1、4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系4.3.2 空间两点间的距离公式1.了解空间直角坐标系的概念,会根据题设条件的具体情况,建立适当的空间直角坐标系.2.会在空间直角坐标系中,已知空间点的坐标作出相应点的位置;会根据空间物体的形状,用空间坐标系来描述其特殊点(如顶点等)的相对位置.3.初步了解空间直角坐标系中,点关于坐标平面坐标轴原点的对称点的坐标特征.4.熟悉并掌握空间两点间的距离公式,会应用两点间的距离公式解有关空间距离的问题.5.从空间直角坐标系的建立与平面直角坐标系的比较,初步体会人类认识世界是从低级到高级,从简单到复杂的过程,进一步认识归纳类比在人类认识论中的作用及其应注
2、意的问题.1.如上图,为了确定空间点的位置,我们建立空间直角坐标系:以_为载体.以O为原点,分别以射线OAOCOD的方向为_,以线段OAOCOD的长为单位长,建立三条数轴:_,这时我们说建立了一个_,其中点O叫_,_叫坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面,分别称为_,通常建立的坐标系为_,即_指向x轴的正方向,_指向y轴的正方向,_指向z轴的正方向.单位正方体正方向x轴y轴z轴空间直角坐标系坐标原点x轴y轴z轴xOy平面yOz平面zOx平面右手直角坐标系右手拇指食指中指2.空间一点M的坐标可用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作_
3、,其中x叫做点M的_,y叫做点M的_,z叫做点M的_.3.空间直角坐标系中的两点间距离公式:_.(x,y,z)横坐标纵坐标竖坐标1.空间直角坐标系跟数轴(一维坐标系)平面直角坐标系(二维坐标系)一样,空间直角坐标系(三维坐标系)也强调原点方向单位长度三要素.(1)右手系与左手系就坐标轴的方向而言,我们又分右手系和左手系,一般我们采用右手系,即x轴向前为正,y轴向右为正,z轴向上为正.从一点引出来的三条坐标轴两两垂直,即交于一点的两两互相垂直的三个平面将空间分成了8个部分(象限).空间直角坐标系的建立,使得空间的所有点和全体有序实数组(x,y,z)之间建立了一一对应的关系.(2)坐标平面和坐标轴
4、上点的坐标特点坐标平面xOy平面xOz平面yOz平面坐标特点z=0y=0 x=0点的坐标(x,y,0)(x,0,z)(0,y,z)坐标轴x轴y轴z轴坐标特点y=0,z=0 x=0,z=0 x=0,y=0点的坐标(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z)2.空间直角坐标系中的对称点点P(x,y,z)的对称点的坐标关于xOy平面对称关于yOz平面对称关于xOz平面对称关于原点对称(x,y,-z)(-x,y,z)(x,-y,z)(-x,-y,-z)关于x轴对称关于y轴对称关于z轴对称(x,-y,-z)(-x,y,-z)(-x,-y,z)题型一 空间点的坐标例1:已知正方体ABCD-A1B1C1D1,
5、EFG是DD1BDBB1的中点,且正方体棱长为1.请建立适当的坐标系,写出正方体各顶点及EFG的坐标.分析:不同的建系方法,点的坐标不同,适当的建系,可使求点的坐标简单.解:如上图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0).D(0,0,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),D1(0,0,1).规律技巧:点的空间坐标为该点在坐标轴上的投影在这个坐标轴上的坐标.变式训练1:如图所示,在四棱锥P-ABCD中,各棱长均为a,底面为正方形,PO底面ABCD,建立适当的坐标系,写出各顶点的坐标.解:以底面对角线O为坐标原点,建立下图所示的坐标系
6、.题型二 对称点的坐标例2:求点M(a,b,c)关于坐标平面坐标轴及坐标原点的对称点的坐标.分析:本题可利用类比的方法,先考虑在平面直角坐标系中点的对称问题,然后再考虑添加平面后的各种情况.解:(1)关于xOy平面的对称点坐标为(a,b,-c),关于xOz平面的对称点坐标为(a,-b,c),关于yOz平面的对称点坐标为(-a,b,c).(2)关于x轴的对称点坐标为(a,-b,-c),关于y轴的对称点坐标为(-a,b,-c),关于z轴的对称点坐标为(-a,-b,c).(3)关于原点的对称点坐标为(-a,-b,-c).变式训练2:填空:点A(-4,3,5)在xOy平面上的投影点为_,在yOz平面上
7、的投影点为_,在zOx平面上的投影点为_,在x轴上的投影点为_,在y轴上的投影点为_,在z轴上的投影点为_.(-4,3,0)(0,3,5)(-4,0,5)(-4,0,0)(0,3,0)(0,0,5)题型三 两点间距离公式的应用例3:已知A(1,2,-1),B(2,0,2),在xOz平面内的点M到A与B等距离,求M点的轨迹.分析:在xOz平面上点的坐标的特点是y=0,因此点M(x,0,z),代入两点间距离公式化简得解.解:设M(x,0,z)为所求轨迹上任一点,则有整理,得x+3z-1=0.M点的轨迹是xOz平面内的一条直线,其方程为x+3z-1=0.规律技巧:动点M的轨迹与轨迹方程是两个不同的概
8、念.轨迹是动点M的集合,它是一个图形,而轨迹方程是这个图形的表达式.变式训练3:给定空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点P0(4,1,2)的距离为解:设点P的坐标是(x,0,0),由题意即(x-4)2=25,解得x=9或x=-1点P坐标为(9,0,0)或(-1,0,0).易错探究例4:关于点M(a,b,c)有下列叙述:点M关于x轴对称点的坐标是M1(a,-b,c);点M关于yOz平面对称的点的坐标是M2(a,-b,-c);点M关于原点对称点的坐标是M3(-a,-b,-c).其中正确的叙述有()A.0个B.1个C.2个D.3个错解:C或D错因分析:对空间点的坐标的对称性不理解,记忆模糊,造
9、成错解.对称点的记忆口诀是:“关于谁对称谁不变,其余变相反”.如点M(a,b,c)关于x轴对称的点M1(a,-b,-c).点M关于xOz平面对称的点M2(a,-b,c).正解:B基础强化1.下列叙述中,正确的个数是()在空间直角坐标系中,在Ox轴上的点的坐标一定是(0,b,c);在空间直角坐标系中,在yOz平面上点的坐标一定可写成(0,b,c);在空间坐标系中,在Oz轴上点的坐标可记作(0,0,c)在空间直角坐标系中,在xOz平面上点的坐标是(a,0,c)A.1 B.2C.3D.4解析:错,正确.因此应选C.答案:C2.在空间直角坐标系中,点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标是()A.(-
10、2,1,-4)B.(-2,-1,-4)C.(2,-1,4)D.(2,1,-4)解析:点(x,y,z)关于x轴的对称点的坐标为(x,-y,-z).所以(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为(-2,-1,-4).答案:B3.点A(2,0,3)在空间直角坐标系的位置是()A.y轴上B.xOy平面上C.xOz平面上D.yOz平面上解析:A(2,0,3)其中纵坐标为0,点A应在xOz平面上.答案:C4.设点B是点A(2,-3,5)关于xOy面的对称点,则|AB|=()解析:点A(2,-3,5)到平面xOy的距离为5,由于B与A关于平面xOy对称,所以点B到平面xOy的距离也是5.故|AB|=10.答案
11、:A5.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4)为三角形的三个顶点,则ABC是()A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形答案:A6.点为空间直角坐标系中的点,过点P作平面xOy的垂线PQ,垂足为Q,则点Q的坐标为()解析:由空间点的坐标的定义知,点Q的坐标为答案:D7.已知A(3,5,-7)和B(-2,4,3)则线段AB在坐标平面yOz上的射影的长度为_.解析:点A(3,5,-7)和B(-2,4,3)在坐标平面yOz上的射影分别为A(0,5,-7)和B(0,4,3),线段|AB|在平面yOz上的射影长|AB|=8.设z为任意实数,相应的所有点P(1,2,
12、z)的集合是什么图形?解:是过点(1,2,0)且垂直于xOy平面的直线.能力提升9.坐标平面yOz上一点P满足:(1)横纵竖坐标之和为2;(2)到点A(3,2,5)B(3,5,2)的距离相等.求点P的坐标.解:设P(x,y,z)由题意知解方程组得x=0,y=1,z=1P点坐标为(0,1,1).10.侧棱垂直底面的三棱柱叫直三棱柱.已知直三棱柱ABC-A1B1C1,底面ABC中,CA=CB=1,BCA=90,棱AA1=2,MN分别是A1B1,A1A的中点.求MN的长.分析:当几何体中过某一点的三条棱两两垂直时,可建立恰当的直角坐标系,利用点的坐标解决距离问题.解:如下图,以C为原点,以CACBC
13、C1所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系C-xyz,CA=CB=1,AA1=2,N(1,0,1),11.(江苏高考)设点P在x轴上,它到点的距离为到点P2(0,1,-1)的距离的2倍,则点P的坐标为()A.(1,0,0)B.(-1,0,0)C.(1,0,0)或(0,-1,0)D.(1,0,0)或(-1,0,0)解析:由题意设P(x,0,0).则即x2+2+9=4(x2+1+1),即x2=1,x=1.点P的坐标为(1,0,0)或(-1,0,0).答案:D12.在空间直角坐标系中,点M(-2,4,-3)在xOz平面上的射影为M点,则M点关于原点的对称点的坐标是_.解析:点M(-2,4,-3)在平面xOz上的射影M(-2,0,-3),M关于原点的对称点的坐标是(2,0,3).(2,0,3)
