1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业 五十一双曲线(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016济宁模拟)已知双曲线-=1(a0,b0)的离心率为,则双曲线的渐近线方程为()A.y=2xB.y=xC.y=xD.y=x【解析】选C.因为e=,故可设a=2k,c=k,则得b=k,所以渐近线方程为y=x=x.2.已知00,b0),把x=-c代入双曲线的方程可得y=,由题意可得2c=,所以2ac=c2-a2,求得=1+,=1-(舍去).【加固训练】(2016忻州模拟)已知双曲线C:-
2、=1的离心率为,则C的渐近线方程为()A.y=2xB.y=xC.y=xD.y=x【解析】选B.由双曲线的方程-=1知,双曲线的焦点在x轴上,所以=()2=3,所以n=,所以a2=,b2=4-=,从而双曲线的渐近线方程是y=x.4.(2014全国卷)已知F为双曲线C:x2-my2=3m(m0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.B.3C.mD.3m【解析】选A.双曲线C:-=1,则c2=3m+3,c=,设焦点F(,0),一条渐近线方程为y=x,即x-y=0,所以点F到渐近线的距离为d=.5.设F1,F2分别为双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|P
3、F2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.【解析】选B.易知|PF2|=|F1F2|=2c,所以由双曲线的定义知|PF1|=2a+2c,因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,所以(a+c)2+(2a)2=(2c)2,即3c2-2ac-5a2=0,两边同除以a2,得3e2-2e-5=0,解得e=或e=-1(舍去).【加固训练】1.(2016莱芜模拟)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的焦点为F1,F2,且C上点P满足=0,|=3,|=4,则双曲线C的离心率为()A.B.C.D.5【解析】选D.依题意得,2a=|PF2|-|P
4、F1|=1,|F1F2|=5,因此该双曲线的离心率e=5.2.(2016滨州模拟)过双曲线C:-=1的右顶点作x轴的垂线,与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、4为半径的圆经过A,O两点(O为坐标原点),则双曲线C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1【解析】选A.由得所以A(a,-b).由题意知右焦点与原点的距离为c=4,所以=4,即(a-4)2+b2=16.而a2+b2=16,所以a=2,b=2.所以双曲线C的方程为-=1.3.直线y=x与双曲线C:-=1(a0,b0)左右两支分别交于M,N两点,F是双曲线C的右焦点,O是坐标原点,若|FO|=|MO|,则双曲线的
5、离心率等于()A.+B.+1C.+1D.2【解析】选B.由题意知|MO|=|NO|=|FO|,所以MFN为直角三角形,且MFN=90,取左焦点为F0,连接NF0,MF0,由双曲线的对称性知,四边形NFMF0为平行四边形.又因为MFN=90,所以四边形NFMF0为矩形,所以|MN|=|F0F|=2c,又因为直线MN的倾斜角为60,即NOF=60,所以NMF=30,所以|NF|=|MF0|=c,|MF|=c,由双曲线定义知|MF|-|MF0|=c-c=2a,所以e=+1.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1的离心率为,则m的值为.【解析】由-=1,得a=,
6、b=,c=,所以e=,即m2-4m+4=0,解得m=2.答案:27.已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则PQF的周长为.【解题提示】可利用双曲线的定义,再借助于三角形的图形,即可得出结论.【解析】由-=1,得a=3,b=4,c=5,所以|PQ|=4b=162a,又因为A(5,0)在线段PQ上,所以P,Q在双曲线的一支上,且PQ所在直线过双曲线的右焦点,由双曲线定义知:所以|PF|+|QF|=28.即PQF的周长是|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44.答案:448.设直线x-3y+m=0(m0)与双曲线-=1(a
7、0,b0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点P(m,0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是.【解析】联立双曲线-=1渐近线与直线方程x-3y+m=0可解得:A,B,则kAB=,设AB的中点为E,由|PA|=|PB|,可得AB的中点E与点P两点连线的斜率为-3,化简得4b2=a2,所以e=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016烟台模拟)已知双曲线-=1的弦AB以P(-8,-10)为中点,(1)求直线AB的方程.(2)若O为坐标原点,求三角形OAB的面积.【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-16,y1+y2=-20,A,B坐标代入双曲线
8、方程,两式相减得5(x1-x2)(x1+x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0,所以kAB=1,而直线AB过点P,所以直线AB的方程为y=x-2,经检验此方程满足条件.(2)将y=x-2代入-=1,可得x2+16x-36=0,所以x1+x2=-16,x1x2=-36,所以|AB|=20,O点到AB的距离为=,所以所求面积为20=20.10.(2016泰安模拟)已知焦点在x轴上的双曲线的离心率为,虚轴长为2.(1)求双曲线C的方程.(2)已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A,B,若OAOB,求m的值.(O为坐标原点)【解析】(1)设双曲线的标准方程为-=1(a,b0),由题意可得
9、2b=2,e=,c2=a2+b2,解得a=1,b=,故双曲线C的标准方程为x2-=1.(2)联立直线方程与双曲线方程得:消去y,可得x2-2mx-2-m2=0,判别式=4m2+4(2+m2)0,恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系知:x1+x2=2m,x1x2=-2-m2,由OAOB,可得=x1x2+y1y2=0,由y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2,可得2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,即-2m2-4+2m2+m2=0,解得m=2,成立.故m的值为2.(20分钟40分)1.(5分)(2014重庆高考)设F1,F2分别为双曲线-
10、=1(a0,b0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得=b2-3ab,则该双曲线的离心率为()A.B.C.4D.【解题提示】直接根据双曲线的定义得到关于a,b的等式,进而求出离心率的值.【解析】选D.由双曲线的定义知,=4a2,又=b2-3ab,所以4a2=b2-3ab,等号两边同除以a2,化简得-3-4=0,解得=4或=-1(舍去),故离心率e=.2.(5分)设a,b是关于t的方程t2cos+tsin=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线-=1的公共点的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选A.关于t的方程t2cos+tsin=0的两个不等实根为0,-
11、tan(tan0),所以A(0,0),B(-tan,tan2),则过A,B两点的直线方程为y=-xtan,双曲线-=1的渐近线方程为y=xtan,所以直线y=-xtan与双曲线没有公共点.【加固训练】P为双曲线x2-=1右支上一点,M,N分别是圆(x+4)2+y2=4和(x-4)2+y2=1上的点,则|PM|-|PN|的最大值为.【解析】已知两圆圆心坐标分别为(-4,0)和(4,0)(记为F1和F2)恰为双曲线x2-=1的两焦点.当|PM|最大,|PN|最小时,|PM|-|PN|最大,|PM|最大值为P到圆心F1的距离|PF1|与圆F1半径之和,同样|PN|min=|PF2|-1,从而|PM|
12、max-|PN|min=|PF1|+2-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=2a+3=5.答案:53.(5分)已知c是双曲线-=1(a0,b0)的半焦距,则的取值范围是.【解析】=-e=-,由于e1,且函数f(e)=-在(1,+)上是增函数,那么的取值范围是(-1,0).答案:(-1,0)4.(12分)(2016聊城模拟)如图所示的“8”字形曲线是由两个关于x轴对称的半圆和一个双曲线的一部分组成的图形,其中上半个圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0,双曲线的左、右顶点A,B是该圆与x轴的交点,双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点.(1)试求双曲线的标准方程.(2)记双曲线
13、的左、右焦点分别为F1,F2,试在“8”字形曲线上求点P,使得F1PF2是直角.【解析】(1)上半个圆所在圆的方程是x2+y2-4y-4=0,则圆心为(0,2),半径为2.则下半个圆所在圆的圆心为(0,-2),半径为2.双曲线的左、右顶点A,B是该圆与x轴的交点,即为(-2,0),(2,0),即a=2,由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点,则令y=2,解得x=2.即交点为(2,2).设双曲线的方程为-=1(a0,b0),则-=1,且a=2,解得b=2.则双曲线的标准方程为-=1.(2)由(1)知双曲线的左、右焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),若F1PF2是直角,则设P(x,
14、y),则有x2+y2=8,由解得x2=6,y2=2.由解得y=1,不满足题意,舍去.故在“8”字形曲线上所求点P的坐标为(,),(-,),(-,-),(,-).【加固训练】(2016临沂模拟)在平面直角坐标系xOy中,己知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程.(2)若P点到直线y=x的距离为,求圆P的方程.【解析】(1)设圆心P(x,y),由题意得x2+3=y2+2,整理得y2-x2=1,即为圆心P的轨迹方程,此轨迹是等轴双曲线.(2)由P点到直线y=x的距离为,得=,即|x-y|=1,即x=y+1或y=x+1,分别代入y2-x2=1,解得P(0,-1)
15、或P(0,1).若P(0,-1),此时点P在y轴上,故半径为,所以圆P的方程为(y+1)2+x2=3;若P(0,1),此时点P在y轴上,故半径为,所以圆P的方程为(y-1)2+x2=3.综上,圆P的方程为(y+1)2+x2=3或(y-1)2+x2=3.5.(13分)(2016淄博模拟)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为.(1)求a,b.(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.【解析】(1)由题设知=3,即=9,故b2=8a2
16、.所以C的方程为8x2-y2=8a2.将y=2代入上式,求得x=.由题设知,2=,解得,a2=1.所以a=1,b=2.(2)由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程为8x2-y2=8.由题意可设l的方程为y=k(x-3),|k|2,代入并化简得,(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1-1,x21,x1+x2=,x1x2=.于是|AF1|=-(3x1+1),|BF1|=3x2+1.由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,即x1+x2=-.故=-,解得k2=,从而x1x2=-.由于|AF2|=1-3x1,|BF2|=3
17、x2-1,故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,|AF2|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.因而|AF2|BF2|=|AB|2,所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.【加固训练】直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A,B.(1)求实数k的取值范围.(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.【解析】(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,故解得k的取值范围是-2k-.(2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由式得假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0).则由FAFB得:(x1-c)(x2-c)+y1y2=0.即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.把式及c=代入式化简得5k2+2k-6=0.解得k=-或k=(-2,-)(舍去),可知存在k=-使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.关闭Word文档返回原板块
