1、4.2.3 直线与圆的方程的应用1.掌握直线方程圆的方程,进一步提高知识运用能力.2.掌握用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.在掌握直线方程与圆方程的基础上,进一步提高知识运用能力,领会将几何问题转化为代数问题的过程,即由坐标方法解决平面几何问题.一般来说此类问题分为如下三步:第一步:_,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题.第二步:通过_,解决代数问题.第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.注意:_方法的灵活运用.建立适当的直角坐标系代数运算数形结合思想1.用坐标法解决几何问题的方法步骤:(俗称“三步曲”)第一步:根据题目的特点,建立适当的直角坐标系,一
2、般坐标原点选在线段的中点,几何图形的对称中心等.建立坐标系适当,可使问题简化.用坐标和方程表示几何问题中的元素.将几何问题转化为代数问题.第二步:用代数运算解决代数问题.第三步:把代数运算的结果“翻译”成几何结论.2.要灵活运用数形结合的思想方法.对于一些代数问题,根据其几何意义,可用几何方法解决.题型一 数形结合思想方法的应用例1:(1)方程表示的曲线是什么?(2)若方程有解,求实数b的取值范围.解:(1)等价于x2+y2=9(y0),表示半圆,即以原点为圆心,3为半径的圆在x轴上方的半圆(包括两个端点).(2)方程有解,即半圆与直线y=x+b有交点(如下图).易求出,当-3b3 时,方程有
3、解.变式训练1:若直线与圆x2+y2=1有公共点,则()A.a2+b21 B.a2+b21答案:D题型二 用坐标法求圆的方程例2:如下图所示,点M是弓形弧的中点,弦|OA|=8,弓形的高为2 m,求此弧所在圆的方程.分析:只需要求圆心坐标及半径即可.解:设圆心坐标为(4,b),圆的半径为r,那么圆的方程是(x-4)2+(y-b)2=r2.由于原点O(0,0)和圆弧最高点M(4,2)也在圆上解得:b=-3,r2=25.所以圆的方程是(x-4)2+(y+3)2=25.规律技巧:本题也可以选取弦OA的中点为坐标原点建立直角坐标,可求得此弧所在圆的方程为x2+(y+3)2=25.由此看来,建立的坐标系
4、不同,所求得的方程不同.变式训练2:如图,圆O1和圆O2的半径都等于1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PMPN(M,N分别为切点),使得,建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.解:以O1O2的中点O为坐标原点,O1O2所在直线为x轴,建立直角坐标系如图所示,则O1(-2,0),O2(2,0).由已知得PM2=2PN2,因为圆的半径为1,所以:PO21-1=2(PO22-1),设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1,即(x-6)2+y2=33.故所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.题型三 与圆有关的综合问题例3:已知AOB中,|OB|
5、=3,|OA|=4,|AB|=5,点P是ABO内切圆上一点,求以|PA|PB|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值.分析:三个圆面积之和的最值问题实质上是求|PA|2+|PB|2+|PO|2的最值.由于P是ABO内切圆上的点,若想找到P点坐标,必须先从ABO内切圆的方程入手.解:如下图,建立直角坐标系,使ABO三点的坐标分别为A(4,0)B(0,3)O(0,0).易求得ABO的内切点半径r=1,圆心(1,1).故内切圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=1.化简为x2+y2-2x-2y+1=0,设P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2
6、+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25.由可知x2+y2-2y=2x-1,将其代入有|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.x0,2,故|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22,最小值为18,三个圆面积之和为所求面积的最大值为最小值为规律技巧:选定原点,建立恰当的直角坐标系,可以简化几何问题,将几何问题转化为代数问题.变式训练3:一艘轮船沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报,台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径为30 km的圆形区域,已知港口位于台风中心的正北40 km处,如果这艘船不改变航线,那么它是否会受到台风的影
7、响?解:如图所示:以台风中心为坐标原点,以正东方向为x轴正方向建立直角坐标系,其中取10 km为单位长度,则受台风影响的圆形区域所对应的方程为x2+y2=9,港口所在位置的坐标(0,4),轮船的位置坐标(7,0),则轮船航线所在直线方程为即4x+7y-28=0,圆心到直线的距离而r=3,dr,直线与圆相离,所以轮船不会受到台风影响.易错探究例4:已知圆x2+y2+2x+2y+1=0,x2+y2-6x+8y+9=0,求两圆的位置关系.得4x-3y-4=0,即代入x2+y2+2x+2y+1=0,并整理得25x2+10 x+1=0.=100-425=0,两圆只有一个公共点,故两圆相切.错因分析:两圆
8、方程联立,=0说明两圆只有一个公共点,此时两圆有可能外切,也有可能内切.正解:把两圆的方程分别配方,化为标准方程为(x+1)2+(y+1)2=1,(x-3)2+(y+4)2=16,两圆心坐标C1(-1,-1),C2(3,-4),半径r1=1,r2=4.圆心距|C1C2|=5=r1+r2.两圆相外切.基础强化1.已知直线ax-by+c=0(abc0),与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形()A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在解析:直线与圆相切,则a2+b2=c2.答案:B2.已知点AB分别在两圆x2+(y-1)2=1与(x-2)2+(y-
9、5)2=9上,则AB两点之间的最短距离为()解析:两圆心之间的距离为两圆相离,A、B两点之间的最短距离为答案:C3.方程x(x2+y2-1)=0和x2-(x2+y2-1)2=0表示的图形是()A.都是两个点B.一条直线和一个圆C.前者是一条直线和一个圆,后者是两个圆D.前者为两个点,后者是一条直线和一个圆解析:x(x2+y2-1)=0 x=0或x2+y2-1=0,则它表示一条直线x=0和一个圆x2+y2=1;x2-(x2+y2-1)2=0 (x+x2+y2-1)(x-x2-y2+1)=0,x+x2+y2-1=0或x-x2-y2+1=0,即它表示两个圆.因此,选C.答案:C4.过原点的直线与圆x
10、2+y2+4x+3=0相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是()解析:设切线方程为y=kx,圆的方程化为(x+2)2+y2=1,而圆心(-2,0)到直线y=kx的距离为1,又切点在第三象限,答案:C5.若直线y=kx+1与圆x2+y2=1相交于PQ两点,且POQ=120(其中O为原点),则k的值为()解析:POQ=120,点O到直线y=kx+1的距离又答案:A6.圆心为(1,1)且与直线x+y=4相切的圆的方程是_.解析:半径则圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.(x-1)2+(y-1)2=27.两圆x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,则实数a的值为_.解析:当两圆内
11、切时有=4,a=0.当两圆外切时,有a=8.与圆x2+y2=4切于点的切线方程为_.解析:圆心(0,0),切线的斜率又切点为切线方程为即能力提升9.已知圆C:(x-2)2+y2=2.(1)求与圆C相切,且在x轴y轴上截距相等的直线方程;(2)从圆C外一点P作圆C的一条切线,切点为M,O为坐标原点,且|PM|=|PO|,求使|PM|最小时点P的坐标.解:(1)设横纵截距相等的切线方程为kx-y=0,与x+y+c=0,则与解得k=1,c=-4或c=0.故切线方程为x+y=0,x-y=0,x+y-4=0.(2)设P(x,y),由|PM|=|PO|,得化简得点P的轨迹为直线要使|PM|最小,即要使|PO|最小,过O作直线的垂线.垂足是所要求的点.11.直线x-2y+5=0与圆x2+y2=8相交于AB两点,则|AB|=_.解析:圆心到该直线的距离弦长=
