1、四川省成都市树德中学2019-2020学年高二数学下学期定时检测试题（含解析）总分：100分 时间：90分钟一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分每小题只有一项是符合题目要求的1.下列说法错误的是( )A. “若，则”的逆否命题是“若，则”B. “”是“”的充分不必要条件C. “”的否定是“”D. 命题：“在锐角中，”为真命题【答案】D【解析】依题意，根据逆否命题的定义可知选项正确；由得或“”是“”的充分不必要条件，故正确；因为全称命题命题的否是特称命题，所以正确；锐角中，错误，故选D.2.已知双曲线：的左顶点为，右焦点为.若为的虚轴的一个端点，且，则的坐标为( )A. B. C
2、. D. 【答案】C【解析】【分析】求得的坐标表达式,再根据求解即可.【详解】由题, .因为,故.即.故.所以.故的坐标为.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线中的顶点、虚轴顶点与焦点的坐标关系与向量数量积的运用,需要根据题意求得对应的坐标,利用数量积公式求解.属于中档题.3.执行如下图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】读懂求解的量,直接写出结果进行计算即可.【详解】由框图可知,输出的.故选：B【点睛】本题主要考查了程序框图的理解与裂项相消的方法,属于中等题型.4.用数学归纳法证明“”时，由到时，不等试左边应添加的项是( )A. B. C. D
3、. 【答案】C【解析】【分析】分别代入，两式作差可得左边应添加项【详解】由n=k时，左边为，当n=k+1时，左边为所以增加项为两式作差得：，选C.【点睛】运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可5.已知抛物线与椭圆有相同的焦点，是两曲线的公共点，若，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据两个曲线焦点相同,可得.由抛物线定义
4、可得.结合两式即可用表示出点坐标.代入椭圆方程,化简后根据齐次式形式即可求得离心率.【详解】抛物线与椭圆有相同的焦点,是两曲线的公共点,所以,即椭圆中的设,由抛物线定义可知由题意,即化简可得将变形为代入等式可得则的坐标可化为由点在椭圆上,代入可得,化简可得 除以可化为即解得或因为 所以故选:D【点睛】本题考查了抛物线与椭圆标准方程及性质的综合应用,共焦点下两个方程的关系,齐次式下离心率的求法,属于中档题.6.设,则下列命题中正确的是（ ）A. 对应的点在第一象限B. 对应的点在第四象限C. 不是纯虚数D. 是虚数【答案】D【解析】【分析】把所给的复数的实部和虚部,按照二次函数的特点进行配方整理
5、,判断出实部不小于一个负数,虚部大于,这样不能准确判断出点的位置,只能得至这是一个虚数.【详解】解:因为,不能判断对应点的横坐标的正负,所以不能准确判断对应点的位置,只能判断出虚部不等于,得到这是一个虚数.故选:D【点睛】本题考查复数的代数表示法及其集合意义,考查二次函数的性质,是一个复数同二次函数结合的题目,题目比较简单,是高考卷中出现较多的一种形式.7.甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下：甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话.事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是（ ）A. 甲B. 乙C. 丙D. 甲或乙【答
6、案】A【解析】假设甲说是假话,即丙考满分,则乙也是假话,不成立;假设乙说的是假话,即乙没有考满分,又丙没有考满分,故甲考满分;因此甲得满分,故选A.8.某次测量发现一组数据具有较强的相关性，并计算得，其中数据因书写不清楚，只记得是上的一个值，则该数据对应的残差（残差=真实值-预测值）的绝对位不大于0.5的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求得估计值，用真实值减去估计值求得残差，根据已知残差的绝对位不大于列不等式，解不等式求得的取值范围，根据几何概型概率计算公式计算出所求概率.【详解】依题意可知，估计值，残差为，依题意得，解得，根据几何概型概率计算公式可得所求概率为，
7、故选C.【点睛】本小题主要考查残差的概念及计算，考查几何概型的计算，属于基础题.9.已知平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60，则对角线的长是（ ）A. B. C. D. 6【答案】C【解析】【分析】利用空间向量加法的几何意义，结合空间向量数量积的定义，直接求解即可.【详解】，因此有：，所以的长.故选：C【点睛】本题考查了空间向量数量积的应用，考查了空间向量中加法的几何意义，考查了数学运算能力.10.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系,运用列联表进行独立性检验,经计算,则所得到的统计学结论是：有 的把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”
8、（ ）0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】把观测值同临界值进行比较得到有把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”【详解】解:因为,对照表格:,因此有把握认为“学生性别与支持该活动没有关系”.故选:C【点睛】本题考查独立性检验,解题时注意利用表格数据与观测值比较,这是一个基础题.11.为椭圆上的一个动点，分别为圆与圆上的动点，若的最小值为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再根据的
9、最小值，得到关于的方程，进而求得答案.【详解】因为，恰好为椭圆的两个焦点，因为，所以.因为，得，所以，则故选：B.【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意利用不等式结合最值进行运算求值.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡中的横线上12.复数,在复平面内分别对应点,将点绕原点逆时针旋转得到点,则_【答案】【解析】【分析】根据得出点在平面内的左边,再绕原点逆时针旋转得到点,即可得出【详解】解:如图,由题意知即,绕原点逆时针旋转得到点,即 故答案为: 【点睛】本题考查复数的概念,属于简单题.13.古埃及数学中有一个独特现象：除了
10、用一个单独的符号表示以外,其他分数都要写成若干个分数和的形式,例如可以这样来理解：假定有2个面包,要平均分给5个人,每人分将剩余,再将这分成5份,每人分得,这样每人分得同理可得,按此规律,则_（）【答案】【解析】【分析】由已知中,可以这样来理解：假定有两个面包,要平均分给个人每人不够每人余,再将这分成份,每人得,这样每人分得,类比可推导出.【详解】解: 假定有两个面包均分给个人,每人 不够,每人分则余,再将这分成份,每人得.这样每人分得.故故答案为：【点睛】此题考查学生在学习了“分数的基本性质、分数加减法的计算方法等知识后,运用它解决有一定思维难度的数学问题的能力.14.已知条件“曲线表示焦点
11、在轴上的椭圆”,条件“曲线表示双曲线”,若是的充分不必要条件,则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】分别求出命题和命题的取值范围,根据题意得到或,进而得到实数的取值范围.【详解】“曲线表示焦点在轴上的椭圆”,则,解得或;条件“曲线表示双曲线”,则,解得,又因为是的充分不必要条件,则且.即或.所以,即.故答案为: 【点睛】本题主要考查命题之间的关系,可转化为集合间的包含关系来解题.15.双曲线的右焦点分别为F，圆M的方程为.若直线l与圆M相切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为_.【答案】【解析】【分析】由两直线垂直斜率的乘积等于，得出直线的斜率，由点到
12、圆心的距离等于半径得出，再将，代入双曲线方程，两式相减，结合中点坐标公式化简得出，即可得出双曲线的方程.【详解】设点，直线l的斜率为k，则所以，即，则，.两式相减，得则，即，所以双曲线C的方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查了求双曲线的标准方程，属于中档题.三、解答题：本大题共4小题，共10分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤16.（1）已知,用反证法证明： 中至少有一个不小于;（2）用数学归纳法证明：【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）应用反证法证明数学命题的一般步骤包括反设、归、结论.首先假设要证明的结论中至少有一个不小于不成立,即均小于.由反设出发,推出正确
13、的推理导出矛盾,从而肯定了原结论成立,即可得证.（2）利用数学归纳法来证明,当时,命题成立,再假设当时,成立,证明当时,命题也成立【详解】解:（1）假设均小于,即,则有,而,与假设矛盾,假设不成立,故中至少有一个不小于1（2）用数学归纳法证明如下：当时,左边,右边,所以当时,原等式成立假设时原等式成立即,则当时,所以当时,原等式也成立由知,（2）中的猜想对任何都成立【点睛】本题主要考查反证法和数学归纳法证明,属于基础题.17.某公司在若干地区各投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.（1）根据
14、频率分布直方图，计算图中各小长方形的宽度；（2）根据频率分布直方图，估计投入4万元广告费用之后，销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；（3）按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：广告投入（单位：万元）12345销售收益（单位：百万元）2327表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（2）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.附公式：，.【答案】（1）2;（2）;（3）.【解析】【分析】（）根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可计算图中各小长方形的宽度；（）以各组的区间中点值代表该组的取值，即可计算销售收益的平均值；（）求出回归系数，
15、即可得出结论【详解】（）设各小长方形的宽度为，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知，故；（）由（）知各小组依次是，其中点分别为，对应的频率分别为，故可估计平均值为；（）由（）知空白栏中填5由题意可知，根据公式，可求得，即回归直线的方程为【点睛】本题考查回归方程，考查频率分布直方图，考查学生的读图、计算能力，属于中档题18.四棱锥中，底面为矩形，.侧面底面.（1）证明：；（2）设与平面所成的角为，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）19.已知圆过三点，直线.（）求圆的方程（）当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程.【答案】（）；（）或.【解析】【分析】（）根据圆的一般方程，解
16、方程组，可得结果.（）利用圆的弦长公式，可得结果.【详解】（）设圆的方程为：所以故圆的方程.（）过圆心作， 则可得解得或.故所求直线方程为或.【点睛】本题考查圆的方程以及弦长公式，属基础题.20.已知椭圆:()的离心率为，设直线过椭圆的上顶点和右顶点，坐标原点到直线的距离为.（1）求椭圆的方程.（2）过点且斜率不为零的直线交椭圆于，两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线，的斜率之积为非零的常数?若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）设直线的方程为，由离心率和原点到直线的距离为，可得关于的方程组，解方程组得即可得答案；（2）依题意可设直
17、线的方程为，直线方程代入曲线方程，利用判别式大于0得的范围，利用韦达定理可得与的关系，并假设存在点使命题成立，利用斜率公式代入坐标进行计算，将问题转化恒成立问题，即可得答案.【详解】（1）设椭圆半焦距为.根据题意得，椭圆离心率，即，所以.因为直线过椭圆的上顶点和右顶点，所以设直线的方程为，即.又由点到直线的距离为，得.联立解得，.所以椭圆的方程为.（2）依题意可设直线的方程为，.联立得.所以，所以.所以，则，.假设存在定点()，使得直线，的斜率之积为非零常数，所以.要使为非零常数，当且仅当解得(负值舍去).当时，常数为.所以轴的正半轴上存在定点，使得直线，的斜率之积为常数.【点睛】本题考查椭圆方程求解、离心率、点到直线距离、直线与椭圆位置关系、椭圆中的定点问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意探究性问题的求解是先假设存在，再进行推理论.
