1、考纲要求考纲研读1.理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式；并能运用有关知识解决相应问题.3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数的关系.1.理解等差数列的概念，会用定义证明一个数列是等差数列2能利用等差中项、通项公式与前 n 项和公式列方程求值3善于识别数列中等差关系或转化为等差关系；能利用通项公式或前 n 项和公式求最值.第2讲等差数列1等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数 d，这个数列叫做等差数列，常数 d 称为等差数列的公差2通项公式与前 n 项和公式a1 为首项，d 为公差
2、，(1)通项公式 an_；(2)前 n 项和公式 Sn_或_.a1(n1)d3等差中项如果 a，A，b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项即：A 是 a 与 b 的等差中项2A_a，A，b 成等差数列4等差数列的常用性质(1)数列an是等差数列，则数列anp、pan(p 是常数)都是等差数列(2)若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq；特别地，若mn2p(m，n，pN*)，则aman2ap.ab(5)等差数列的单调性：若公差 d0，则数列单调递增；若公差 d0，则数列单调递减；若公差 d0，则数列为常数列(4)若等差数列an的前n项和为Sn，则Sk，S2kSk，S
3、3kS2k，S4kS3k是等差数列1设 Sn 是等差数列an的前 n 项和，已知 a23，a611，则 S7 等于()CA13B35C49D63B2已知an为等差数列，a1a38，S410，则 a6 等于()A4B8C12D163在等差数列an中，若 S11220，则 a6_.20104已知数列an为等差数列，且a1a7a13，则tan(a2a12)_.5已知Sn为等差数列an的前n项和，a11，a47，Sn100，则n_.考点1 等差数列的基本量运算例1：等差数列an的前n项和记为Sn，已知a1020，S10155.(1)求数列an的通项公式；(2)若Sn410，求n.在解决等差数列问题时，
4、已知a1，an，d，n，Sn中任意三个，可求其余两个，称为“知三求二”而求得a1和d是解决等差数列an所有运算的基本思想和方法【互动探究】101(2011年广东)等差数列an前9项的和等于前4项的和若a11，aka40，则k_.2(2011 年湖北)九章算术“竹九节”问题：现有一根 9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 4 节的容积共 3升，下面 3 节的容积共 4 升，则第五节的容积为()B考点2 求等差数列的前n项和例2：已知Sn为等差数列an的前n项和，S10100，S10010，求S110.解题思路：利用方程的思想将Sn表示成关于a1，d的方程，或利用等差数列的性质【互动探究
5、】3(2011 年江西)设an为等差数列，公差 d2，Sn 为其前n 项和若 S10S11，则 a1()BA18B20C22D244(2011 年湖南)设 Sn 是等差数列an(nN*)的前 n 项和，且a11，a47，则 S5_.25解析：S10S11，a110.a11a110d，d2，a120.考点3 等差数列性质的应用例 3：(1)已知 Sn 为等差数列an的前 n 项和，a6100，则 S11_；(2)若一个等差数列的前 4 项和为 36，后 4 项和为 124，且所有项的和为 780，则这个数列的项数 n_.解题思路：(1)利用等差数列的有关性质求解(2)利用等差数列的前 4 项和及
6、后 4 项和求出 a1an，代入 Sn 可求项数 n.答案：(1)1 100 (2)39 利用等差数列an的性质“若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq”可以把an与Sn结合起来，给计算带来很大便利，是解决等差数列的有效方法【互动探究】745(2011年重庆)在等差数列an中，a3a737，则a2a4a6a8_.解析：a2a4a6a82(a2a8)2(a3a7)74.思想与方法13利用函数的思想求等差数列前 n 项和的最值例题：设等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a312，S120，S130.(1)求公差 d 的取值范围；(2)指出 S1，S2，S12 中哪一个值最大，并
7、说明理由(2)方法一：由d0，可知a1a2a3a12a13.因此，若在1n12中，存在自然数n，使得an0，an10，则Sn就是S1，S2，S12中的最大值由于S126(a6a7)0，S1313a70，即a6a70，a70，由此得a6a70.故在S1，S2，S12中S6的值最大1等差数列的判定方法(1)定义法：an1and(nN*，d是常数)an是等差数列(2)中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)通项公式法：anknb(k，b是常数)an是等差数列(4)前n项和公式法：SnAn2Bn(A，B是常数，A0)an是等差数列2解决与等差数列有关问题时常见的思想方法(1)函数思想：在等差数列中andnc(d，c为常数)是关于n的一次函数(或常数函数)，Snan2bn(a，b为常数)是关于n的二次函数(或一次函数)(2)方程思想：准确分析a1，d，an，Sn，n之间的关系，通过列方程(组)可做到“知三求二”(3)整体思想：在应用等差数列an的性质“若mnpq(m，n，p，qN*)，则amanapaq”时，要会用整体思想进行代换等差数列的前 n 项和公式可写成二次式 Snan2bn(a，b 为常数)，要注意常数项为 0 这一特点；等差数列的基本运算和性质应用并不是相互独立的，在实际问题中要注意做到综合考虑，使其相辅相成
