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2020-2021学年人教A版数学选修1-1配套课件:2-2-2 第2课时 双曲线的几何性质及应用 .ppt

上传人:高**** 文档编号:145656 上传时间:2024-05-25 格式:PPT 页数:44 大小:1.10MB
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资源描述

1、第2课时 双曲线的几何性质及应用内 容 标 准学 科 素 养1.掌握利用双曲线的定义解决有关问题的方法2.理解直线与双曲线的位置关系及其判断方法.利用直观想象提高数学运算及逻辑推理01 课前 自主预习02 课堂 合作探究03 课后 讨论探究04 课时 跟踪训练基础认识知识点 直线与双曲线的位置关系思考并完成以下问题直线与圆(椭圆)有且只有一个公共点,则直线与圆(椭圆)相切,那么,直线与双曲线相切,能用这个方法判断吗?提示:不能设直线l:ykxm(m0),双曲线C:x2a2y2b21(a0,b0),把代入得(b2a2k2)x22a2mkxa2m2a2b20.(1)当 b2a2k20,即 kba时

2、,直线 l 与双曲线 C 的渐近线_,直线与双曲线_提示:平行 相交于一点(2)当 b2a2k20,即 kba时,(2a2mk)24(b2a2k2)(a2m2a2b2)0直线与双曲线_,此时称直线与双曲线_;0直线与双曲线_,此时称直线与双曲线_;0,b0),两方程联立消去 y,得 mx2nxq0.位置关系公共点个数判定方法相交2 个或 1 个m0 或m00相切1 个m0 且 0相离0 个m0 且 0,1k20,得2 33 k2 33 且 k1,此时方程(*)有两个不同的实数解,即直线与双曲线有两个不同的公共点(2)由43k20,1k20,得 k2 33,此时方程(*)有两个相同的实数解,即直

3、线与双曲线有且只有一个公共点,当 1k20,即 k1 时,直线 l 与双曲线的渐近线平行,方程(*)化为 2x5,故方程(*)只有一个实数解,即直线与双曲线相交,有且只有一个公共点故当 k2 33 或1 时,直线与双曲线有且只有一个公共点(3)由43k20,1k20,得 k2 33,此时方程(*)无实数解,即直线与双曲线无公共点方法技巧(1)解决直线与双曲线的公共点问题,不仅要考虑判别式,更要注意二次项系数为 0 时,直线与渐近线平行的特殊情况(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目,应分两种情况讨论:双曲线与直线相切或直线与双曲线的渐近线平行(3)注意对直线 l 的斜率是否存在进行讨论跟踪探究

4、 1.已知直线 l:xy1 与双曲线 C:x2a2y21(a0)(1)若 a12,求 l 与 C 相交所得的弦长;(2)若 l 与 C 有两个不同的交点,求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围解析:(1)当 a12时,双曲线 C 的方程为 4x2y21,联立xy1,4x2y21,消去 y,得3x22x20.设两交点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x223,x1x223,则|AB|x1x22y1y22 x1x22x1x22 2 x1x224x1x2 2289 2 143.(2)将 yx1 代入双曲线x2a2y21,得(1a2)x22a2x2a20,1a20,4a48a21a20,解

5、得 0a 62 且 e 2.即离心率 e 的取值范围是62,2(2,)探究二 弦的中点问题例 2 已知双曲线 C:x2a2y2b21(a0,b0)的一个焦点为 F(3,0),实轴长为 2,经过点 M(2,1)作直线 l 交双曲线 C 于 A,B 两点,且 M 为 AB 的中点(1)求双曲线 C 的方程;(2)求直线 l 的方程解析(1)由已知,得 2a2,c 3,所以 a1,b2c2a22.所以双曲线 C 的方程为 x2y221.(2)设点 A(x1,y1),B(x2,y2),由题意可知直线 l 的斜率存在,则可设直线 l 的方程为 y1k(x2),即 ykx12k.把 ykx12k 代入双曲

6、线 C 的方程 x2y221,得(2k2)x22k(12k)x(12k)220,由题意可知 2k20,所以 xMx1x22k12k2k2 2,解得 k4.当 k4 时,方程可化为 14x256x510.此时 56256512800,方程有两个不等的实数解所以直线 l 的方程为 y4x7.方法技巧 与双曲线有关的弦长、弦中点问题的解题技巧(1)利用弦长公式|AB|1k2|xAxB|1k2 xAxB24xAxB,求解的关键是正确应用根与系数的关系,整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式(2)涉及弦长的中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化同时还应充分

7、挖掘题目的隐含条件,寻找量与量之间的关系(3)在双曲线x2a2y2b21(a0,b0)中,若直线 l 与双曲线相交于 M,N 两点,点 P(x0,y0)是弦 MN 的中点,弦 MN 所在的直线 l 的斜率为 kMN,则 kMNy0 x0b2a2.跟踪探究 2.设 A,B 为双曲线 x2y221 上的两点,线段 AB 的中点为 M(1,2)求:(1)直线 AB 的方程;(2)OAB 的面积(O 为坐标原点)解析:(1)显然直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y2k(x1),即 ykx2k.由 ykx2k,x2y221,消去 y,整理得(2k2)x22k(2k)xk24k60.设 A(

8、x1,y1),B(x2,y2),则 1x1x22k2k2k2,解得 k1.当 k1 时,满足 0,直线 AB 的方程为 yx1.(2)由(1)得 x1x22,x1x23,|AB|2 x1x224x1x2 2 4124 2.又 O 到直线 AB 的距离 d 12 22,SAOB12|AB|d124 2 22 2.探究三 与双曲线有关的轨迹问题阅读教材 P52例 5点 M(x,y)到定点 F(5,0)的距离和它到定直线 l:x165 的距离的比是常数54,求点 M 的轨迹题型:求轨迹问题方法步骤:确定动点 M 的几何性质.|MF|d 54(其中 d 是 M 到 l 的距离)将 M 的几何性质坐标化

9、,并化简整理,得到 M 的轨迹方程,从而得出 M 的轨迹是双曲线例 3 若动圆 P 经过定点 A(3,0),且与定圆 B:(x3)2y216 外切,试求动圆圆心 P 的轨迹解析 设动圆圆心 P(x,y),半径为 r.则依题意有|PA|r,|PB|r4,故|PB|PA|4.即动圆圆心 P 到两个定点 B(3,0),A(3,0)的距离之差等于常数 4,且 40,b0),则 c3,2a4,b25,所以动圆圆心 P 的轨迹方程为x24 y251(x2)动圆圆心 P 的轨迹是双曲线x24 y251 的右支方法技巧 解决轨迹问题时,如果在题目的条件中,出现了定点(m,0),(m,0)或(0,m),(0,m

10、)(当然也可以是某定圆的圆心)时,就要重点考察动点所满足的条件,特别是考察动点到两个定点的距离之差(绝对值)是不是一个定值,如果是一个定值,并且这个定值小于两个定点之间的距离,那么动点的轨迹就是双曲线跟踪探究 3.动点 P 与点 F1(0,5)与点 F2(0,5)满足|PF1|PF2|6,则点 P 的轨迹方程为()A.x29 y2161 Bx216y291Cx216y291(y3)Dx216y291(y3)解析:由双曲线的定义知P 的轨迹是以 F1、F2 为焦点,实轴长为 6 的双曲线的下支,故 c5,a3,b4.P 的轨迹方程为y29x2161.故选 D.答案:D课后小结(1)直线与双曲线的

11、位置关系的判定方法直线与双曲线的位置关系有相交、相切、相离三种情况,其判定方法通常也是用 来解决设直线方程为 AxByC0(A,B 不同时为 0),双曲线方程为x2a2y2b21(a0,b0),两方程联立消去 y 得 mx2nxq0(*)形式的方程若 m0,方程(*)为关于 x 的一元二次方程当 0 时,方程有两解,则直线与双曲线相交于两点;当 0 时,方程有一解,则直线与双曲线相切;当 0.得出 a 的取值范围,思维不严谨致误,应该先考虑二次项系数不为 0,其次再考虑 0.考查直观想象和逻辑推理的学科素养自我纠正 由yax13x2y21 得(3a2)x22ax20.直线与双曲线相交于两点,3a20,0 6a 6且 a 3.a 的取值范围是 6a 6且 a 3.答案:6a 6且 a 304 课时 跟踪训练

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