1、专题五解析几何第1讲直线与圆JIE TI CE LUE MING FANG XIANG解题策略明方向考情分析1直线方程、圆的方程、两直线的平行与垂直、直线与圆的位置关系是本讲高考的重点2考查的主要内容包括求直线(圆)的方程、点到直线的距离、直线与圆的位置关系判断、简单的弦长与切线问题，多为选择题、填空题真题分布(理科)年份卷别题号考查角度分值2020卷11直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用5卷5圆心到直线距离的计算，求圆的方程5卷10导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用52019卷卷11圆与双曲线的综合问题5卷21直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系1220
2、18卷卷卷8直线的方程、圆的方程、点到直线的距离5(文科)年份卷别题号考查角度分值2020卷6圆的简单几何性质，以及几何法求弦长5卷8圆心到直线距离的计算，求出圆的方程5卷8直线过定点问题52019卷21(1)直线与圆的位置关系4卷12双曲线的性质、圆与圆的位置关系5卷21(2)直线与圆及抛物线的位置关系62018卷15直线与圆的弦长问题5卷卷8直线的方程、圆的方程、点到直线的距离5KAO DIAN FEN LEI XI ZHONG DIAN考点分类析重点考点一直线的方程1直线方程的五种形式(1)点斜式：yy1k(xx1)(2)斜截式：ykxb.(3)两点式：(x1x2，y1y2)(4)截距式
3、：1(a0，b0)(5)一般式：AxByC0(A，B不同时为0)2三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：|AB|.(2)点P到直线l的距离：d(其中点P(x0，y0)，直线l的方程：AxByC0)(3)两平行线间的距离：d(其中两平行线方程分别为l1：AxByC10，l2：AxByC20且C1C2)3两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1l2k1k2，l1l2k1k21，若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在典例1(1)(2020三明模拟)已知直线mx2y30与直线3x(m1)ym0平行，则实数m(A)A2B3
4、C5D2或3(2)(2020九江三模)若直线x(a1)y10与直线ax2y10互相垂直，则实数a(B)ABC1D2(3)(2020松江区二模)若O为坐标原点，P是直线xy20上的动点，则|OP|的最小值为(B)ABCD2【解析】(1)直线mx2y30与直线3x(m1)ym0平行，求得m2，故选A(2)根据题意，直线x(a1)y10与直线ax2y10互相垂直，则有a2(a1)0，解得a，故选B(3)原点到直线的距离d，故|OP|的最小值为，故选B求解直线方程应注意的问题(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A1B2A2B10建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的情况(2)要注
5、意几种直线方程的局限性，点斜式、斜截式要求直线不能与x轴垂直；两点式要求直线不能与坐标轴垂直；截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线(3)求直线方程要考虑直线的斜率是否存在1(1)(2019淮南二模)设R，则“3”是“直线2x(1)y1与直线6x(1)y4平行”的(A)A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件(2)(2019保定二模)设点P为直线l：xy40上的动点，点A(2,0)，B(2,0)，则|PA|PB|的最小值为(A)A2BC2D【解析】(1)当3时，两条直线的方程分别为6x4y10,3x2y20，此时两条直线平行；若两条直线平行，则2(
6、1)6(1)，所以3或1，经检验，两者均符合，综上，“3”是“直线2x(1)y1与直线6x(1)y4平行”的充分不必要条件故选A(2)依据题意作出图形如下：设点B(2,0)关于直线l的对称点为B1(a，b)，则它们的中点坐标为，且|PB|PB1|，由对称性可得，解得a4，b2，所以B1(4,2)因为|PA|PB|PA|PB1|，所以当A，P，B1三点共线时，|PA|PB|最小，此时最小值为|AB1|2.故选A考点二圆的方程1圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(xa)2(yb)2r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2y2r22圆的一般方程x2y2DxEyF0(其中D2E2
7、4F0)表示以为圆心，为半径的圆典例2(1)(2020朝阳区二模)圆心在直线xy0上且与y轴相切于点(0,1)的圆的方程是(A)A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22(2)(2020北京房山区期末)已知两点A(2,0)，B(0,2)，则以线段AB为直径的圆的方程为_(x1)2(y1)22_.【解析】(1)根据题意，所求圆的圆心在直线xy0上，则设所求圆的圆心的坐标为(m，m)，又由所求圆与y轴相切于点(0,1)，则圆心在直线y1上，则m1，所求圆的半径r1，故所求圆的方程为(x1)2(y1)21；故选A(2)直径的两端点分别为(0,2)
8、，(2,0)，圆心为(1,1)，半径为，故圆的方程为(x1)2(y1)22求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过已知条件，利用相应的几何知识求圆的圆心，半径(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数2(2020昆山市期中)在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)，A(4,0)，B(4,2)，C(0,2)，则矩形OABC的外接圆方程是(B)Ax2y24x2y0Bx2y24x2y0Cx2y28x4y0Dx2y28x4y0【解析】矩形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)，A(4,0)，B(4,2)，C(0,2)，所以OB的中点为M(2,1)，r|OB|；所
9、以矩形OABC的外接圆方程是(x2)2(y1)25，化为一般式方程为x2y24x2y0故选B3(2020江西模拟)圆C的半径为5，圆心在x轴的负半轴上，且被直线3x4y40截得的弦长为6，则圆C的方程为(B)Ax2y22x30Bx216xy2390Cx216xy2390Dx2y24x0【解析】设圆心为(a,0)(a0)，由题意知圆心到直线3x4y40的距离为d4，解得a8，则圆C的方程为(x8)2y225，即为x216xy2390考点三直线与圆、圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系的判定(1)几何法把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr相交；dr相切；dr相离(2)代数法将圆的方程和
10、直线的方程联立起来组成方程组，消元后得到一元二次方程，利用判别式来讨论位置关系：0相交；0相切；0相离2圆与圆的位置关系的判定(1)dr1r2两圆外离；(2)dr1r2两圆外切；(3)|r1r2|dr1r2两圆相交；(4)d|r1r2|(r1r2)两圆内切；(5)0d|r1r2|(r1r2)两圆内含典例3(1)(2020天津市部分区期末)直线xy10与圆x2(y1)24相交于A、B，则弦AB的长度为(B)AB2C2D4(2)(2020武昌区模拟)若直线ykx1与圆(x2)2y24相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则k的取值范围是(D)ABCD(3)(2020徐汇区一模)若圆C1：x2y2
11、1和圆C2：x2y26x8yk0没有公共点，则实数k的取值范围是(D)A(9,11)B(25，9)C(，9)(11，)D(25，9)(11，)(4)(2020中山区校级一模)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线3xy30相切，则圆C面积的最小值为(D)ABCD【解析】(1)圆心到直线的距离d，所以|AB|222.故选B(2)直线ykx1过定点P(0,1)，作出直线与圆如图：当直线过P(0,1)与A(4,0)时，k；由圆心(2,0)到直线kxy10的距离等于2，得2，解得k.若直线ykx1与圆(x2)2y24相交，且两个交点位于坐标平面的同一象限，则k的
12、取值范围是.故选D(3)化圆C2：x2y26x8yk0为(x3)2(y4)225k，则k25，圆心坐标为(3,4)，半径为，圆C1：x2y21的圆心坐标为(0,0)，半径为1要使圆C1：x2y21和圆C2：x2y26x8yk0没有公共点，则|C1C2|1或|C1C2|1，即51或5r，即，化简得a2a90，149350本题的失分原因是忽视了这个条件在解决此类问题时，可以直接判断D2E24F0，也可以配方后，判断方程右侧大于0，因为右侧相当于r2【正解】由题意知解得a.3在求直线方程时数字与代数式运算出错典例3已知直线l与点A(3,3)和B(5,2)的距离相等，且过二直线l1：3xy10和l2：
13、xy30的交点，则直线l的方程为_x6y110或x2y50_.【错解】先联立两直线求出它们交点为(1,2)，设所求直线的点斜式，再利用A、B到它的距离相等建立方程得k，所以所求直线为x2y50【剖析】显然，解方程时漏了一根，含绝对值的方程应讨论(或平方)求解，一般有两根【正解】x6y110或x2y50联立直线l1：3xy10和l2：xy30的方程得它们的交点坐标为(1,2)，令过点(1,2)的直线l为：y2k(x1)(由图形可看出直线l的斜率必然存在)，由点到直线的距离公式得：k，k，所以直线l的方程为：x6y110或x2y504直线和圆的位置关系应用时运算方法选择不当导致运算繁杂或不可能得解
14、而出错典例4已知圆(x3)2y24和直线ymx的交点分别为P，Q两点，O为坐标原点，则|OP|OQ|的值为_5_.【运算繁杂的解法】联立直线方程ymx与圆的方程(x3)2y24消y，得关于x的方程(1m2)x26x50，令P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2，则y1y2m2x1x2，由于向量与向量共线且方向相同，即它们的夹角为0，所以x1x2y1y25【剖析】上述解法正确，也得出了正确答案，但运算繁杂下面的解法简洁明了【正解】法一：根据圆的切割线定理，设过点O的圆的切线为OT(切点为T)，由勾股定理，则OT232225法二：令m0，则|OP|1，|OQ|5，故|OP|OQ|5
