1、平面向量及其应用(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列等式恒成立的是()A0BC(ab)ca(bc) D(ab)cacbc解析：选D0，故A错误；，故B错误；(ab)c表示与c共线的向量，而a(bc)表示与a共线的向量，故C错误；根据平面向量数量积的运算性质可知D正确故选D.2已知向量a(1，2)，b(2，3)，c(4，5)，若(ab)c，则实数()A B.C2 D2解析：选C因为a(1，2)，b(2，3)，所以ab(12，23)，又(ab)c，所以(ab)c0，即4(12)5(23)0，
2、解得2.故选C.3在ABC中，若A105，B45，b2，则c等于()A1 B2C. D.解析：选BA105，B45，C30.由正弦定理，得c2.故选B.4设ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2，c2，cos，则b()A1 B.C2 D4解析：选Da2，c2，cos，cos A2cos2121，由余弦定理a2b2c22bccos A，得(2)2b2222b2，整理得b23b40，解得b4或1(舍去)故选D.5在直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，B45，AB2CD2，M为腰BC的中点，则()A1 B2C3 D4解析：选B由已知得BC，BCD135，所以()()cos 1801
3、cos 1352cos 4521cos 02.6在平面上有A，B，C三点，设m，n，若m与n的长度恰好相等，则有()AA，B，C三点必在一条直线上BABC必为等腰三角形且B为顶角CABC必为直角三角形且B为直角DABC必为等腰直角三角形解析：选C以BA，BC为邻边作平行四边形ABCD(图略)，则m，n，由m，n的长度相等可知，两对角线相等，因此平行四边形一定是矩形故选C.7.如图所示，半圆的直径AB4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则()的最小值是()A2 B0C1 D2解析：选D由平行四边形法则得2，故()2，|2|，且，反向，设|t(0t2), 则()
4、22t(2t)2(t22t)2(t1)210t2，当t1时，() 取得最小值，为2，故选D.8在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知sin(BA)sin(BA)3sin 2A，且c，C，则ABC的面积是()A. B.C. D.或解析：选Dsin(BA)sin Bcos Acos Bsin A，sin(BA)sin Bcos Acos Bsin A，sin 2A2sin A cos A，sin(BA)sin(BA)3sin 2A，2sin Bcos A6sin Acos A当cos A0时，A，B.又c，所以b.由三角形的面积公式，得Sbc；当cos A0时，由2sin Bcos
5、 A6sin Acos A，得sin B3sin A根据正弦定理，可知b3a，再由余弦定理，得cos Ccos ，解得a1，b3，所以此时ABC的面积为Sabsin C.综上可得ABC的面积为或，故选D.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9下列条件判断三角形解的情况，正确的是()Aa8，b16，A30，有两解Bb18，c20，B60，有一解Ca15，b2，A90，有一解Da40，b30，A120，有一解解析：选CDA中，absin A，有一解；B中csin Bbb，有一
6、解；D中ab且A120，有一解综上，C、D正确10下列说法中，正确的是()A()()0B若ab0，则a与b的夹角是钝角C向量e1(2，3)，e2能作为平面内所有向量的一个基底D若ab，则a在b上的投影向量为0解析：选AD()()()()0，A正确；当|a|b|1，且a与b反向时，ab10，此时a与b的夹角为180，B不正确；因为e14e2，所以e1e2，所以向量e1，e2不能作为基底，C不正确；由投影向量的定义知D正确故选A、D.11已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个说法中正确的是()A若，则ABC一定是等边三角形B若acos Abcos B，则ABC一定是等腰三角形
7、C若bcos Cccos Bb，则ABC一定是等腰三角形D若a2b2c20，则ABC一定是锐角三角形解析：选AC由， 利用正弦定理可得，即tan Atan Btan C，即ABC，所以ABC是等边三角形，A正确；由正弦定理可得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，ABC是等腰三角形或直角三角形，B不正确；由正弦定理可得sin Bcos Csin Ccos Bsin B，即sin(BC)sin B，即sin Asin B，则AB，ABC是等腰三角形，C正确；由余弦定理可得cos C0，C为锐角，A，B不一定是锐角，D不正确12在ABC中，角
8、A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(ab)(ac)(bc)91011，则下列结论正确的是()Asin Asin Bsin C456BABC是钝角三角形CABC的最大内角是最小内角的2倍D若c6，则ABC外接圆半径为解析：选ACD因为(ab)(ac)(bc)91011，所以可设(x0)，解得a4x，b5x，c6x，所以sin Asin Bsin Cabc456，所以A正确；由上可知，c边最大，所以三角形中角C最大，又cos C0，所以角C为锐角，所以B错误；由上可知a边最小，所以三角形中角A最小，又cos A，所以cos 2A2cos2A1，所以cos 2Acos C，由三角形中角C最大且角
9、C为锐角可得，2A(0，)，C，所以2AC，所以C正确；由正弦定理得2R，又sin C，所以2R，解得R，所以D正确三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13已知向量a(1，k)，b(2，2)，且ab与a共线，那么ab_解析：依题意得ab(3，k2)，由ab与a共线，得3k1(k2)0，解得k1，所以ab22k4.答案：414平面向量a，b满足|a|1，|b|2，且(ab)(a2b)7，则向量a，b的夹角为_解析：(ab)(a2b)|a|2ab2|b|21ab87，ab0，即ab.故a，b的夹角为.答案：15在ABC中，若b5，B，tan A2，则sin A_，
10、a_解析：因为ABC中，tan A2，所以A是锐角，且2，sin2Acos2A1，联立解得sin A，再由正弦定理得，代入数据解得a2.答案：216.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED是矩形，已知DAC50，CBE70，AC90，BC150，则DE_解析：由题意知ACB120，在ACB中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos ACB902150229015044 100.ABDE210.答案：210四、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答26；b2c252；
11、ABC的面积为3，在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bc2，cos A，_(1)求a；(2)求cos的值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分解：选择条件：(1)2()bccos A6.cos A，bc24，由解得或(舍去)，a2b2c22bccos A361626464，a8.(2)cos C，sin C ，cos 2C2cos2C1，sin 2C2sin Ccos C，cos(2C)cos 2Ccos sin 2Csin .选择条件：(1)由解得或(舍去)，a2b2c22bccos A361626464，a8.(2)同条件.选择条件：(1)cos A，sin
12、A，SABCbcsin Abc3，bc24，由解得或(舍去)，a2b2c22bccos A361626464，a8.(2)同条件.18(本小题满分12分)如图，设Ox，Oy是平面内相交成60角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量若向量xe1ye2，则把有序数对(x，y)叫做向量在坐标系xOy中的坐标已知3e12e2.(1)计算|的大小；(2)设向量a(m，1)，若a与共线，求实数m的值；(3)是否存在实数n，使得与向量b(1，n)垂直？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由解：(1)e1e211cos 60，则|3e12e2|.(2)因为a(m，1)me1e2，且a与
13、共线，所以存在实数，使得a，即me1e2(3e12e2)3e12e2.由平面向量基本定理，可得解得所以实数m的值为.(3)若存在实数n，使得与向量b(1，n)垂直，则b0，即(3e12e2)(e1ne2)3e(3n2)e1e22ne3(3n2)2n0，解得n.所以存在实数n，使得与向量b(1，n)垂直19(本小题满分12分)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac.已知2，cos B，b3，求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值解：(1)由2，得cacos B2.又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B，又b3，所以a2c292613.由得或
14、因为ac，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin B，由正弦定理，得sin Csin B.因为abc，所以C为锐角，因此cos C .于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.20(本小题满分12分)已知向量a(2sin x，1)，b(2，2)，c(sin x3，1)，d(1，k)(xR，kR)(1)若x，且a(bc)，求x的值；(2)若函数f(x)ab，求f(x)的最小值；(3)是否存在实数k，使得(ad)(bc)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由解：(1)bc(sin x1，1)，a(bc)，(2sin x)sin x1，即sin x.又x，x.(2)a(
15、2sin x，1)，b(2，2)，f(x)ab2(2sin x)22sin x2.xR，1sin x1，0f(x)4，f(x)的最小值为0.(3)ad(3sin x，1k)，bc(sin x1，1)，若(ad)(bc)，则(ad)(bc)0，即(3sin x)(sin x1)(1k)0，ksin2x2sin x4(sin x1)25，由sin x1，1，得k5，1，存在k5，1，使得(ad)(bc)21(本小题满分12分)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinbsin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解：(1)由题设及正弦定理得sin Asinsin Bsin A因为sin A0，所以sinsinB.由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，所以sin，所以B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由(1)知AC120，由正弦定理得a.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知，AC120，所以30C90，故a2，从而SABC923.2，故选择方案一，能使飞行距离最短10
