1、第二章 测试一选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下面四个命题:分别在两个平面内的两直线是异面直线;若两个平面平行,则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面;如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,则这两个平面平行;如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行.其中正确的命题是()A.B.C.D.答案:B2.棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.不相交解析:由棱台的定义知,各侧棱的延长线交于一点,所以选B.答案:B3.平面平面,l,
2、则()A.lB.L C.l与可能相交D.l与不可能相交答案:D4.下面四个命题:若直线a与b异面,b与c异面,则a与c异面;若直线a与b相交,b与c相交,则a与c相交;若直线ab,bc,则abc;若直线ab,则a,b与直线c所成的角相等.其中真命题的个数是()A.4B.3C.2D.1解析:借助正方体可以举反例,说明与不正确.正确,故选C.答案:C5.若三个平面两两相交,有三条交线,则下列命题中正确的是()A.三条交线为异面直线B.三条交线两两平行C.三条交线交于一点D.三条交线两两平行或交于一点答案:D6.如右图,在ABC中,BAC=90,PA面ABC,AB=AC,D是BC的中点,则图中直角三
3、角形的个数是()A.5B.8C.10D.6解析:这些直角三角形是:PAB,PAD,PAC,BAC,BAD,CAD,PBD,PCD.共8个.答案:B7.菱形ABCD在平面内PC,则PA与对角线BD的位置关系是()A.平行B.相交但不垂直C.垂直相交D.异面垂直解析:画图易知,PA与BD异面且垂直.答案:D8.如右图设三棱锥PABC的顶点P在底面ABC内射影O(在ABC内部,即过P作PO底面ABC,交于O),且到三个侧面的距离相等,则O是ABC的()A.外心B.垂心C.内心D.重心解析:由题设可以利用三角形全等证明点O到ABC各边的距离相等,所以O为ABC的内心.答案:C9.下列命题正确的有()若
4、ABC在平面外,它的三条边所在直线分别交于PQR,则PQR三点共线.若三条平行线abc都与直线l相交,则这四条直线共面.三条直线两两相交,则这三条直线共面.A.0个 B.1个C.2个 D.3个解析:易知与正确,不正确.答案:C10.已知平面外不共线的三点ABC到的距离相等,则正确的结论是()A.平面ABC必平行于B.平面ABC必不垂直于C.平面ABC必与相交D.存在ABC的一条中位线平行于或在内解析:排除ABC,故选D.答案:D11.给定下列四个命题:若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;垂直于同一直线的两条直
5、线相互平行;若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中,为真命题的是()A.和B.和C.和D.和答案:D12.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点 EF,且则下列结论错误的是()A.ACBEB.EF平面ABCDC.三棱锥ABEF的体积为定值D.AEF的面积与BEF的面积相等 解析:易证AC平面BB1D1D,ACBE.又ACB1D1,EF在直线B1D1上,ACEF,此处对A选项未分析清楚.又B1D1面ABCD,EF面ABCD,ABC选项都正确,由排除法即选D.答案:D二填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.把答案
6、填在题中横线上)13.已知ABCD为空间四个点,且ABCD不共面,则直线AB与CD的位置关系是_.解析:如图所示:由图知,AB与CD为异面直线.异面14.在空间四边形ABCD的边ABBCCDDA上分别取点EFGH,如果EHFG相交于一点M,那么M一定在直线_上.BD15.如下图所示,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕.使ABD和ACD折成互相垂直的两个平面,则:(1)BD与CD的关系为_.(2)BAC=_.案:(BDCD60 解析:(1)AB=AC,ADBC,BDAD,CDAD,BDC为二面角的平面角,BDC=90,BDDC.(2)设等腰直角三角形的直角边长为a,解析:(1)AB=AC,
7、ADBC,BDAD,CDAD,BDC为二面角的平面角,BDC=90,BDDC.(2)设等腰直角三角形的直角边长为a,则斜边长为折叠后折叠后ABC为等边三角形.BAC=60.16.在正方体ABCDABCD中,过对角线BD的一个平面交AA于E,交CC于F,则四边形BFDE一定是平行四边形.四边形BFDE有可能是正方形.四边形BFDE在底面ABCD内的投影一定是正方形.平面BFDE有可能垂直于平面BBD.以上结论正确的为_.(写出所有正确结论的编号)解析:如图所示:BE=FD,ED=BF,四边形BFDE为平行四边形.正确.不正确.(BFD不可能为直角).正确.(其射影是正方形ABCD).正确.当EF
8、分别是AACC中点时正确.三解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤)17.(10分)如下图,已知ABCD是矩形,E是以CD为直径的半圆周上一点,且面CDE面ABCD.求证:CE平面ADE.证明:18.(12分)求证平行于三棱锥的两条相对棱的平面截三棱锥所得的截面是平行四边形.已知:如图,三棱锥SABC,SC截面EFGH,AB截面EFGH.求证:截面EFGH是平行四边形.证明：SC截面EFGH,SC 平面EFGH,SC 平面ASC,且平面ASC平面EFGH=GH,SCGH.同理可证SCEF,GHEF.同理可证HEGF.四边形EFGH是平行四边形.19.(1
9、2分)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,MN分别为A1B和AC上的点,A1M=AN,如图.(1)求证:MN面BB1C1C;(2)求MN的长.(1)证明:作NPAB于P,连结MP.NPBC,MPAA1BB1,面MPN面BB1C1C.MN面MPN,MN面BB1C1C.20.(12分)如图,DC平面ABC,EBDC,AC=BC=EB=2DC=2,ACB=120,P,Q分别为AE,AB的中点.()证明:PQ平面ACD;()求AD与平面ABE所成角的正弦值.解:()证明:因为P,Q分别为AE,AB的中点,所以PQEB.又DCEB,因此PQDC,从而PQ平面ACD.()如图,连结CQ,DP,因
10、为Q为AB的中点,且AC=BC,所以CQAB.因为DC平面ABC,EBDC,所以EB平面ABC,因此CQEB.故CQ平面ABE.由()有PQDC,又,所以四边形CQPD为平行四边形,故DPCQ,因此DP平面ABE,DAP为AD和平面ABE所成的角,在RtDPA中,因此AD和平面ABE所成角的正弦值为21.(12分)在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中,ABAC,PA平面ABCD,且PA=AB,点E是PD的中点.(1)求证:ACPB;(2)求证:PB平面AEC.证明:如右图所示.(1)PA平面ABCD,AC平面ABCD,ACPA,又ABACPAAB=A,AC平面PAB.ACPB.(2)连结B
11、D交AC于点O,连结OE.ABCD为平行四边形.O为BD的中点.又E为PD的中点.OEPB.OE 平面AEC,PB 平面AEC.PB平面AEC.22.(12分)(2010安徽文19)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EFAB,EFFB,BFC=90,BF=FC,H为BC的中点.()求证;FH平面EDB;()求证:AC平面EDB;()求四面体BDEF的体积.解:(1)证明:设AC与BD交于G,则G为AC中点,连结EG,GH,由于H为BC中点,故GH.又EF ,EF GH,四边形EFHG为平行四边形,EGFH,而EG 平面EDB,FH平面EDB.(2)证明:由于四边形ABCD为正方形,ABBC,EFAB,EFBC,而EFFB,EF平面BFC,EFFH,ABFH.BF=FC,H为BC中点,FHBC,FH平面ABCD,FHAC,FHEG,ACEG.ACBD,EGBD=G,AC平面EDB.(3)EFFB,BFC=90,BF平面CDEF,BF是四面体BDEF的高,BC=AB=2,
