1、第三章单元质量评估(二)第卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的)1顶点在原点,且过点(4,4)的抛物线的标准方程是(C)Ay24x Bx24yCy24x或x24y Dy24x或x24y解析:抛物线过点(4,4),设其方程为y22px或x22py(p0),将(4,4)代入可得p2,抛物线方程为y24x或x24y.2已知两定点F1(5,0),F2(5,0),曲线上的点P到F1,F2的距离之差的绝对值是6,则该曲线的方程为(A)A.1 B.1 C.1 D.1解析:|PF1|PF2|60,b0)的虚轴长为2,焦距为2,则
2、双曲线的渐近线方程为(A)Ayx Byx Cyx Dy2x解析:由得所以a,因此双曲线的方程为y21,所以渐近线方程为yx.5在ABC中,|AB|2|BC|,以A,B为焦点,经过C的椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2,则(A)A.1 B.2 C.1 D.2解析:如图,分别设椭圆与双曲线的标准方程为1(ab0),1(a0,b0),焦距为2c,则|AB|2c,|BC|c,C在椭圆上,|AC|BC|2a|AC|2ac,又C在双曲线上,|AC|BC|2a,即2acc2a11.6设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432,则曲线C的离心率可能等于(
3、D)A.或 B.或2 C.或2 D.或解析:因为|PF1|F1F2|PF2|432,所以设|PF1|4x,则|F1F2|3x,|PF2|2x,x0.因为|F1F2|3x2c,所以xc.若曲线为椭圆,则有2a|PF1|PF2|6x,即a3x,所以离心率e.若曲线为双曲线,则有2a|PF1|PF2|2x,即ax,所以离心率e.所以选D.7点A在曲线x2y21上移动,点B(3,0),则线段AB的中点P的轨迹方程是(C)A(x3)2y24 B(x3)2y21 C(2x3)24y21 D.2y21解析:设A(x,y),P(x0,y0),则x2y21.又(2x03)24y1,故选C. 8.如图,直线ym与
4、抛物线y24x交于点A,与圆(x1)2y24的实线部分交于点B,F为抛物线的焦点,则三角形ABF的周长的取值范围是(B)A(2,4) B(4,6) C2,4 D4,6解析:设B(xB,yB),则1xB3.因为可以构成三角形ABF,所以1xB3.因为圆的半径|BF|2,抛物线的准线方程为x1,利用抛物线定义,|AF|等于点A到直线x1的距离d,所以三角形ABF的周长l|AF|AB|BF|AF|AB|2d|AB|2xB(1)2xB3,故4l5.满足题意的直线不存在10设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O、所成的角为60的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|A2B2|,其中A1,B1和
5、A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是(A)A. B. C. D.解析:由题意知,直线A1B1和A2B2关于x轴对称,又所成的角为60,所以直线方程为yx或yx.又因为有且只有一对相交于点O、所成的角为60的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|A2B2|,所以渐近线斜率满足,解得0,b0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是(A)A(1,0)(0,1) B(,1)(1,)C(,0)(0,) D(,)(,)解析:如图所示,
6、由题意知BC为双曲线的通径,所以|BC|,则|BF|.又|AF|ca,因为BDAC,DCAB,所以点D在x轴上由RtBFARtDFB,得|BF|2|AF|FD|,即2(ca)|FD|,所以|FD|,则由题意知a,即ac,所以b4a2(ca)(ac),即b4a2(c2a2),即b4a2b2,所以01,解得00,直线与椭圆有两个交点,yx1是“A型直线”把y2代入1得不成立,直线与椭圆无交点,y2不是“A型直线”把yx3代入1,并整理得7x224x240,(24)247240,y2x3是“A型直线”16平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:1(a0,b0)的渐近线与抛物线C2:x22py(p0)交于
7、点O,A,B.若OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.解析:设点A在点B的左侧,抛物线C2的焦点为F,则F.联立解得A;联立解得B.F为OAB的垂心,AFOB,kAFkOB1,即1,即4b25a2,即4(c2a2)5a2,即,e.三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17(本小题10分)已知椭圆的顶点与双曲线1的焦点重合,它们的离心率之和为,若椭圆的焦点在x轴上,求椭圆的方程解:设所求椭圆方程为1(ab0),其离心率为e,焦距为2c,双曲线1的焦距为2c1,离心率为e1,则有c41216,c14,e12.e2,即.又bc14,a2b2c2,由可得a2
8、25.所求椭圆方程为1.18(本小题12分)已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线与直线y2x1交于P,Q两点,|PQ|,求抛物线的方程解:设抛物线的方程为y22px,则消去y得4x2(2p4)x10,x1x2,x1x2.|PQ|x1x2|,则 ,p24p120,解得p2或p6.y24x或y212x.19(本小题12分)已知圆M:(x1)2y21,圆N:(x1)2y29,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程(2)若直线yk(x1)与曲线C交于R,S两点,问是否在x轴上存在一点T,使得当k变化时总有OTSOTR?若存在,请说明理由解:(1)圆M的圆心为M(1,0),
9、半径r11;圆N的圆心为N(1,0),半径r23.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.因为圆P与圆M外切并与圆N内切,所以|PM|PN|Rr1r2Rr1r24|MN|2.由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为1(x2)(2)假设存在T(t,0)满足OTSOTR.设R(x1,y1),S(x2,y2),联立得(34k2)x28k2x4k2120,其中144(k21)0恒成立,由根与系数的关系得由OTSOTR(显然TS,TR的斜率存在),得kTSkTR0,即0.由R,S两点在直线yk(x1)上,故y1k(x11),y2k(x21)代入
10、得0,即2x1x2(t1)(x1x2)2t0,将代入得0,要使得与k的取值无关,当且仅当t4时成立故存在T(4,0),使得当k变化时,总有OTSOTR.20(本小题12分)已知双曲线C:1(a0,b0)的离心率为,过点A(0,b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求双曲线C的方程;(2)直线ykxm(km0)与该双曲线C交于不同的两点C,D,且C,D两点都在以点A为圆心的同一圆上,求m的取值范围解:(1)依题意解得a23,b21.所以双曲线C的方程为y21.(2)消去y得,(13k2)x26kmx3m230,由已知:13k20且12(m213k2)0m213k2设C(x1,y1),D(
11、x2,y2),CD的中点P(x0,y0),则x0,y0kx0m,因为APCD,所以kAP,整理得3k24m1,联立得m24m0,所以m4,又3k24m10,所以m,因此m4.21(本小题12分)已知点A(x1,y1),D(x2,y2)(其中x1x2)是曲线y24x(y0)上的两点,A,D两点在x轴上的射影分别为点B,C,且|BC|2.(1)当点B的坐标为(1,0)时,求直线AD的斜率;(2)记OAD的面积为S1,梯形ABCD的面积为S2,求证:.解:(1)因为B(1,0),所以A(1,y1),代入y24x,得到y12.又|BC|2,所以x2x12,所以x23.代入y24x,得到y22.所以kA
12、D1.(2)证明:直线OD的方程为yx,所以点A到直线OD的距离为d.又|OD|,所以S1|OD|d|x1y2x2y1|.又S2(y1y2)(x2x1)y1y2,所以,因为所以yy4(x2x1)8,所以,因为y1y22,当且仅当y1y2时取等号,又y1y2,所以0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|FD|.当点A的横坐标为3时,ADF为正三角形(1)求C的方程(2)若直线l1l,且l1和C有且只有一个公共点E,证明直线AE过定点,并求出定点坐标ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由解:(1)由
13、题意知F.设D(t,0)(t0),则FD的中点为.因为|FA|FD|,由抛物线的定义知3,解得t3p或t3(舍去)当点A的横坐标为3时,ADF为正三角形,所以由3,解得p2.所以抛物线C的方程为y24x.(2)证明:由(1)知F(1,0)设A(x0,y0)(x0y00),D(xD,0)(xD0),因为|FA|FD|,则|xD1|x01.由xD0得xDx02,故D(x02,0)故直线AB的斜率kAB,因为直线l1和直线AB平行,设直线l1的方程为yxb,代入抛物线方程y24x得y2y0,由题意0,得b.设E(xE,yE),则yE,xE.当y4时,kAE,可得直线AE的方程为yy0(xx0),由y4x0,整理可得y(x1),直线AE恒过点F(1,0)当y4时,直线AE的方程为x1,过点F(1,0)所以直线AE过定点F(1,0)由知直线AE过焦点F(1,0),所以|AE|AF|FE|(x01)x02.设直线AE的方程为xmy1.因为点A(x0,y0)在直线AE上,故m.设B(x1,y1),直线AB的方程为yy0(xx0)由于y00,可得xy2x0,代入抛物线方程得y2y84x00,所以y0y1,可得y1y0,x1x04.所以点B到直线AE的距离为d4.则ABE的面积S416.当且仅当x0,即x01时等号成立所以ABE的面积的最小值为16.