1、9.1随机事件的概率1随机事件和确定事件(1)在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件(2)在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件(3)必然事件与不可能事件统称为确定事件(4)在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件(5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C表示2概率和频率(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)为事件A出现的频率(2)对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数
2、来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P(A)3互斥事件与对立事件(1)如果事件A、B互斥，那么事件AB发生的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即P(AB)P(A)P(B)(2)如果两个互斥事件必有一个发生那么称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记为.4概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0P(A)1.(2)必然事件的概率P(E)1.(3)不可能事件的概率P(F)0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(AB)P(A)P(B)(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)1P(B)知识拓展互斥事件与对立事件的区别与联系互
3、斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)事件发生频率与概率是相同的()(2)随机事件和随机试验是一回事()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生()(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件()(6)“方程x22x80有两个实根”是不可能事件()1下列事件中，随机事件为_，必然事件为_(填序号)冬去春来某班一次
4、数学测试，及格率低于75%体育彩票某期的特等奖号码三角形内角和为360骑车到十字路口遇到交警答案2袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则恰有1个白球和全是白球 ；至少有1个白球和全是黑球；至少有1个白球和至少有2个白球；至少有1个白球和至少有1个黑球在上述事件中，是对立事件的为_答案解析至少有1个白球和全是黑球不同时发生，而且两者定有一个发生故中两事件互为对立事件3给出下列三个命题，其中正确的命题有_个有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率答案0解析错
5、，不一定是10件次品；错，是频率而非概率；错，频率不等于概率，这是两个不同的概念4某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为_答案0.5解析依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1(0.20.3)0.5.题型一随机事件的关系例1某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件(1)A与C；(2)B与E；(3)B与C；(4)C与E.解
6、(1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件由于事件B不发生可导致事件E一定发生，且事件E不发生会导致事件B一定发生，故B与E还是对立事件(3)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件(4)由(3)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，
7、即事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件思维升华对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判定所给事件的关系从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从110各10张)中，任取一张，判断下列给出的每对事件，互斥事件为_，对立事件为_“抽出红桃”与“抽出黑桃”；“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”答案解是互斥事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互
8、斥事件是互斥事件，且是对立事件理由是：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件不是互斥事件理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10.因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件题型二随机事件的频率与概率例2某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：抽取球数n501002005001 0002 000优等品数m45921944709541 90
9、2优等品频率(1)计算表中乒乓球优等品的频率；(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)解(1)依据公式f，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)由(1)知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.思维升华频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一
10、固定的值，该值就是概率某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关据统计，当X70时，Y460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦
11、时)或超过530(万千瓦时)的概率解(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率(2)由已知可得Y425，故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)P(Y530)P(X210)P(X70)P(X110)P(X220).故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为.题型三互斥事件、对立事件的概率例3某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖
12、50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率思维点拨事件A、B、C两两互斥解(1)P(A)，P(B)，P(C).故事件A，B，C的概率分别为，.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC.A、B、C两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C).故1张奖券的中奖概率为.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P(N)1P(AB)1.故1张奖券不中特等奖
13、且不中一等奖的概率为.思维升华求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)1P()求解当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中710环的概率如下表所示：命中环数10环9环8环7环概率0.320.280.180.12求该射击队员射击一次：(1)射中9环或10环的概率；(2)命中不足8环的概率解记事件“射击一次，命中k环”为Ak(kN，k10)，则事件Ak彼此互斥(1)记“射击一次，射中9
14、环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P(A)P(A9)P(A10)0.280.320.60.(2)设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，则表示事件“射击一次，命中不足8环”又BA8A9A10，由互斥事件概率的加法公式得P(B)P(A8)P(A9)P(A10)0.180.280.320.78.故P()1P(B)10.780.22.因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22.用正难则反思想求互斥事件的概率典例：(14分)某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.一次购物量
15、1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率)思维点拨若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解规范解答解(1)由已知得25y1055，x3045，所以x15，y20.3分该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾
16、客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1.9(分钟)7分(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)，P(A2).10分P(A)1P(A1)P(A2)1.12分故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.14分温馨提醒(1)要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义(2)正确判定事件间的关系，善于将所求事件转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式易错提示(1)对统计表的信息不理解，错求x，y难
17、以用样本平均数估计总体(2)不能正确地把事件A转化为几个互斥事件的和或对立事件，导致计算错误.方法与技巧1对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)2从集合角度理解互斥事件和对立事件从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集失误与防范1正确认识互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件2需准确理解题
18、意，特别留心“至多”“至少”“不少于”等语句的含义.A组专项基础训练(时间：40分钟)1一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是_至多有一次中靶； 两次都中靶；只有一次中靶； 两次都不中靶答案解析射击两次的结果有：一次中靶；二次中靶；两次都不中靶，故至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶2下列命题：将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；若事件A与B互为对立事件，则事件AB为必然事件，其中，真命题是_答案解析对一枚硬
19、币抛两次，共出现正，正，正，反，反，正，反，反四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故错；对对立事件首先是互斥事件，故正确；对互斥事件不一定是对立事件，如中两个事件，故错；对事件A、B为对立事件，则这一次试验中A、B一定有一个要发生，故正确3从6个男生2个女生中任选3人，则下列事件中必然事件是_3个都是男生； 至少有1个男生；3个都是女生； 至少有1个女生答案解析因为只有2名女生，所以选出的3人中至少有一个男生4在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是_至多有一张移动卡； 恰有一张移动卡；都不是移动卡； 至少有一张
20、移动卡答案解析至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件5在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品其中_是必然事件；_是不可能事件；_是随机事件答案6甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b1,2,3，若|ab|1，则称甲、乙“心有灵犀”现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为_答案解析甲想一数字有3种结
21、果，乙猜一数字有3种结果，基本事件总数为339.设甲、乙“心有灵犀”为事件A，则A的对立事件B为“|ab|1”，即|ab|2包含2个基本事件，P(B)，P(A)1.7口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有_个答案15解析10.420.280.30,210.4250，500.3015.8已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随
22、机数为一组，代表三次投篮的结果经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为_答案0.25解析20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.9黄种人群中各种血型的人所占的百分比如下表所示：血型ABABO该血型的人所占比/%2829835已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血
23、型的人不能互相输血小明是B型血，若小明因病需要输血，问：(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？解(1)对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A，B，C，D，它们是互斥的由已知，有P(A)0.28，P(B)0.29，P(C)0.08，P(D)0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件BD.根据互斥事件的加法公式，有P(BD)P(B)P(D)0.290.350.64.(2)方法一由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件AC，且P(AC)P(A)P(C)0.280.080
24、.36.方法二因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P(AC)P(BD)1P(BD)10.640.36.10对一批衬衣进行抽样检查，结果如表：抽取件数n50100200500600700800次品件数m021227273540次品率(1)求次品出现的频率(次品率)；(2)记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P(A)；(3)为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1 000件衬衣，至少需进货多少件？解(1)次品率依次为0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05.(2)由(1)知，出现次品的频率在0.05附近
25、摆动，故P(A)0.05.(3)设进衬衣x件，则x(10.05)1 000，解得x1 053，故至少需进货1 053件B组专项能力提升(时间：25分钟)1一个人掷骰子(均匀正方体形状的骰子)游戏，在他连续掷5次都掷出奇数点朝上的情况下，掷第6次奇数点朝上的概率是_答案解析无论哪一次掷骰子都有6种情况其中有3种奇数点朝上，另外3种偶数点朝上故掷第6次奇数点朝上的概率是.2设事件A，B，已知P(A)，P(B)，P(AB)，则A，B之间的关系一定为_两个任意事件 互斥事件非互斥事件 对立事件答案解析因为P(A)P(B)P(AB)，所以A，B之间的关系一定为互斥事件3一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿
26、玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为，取得两个绿球的概率为，则取得两个同颜色的球的概率为_；至少取得一个红球的概率为_答案解析(1)由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P.(2)由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P(A)1P(B)1.4.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是_，他属于不
27、超过2个小组的概率是_答案解析“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P.“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”故他属于不超过2个小组的概率是P1.5.如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为_答案解析记其中被污损的数字为x，依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是(80290389210)90，乙的五次综合测评的平均成绩是(803902337x9)(442x)，令90(442x)，解得x8，所以x的可能取值是07，因此甲的平均成绩超过乙的平均成
28、绩的概率为.6如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10202030304040505060选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径解(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有121216444(人)，用频率估计相应的概率为0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间(分钟)10202030304040505060L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站由(2)知P(A1)0.10.20.30.6，P(A2)0.10.40.5，P(A1)P(A2)，甲应选择L1.同理，P(B1)0.10.20.30.20.8，P(B2)0.10.40.40.9，P(B1)P(B2)，乙应选择L2.
