角为 的等腰三角形可知圆心到直线 l 的距离为,-,解得 b=1 或 b=-.故选 D.14.(多选题)(2020 山东泰安一中高二期中)若过点 A(3,0)的直线 l 与圆(x-1)2+y2=1 有公共点,则直线 l的斜率可能是()A.-1B.-C.D.答案 BC解析由题意知直线 l 的斜率必存在,设为 k,则 l 的方程为 y=k(x-3),即 kx-y-3k=0,圆心 C(1,0),半径 r=1.直线与圆有公共点,需 -1,所以|2k|,得 k2 ,所以-k ,对照选项知 B,C 适合.15.已知直线 l:mx+(1-m)y-1=0(mR)与圆 O:x2+y2=8 交于 A,B
11、两点,C,D 分别为 OA,AB 的中点,则|AB|CD|的最小值为 .答案 4 解析直线 l 的方程可化为 m(x-y)+y-1=0,由-得 x=y=1,即直线 l 恒过定点 P(1,1).C,D 分别为 OA,AB 的中点,|CD|=|OA|=,当 OPAB 时,|AB|最小,此时|AB|=2 -=2,|AB|CD|=|AB|2=4.16.(2020 浙江,15)已知直线 y=kx+b(k0)与圆 x2+y2=1 和圆(x-4)2+y2=1 均相切,则k=;b=.答案 -解析由 k0,根据题意画出直线 l:y=kx+b 及两圆,如图所示.由对称性可知直线 l 必过点(2,0),即 2k+b
12、=0,并且 =1,由解得 k=,b=-.17.已知圆 x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0a4)的圆心为 C,直线 l:y=x+m.(1)若 m=4,求直线 l 被圆 C 所截得弦长的最大值;(2)若直线 l 是圆心下方的切线,当 a 在(0,4变化时,求 m 的取值范围.解(1)已知圆的标准方程是(x+a)2+(y-a)2=4a(0a4),则圆心 C 的坐标是(-a,a),半径为 2.直线 l 的方程化为 x-y+4=0,则圆心 C 到直线 l 的距离是 -|2-a|.设直线 l 被圆 C 所截得弦长为 L,由弦长、圆心距和圆的半径之间的关系,得L=2 -=2-=2-.0-a+m
13、,即 2am,2a-m=2 ,m=(-1)2-1.0a4,02),PQ 与圆 A 相切,-=1,解得 b=3,故当 P 距 O 处 4 千米时,OQ 的长为 3 千米.(2)设 P(a,0),Q(0,b)(a2,b2),则直线 PQ 方程为 =1,即 bx+ay-ab=0.因为 PQ 与圆 A 相切,所以 -=1,化简得 ab-2(a+b)+2=0,即 ab=2(a+b)-2;因此 PQ=-=-.因为 a2,b2,所以 a+b4,于是 PQ=(a+b)-2.又 ab=2(a+b)-2(),解得 04,所以 a+b4+2,PQ=(a+b)-22+2,当且仅当 a=b=2+时取等号,所以 PQ 最小值为 2+2,此时 a=b=2+.答:当 P,Q 两点距离两公路的交点 O 都为 2+(千米)时,新建公路 PQ 最短.
