1、26.3 实践与探索第3课时 二次函数与一元二次方程的联系学习目标：1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式)之间的联系，体会数形结合思想的应用.（难点）2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.(重点）3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.自主学习一、知识链接1.如图，直线y=kx+b与x轴的交点坐标为（1，0），则关于x的方程kx+b=0的解是 ；关于x的不等式kx+b0的解集为 ；若点P（2.5，3）在函数图象上，则关于x的方程kx+b=3的解是 . 图 图2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b和y=mx+n相交于点(2，-1），则关于x、y的方程组的
2、解为 .不等式kx+bmx+n的解集是 .3.不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）5x2+x=7； （2）25x2+20x+4=0； （3）（x+1）（4x+1）=2x思考：对于抛物线y=ax2+bx+c,能否通过图象得出y=0的解及y0的解集？ 二、新知预习1.画出二次函数的图象.（1）根据图象填写下表：抛物线与x轴交点个数交点横坐标方程y=0的根（2） 通过上表，你能得出什么结论？【自主归纳】二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数：当b2-4ac0时，有_个交点；当b2-4ac=0时，有_个交点；当b2-4ac0时，有_个交点.（3）对于二次函数观察图象，填空：当x满足条件_
3、时，y0；当x满足条件_时，y0练习：1. 二次函数y=2x2+3x+1的图象与x轴的交点有（）A0个 B1个 C2个 D1个或2个2.画出二次函数y=x2-4x+3的图象，并回答:当x取何值时，y=0?当x取何值时，y0?当x取何值时，y0?合作探究一、 要点探究探究点1：二次函数与一元二次方程（不等式）的关系观察与思考 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，根据图象填空：（1） 直接写出关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0的解：_;（2）当x满足_时，y0，当x满足_时，y0.（3）在坐标系中画出直线y=4,它与二次函数y=ax2+bx+c的图象有交点吗？若有，则交点的横坐标为
4、_;由此，可以得出关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=4的解为_;（4）在坐标系中画出直线y=3,此时直线y=3与二次函数y=ax2+bx+c的图象有_个交点；交点的横坐标为_;请写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c-3=0的解：_; 图 图【要点归纳】一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根就是抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.思考：利用图象法求关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解时，除了画出二次函数y=ax2+bx+c的图象，通过其与x轴的交点坐标得出方程
5、的解之外，还有别的方法吗？问题：在图所示的坐标中，画出二次函数y=x2和一次函数y=x+2的图象，根据图象，填空：（1） 抛物线与直线交点的横坐标分别为_,它们可看作是一元二次方程_的解；（2） 抛物线与直线交点的坐标分别为_,它们可看作是方程组_的解.练一练 已知二次函数y=-x2+2x+3和一次函数y=-x+3的图象如图所示，根据图象，填空：（1） 关于x的一元二次方程-x2+2x+3=-x+3的解为_；（2） 方程组的解为_；（3）不等式-x2+2x+3-x+3的解集为_. 图 图 图【典例精析】例1 二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c-4=0的根
6、的情况是（）A有两个相等的实数根 B有两个不相等的正实数根 C有两个不相等的负实数根 D没有实数根【针对训练】 已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+=0的根的情况是（）A无实数根 B有两个相等实数根 C有两个异号实数根 D有两个同号不等实数根例2 已知关于x的二次函数y=ax2-4ax+a+1（a0），若二次函数的图象与x轴有交点，求a的取值范围.【针对训练】已知二次函数y=x2-2mx+m2-1（m为常数）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点.探究点2：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解做一做 求一元二次方程的根的近似值(精确到
7、0.1).（1）在给出的平面直角坐标系中画出y=的图象；（2）观察图象，可知y=的图象与x轴的两个交点,一个在_之间，一个在_之间；（3）根据图象估算一个根在-0.8-0.6之间，另一个根在2.62.8之间，填写下表（可利用计算器进行计算）：x-0.8-0.7-0.62.62.72.8（4）根据上表，可知当x=_时，y的值更趋近于0，则一元二次方程的根的近似值为_.【要点归纳】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，先画出相应二次函数的图象，确定其与x轴交点的横坐标所在范围；再根据图象及精确度，估算x的近似取值范围，然后通过列表求值，得出使得y的值最趋近于0的x的值，此时x的值即为一元二次方
8、程的近似解.二、课堂小结判别式=b24ac000二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根x1，x2x1=x2没有实数根不等式ax2+bx+c0(a0)的解集xx2x x1的一切实数所有实数不等式ax2+bx+c0)的解集x1xx2无解无解当堂检测1. 抛物线y=-x2+2x-4与x轴的交点个数是（）A0个 B1个 C2个 D3个2.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式-2m2+2m+2020的值为（）A2018 B2019 C2020 D20213.已知抛物线y=ax2+2x-1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象
9、限是（）A 第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4.已知二次函数y=ax2+bx+c中x和y的值如下表（）x0.100.110.120.130.14y-5.6-3.1-1.50.91.8则ax2+bx+c=0的一个根的范围是（）A0.10x0.11 B0.11x0.12 C0.12x0.13 D0.13x0.145. 画出二次函数y=-x2+2x+3的图象，并根据图象解答下列问题（1）写出抛物线的对称轴、顶点坐标、与x轴和y轴的交点坐标（2）当x在什么范围内时，y0？（3）当x在什么范围内时，y0？6.如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A（1，0
10、）及点B（n，3）.（1）求二次函数的表达式及n的值；（2）根据图象，直接写出满足kx+b（x-2）2+m的x的取值范围参考答案自主学习一、 知识链接1.x=1 x1 x=2.5 2. x23.解：（1）原方程化为一般式5x2+x-7=0.=12-45（-7）=1410，方程有两个不相等的实数根.（2）=202-4254=0，方程有两个相等的实数根.（3）原方程化为一般式4x2+3x+1=0.=32-441=-70，方程没有实数根二、新知预习1.如图所示.（1）填表如下：抛物线与x轴交点个数交点横坐标方程y=0的根2-1，3x1=-1,x2=30无无实数根12x1=x2=2【自主归纳】 2 1
11、 0（3） -1x3 x-1或x3 练习：1.C 2.解：画图略.当x=1或x=3时，y=0.当x3或x1时，y0.当 1x3时，y0.合作探究一、要点探究探究点1：二次函数与一元二次方程（不等式）的关系观察与思考 (1)x1=-1,x2=3 （2）-1x3 x-1或x3 (3)（图略）1 x=1 (4) （图略）2 0，2 x1=0，x2=2问题 解： 二次函数y=x2和一次函数y=x+2的图象如图所示.（1）-1，2 x2=x+2 （2）（-1，1），（2,4） 练一练 （1）x1=0,x2= 3 （3）0x3 【典例精析】例1 D 【针对训练】D例2 解：（1）=（-4a）2-4a（a+
12、1）0，且a0，解得a. 【针对训练】证明：=b2-4ac=（-2m）2-4（m2-1）=40，故不论m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点.探究点2：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解做一做 解：（1）如图所示. （2）-10 23 (3) 填表如下：x-0.8-0.7-0.62.62.72.80.24-0.11-0.44-0.44-0.110.24（4） -0.7或2.7 x1-0.7，x22.7当堂检测1. A 2.A 3.D 4.C 5. 解：（1）如图所示.抛物线的对称轴为直线x=1，当x=1时，y=4，故顶点坐标为（1，4）.令y=0，则x=3或x=-1.令x=0，则y=3.故抛物线与x轴的交点坐标为（3，0）、（-1，0）.抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）.（2）当-1x3时，y0.（3）当x3或x-1时，y06.解：（1）二次函数y=（x-2）2+m的图象经过点A（1，0），（1-2）2+m=0，解得m=-1.二次函数的表达式为y=（x-2）2-1（或y=x2-4x+3），代入点B的坐标，可得（n-2）2-1=3，解得n1=4，n2=0（不合题意，舍去）.n的值为4.（2）当1x4时，kx+b（x-2）2+m
