1、4.2 直线圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系1.了解直线与圆的位置关系,有相离相切相交三种情形.2.会用几何法(d与r的关系)代数法(直线方程与圆的方程解的组数)来判断直线与圆的位置关系.3.了解圆的切线方程的几种常见形式,会依据条件求圆的切线方程.直线与圆有三种位置关系:(1)直线与圆_,有两个公共点.(2)直线与圆_,有一个公共点.(3)直线与圆_,没有公共点.相交相切相离1.判断直线与圆的位置关系的两种方法(1)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小判断:dr相离.(2)联立直线与圆的方程,转化为一元二次方程,利用判别式“”进行判断:0相交,=0相切,r;圆C与直线l相切d=r;
2、圆C与直线l相交d4,点Q在圆外.设切线方程为y=k(x-3),即kx-y-3k=0.直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径.k=所求切线方程为y=即(3)设圆的切线方程为y=-x+b,代入圆的方程,整理得2x2-2bx+b2-4=0.直线与圆相切,=(-2b)2-42(b2-4)=0.解得b=所求切线方程为x+y规律技巧:(2)也可由判别式法和求切点坐标的方法求切线方程.(3)也可利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.题型三 弦长问题例3:直线l经过点P(5,5),且和圆C:x2+y2=25相交,截得弦长为求l的方程.分析:若直线l的斜率不存在,l:x=5与圆C相切,可知直线l的斜率存在,
3、设直线l的方程为y-5=k(x-5),再根据弦长得方程求k.解法1:设直线l的方程为y-5=k(x-5)且与圆C相交于A(x1,y1),B(x2,y2),两边平方,整理得2k2-5k+2=0.解得或k=2.代入(1)知,0.故直线l的方程为x-2y+5=0,或2x-y-5=0.解法2:如右图所示,OH是圆心到直线l的距离,OA是圆的半径,AH是弦长AB的一半,在RtAHO中,OA=5,规律技巧:关于弦长问题,通常有两种方法,其一称为代数法,即将直线方程代入圆的方程,消去一个变量y(或x),利用韦达定理,代入两点间距离公式求解.其二称为几何法,即半弦长弦心距半径组成直角三角形,利用直角三角形求解
4、.本例说明几何法比代数法简便.变式训练3:求直线l:3x+y-6=0被圆x2+y2-2y-4=0截得的弦长.消去y得x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2,y1=3,y2=0.两交点坐标A(1,3),B(2,0),弦长易错探究例4:求过点P(6,-8)与圆C:x2+y2-2x-4y-20=0相切的直线方程.错解:将圆的方程配方,得(x-1)2+(y-2)2=25,圆心C(1,2),半径r=5.易知点P(6,-8)在圆C外部,设切线方程为y+8=k(x-6),即kx-y-6k-8=0.由圆心到切线的距离等于半径得解得切线方程为即3x+4y+14=0.错因分析:事实上,从圆外一点作圆的切线有两
5、条错解中只考虑了斜率存在的情况,忽略了斜率不存在时的切线,造成错解.正解:在错解中补充上,另一条切线x=6即可.基础强化1.若直线x+y+m=0与圆x2+y2=m相切,则m为()A.0或2 B.2C.D.无解解析:依题意得m2=2m,m0,m=2.答案:B2.直线y=x-1上的点到圆x2+y2+4x-2y+4=0的最近距离为()解析:圆心(-2,1)到直线y=x-1的距离是直线上的点到圆的最近距离是答案:C3.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点P(a,b)的位置是()A.在圆上B.在圆外C.在圆内D.以上都有可能解析:由题意可得.点P(a,b)在圆外.答案:B4.设直线过点(0,
6、a),其斜率为1,且与圆x2+y2=2相切,则a的值为()A.4B.C.2D.解析:直线方程为y-a=x,即x-y+a=0.该直线与圆x2+y2=2相切,a=2.答案:C5.直线3x+4y-5=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是()A.相离B.相切C.相交且过圆心D.相交不过圆心解析:将圆的方程配方得直线与圆相交且通过圆心.答案:C6.过点的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k=_.解析:当直线l与过圆心(2,0)和点的直线垂直时,直线l截得的劣弧最短,此时其对的圆心角最小,可求得7.若直线y=x+k与曲线恰有一个公共点,则k的
7、取值范围是_.解析:利用数形结合法.8.求与直线y=x+3平行且与圆(x-2)2+(y-3)2=8相切的直线方程.解:方法1:设直线的方程为y=x+m,即x-y+m=0.圆(x-2)2+(y-3)2=8的圆心坐标为(2,3),半径为由得m=5或m=-3.所以直线方程为y=x+5或y=x-3.方法2:设直线的方程为y=x+m,和圆的方程联立消去y得2x2+(2m-10)x+m2-6m+5=0,由直线与圆相切,=(2m-10)2-8(m2-6m+5)=0,即m2-2m-15=0,解得m=5或m=-3,所以直线的方程为y=x+5或y=x-3.能力提升9.在直线上求一点P,使P到圆x2+y2=1的切线
8、长最短,并求出此时切线的长.解:设P(x0,y0),则切线长故当P为时,切线长最短,其值为10.求经过点P(6,-4),且被定圆x2+y2=20截得弦长为直线的方程.分析:充分利用半径弦弦心距之间的关系.解:如下图所示,作OCAB于C,在RtOAC中,OC=设所求直线的斜率为k,则直线的方程为y+4=k(x-6),即kx-y-6k-4=0.圆心到直线的距离为即17k2+24k+7=0.k1=-1,k2=所求直线方程为x+y-2=0或7x+17y+26=0.11.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C的方程为()A.(x+1)2+(y-1)2=2B.(x-1)2+(y+1)2=2C.(x-1)2+(y-1)2=2D.(x+1)2+(y+1)2=2解析:圆心在直线x+y=0上知,排除CD.验证当圆心(1,-1)时,适合题意,故选B答案:B12.已知圆心在x轴上,半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线x+y=0相切,则圆O的方程为_.解析:设圆心O(x,0)(x0),则|x|=2,x0,x=-2.圆的方程为(x+2)2+y2=2.(x+2)2+y2=2
