1、4.2.2 圆与圆的位置关系1.知道两圆间的位置关系有:外离外切相交内切内含5种.2.会根据两圆的圆心距与半径之间的关系迅速判断出两圆的位置关系.3.初步体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.一般地,设圆C1和C2的方程分别为(x-x1)2+(y-y1)2=r21,(x-x2)2+(y-y2)2=r22.圆心分别为C1(x1,y1),C2(x2,y2),半径分别为r1,r2,两圆圆心距d=|C1C2|=那么,当dr1+r2时,两圆_.当d=r1+r2时,两圆_.当|r1-r2|dr1+r2时,两圆_.当d=|r1-r2|时,两圆_.当0dr1+r2;两圆C1、C2外切|C1C2|=
2、r1+r2;两圆C1C2相交|r1-r2|C1C2|r1+r2;两圆C1、C2内切|C1C2|=|r1-r2|;圆C1内含于圆C20|C1C2|r2-r1|,其中|C1C2|=0时,两圆同心.(2)判断两圆的位置关系时的一般步骤:第一步:将两圆的方程化为标准方程;第二步:依据圆的标准方程计算出两圆的半径r1、r2及圆心距d(即|C1C2|);第三步:根据d与r1、r2之间的关系,判断两圆的位置关系.2.判断两圆的位置关系为什么不用代数法跟判断直线与圆的位置关系一样,判断两圆的位置关系也可以用代数法求方程组解的组数,但由于解两个二元二次方程组通常计算量较大,较为麻烦,而且当无解或是一解时往往还得
3、重新用几何法来讨论,不如直接运用几何法简便.题型一 圆与圆的位置关系例1:a为何值时,两圆x2+y2-2ax+4y+a2-5=0和x2+y2+2x-2ay+a2-3=0.(1)外切;(2)内切.分析:把圆的方程化成标准方程,求出两圆半径及圆心距,再作比较.解:将两圆方程写成标准方程(x-a)2+(y+2)2=9,(x+1)2+(y-a)2=4.设两圆的圆心距为d,则d2=(a+1)2+(-2-a)2=2a2+6a+5.(1)当d=5,即2a2+6a+5=25时,两圆外切,此时a=-5或2.(2)当d=1即2a2+6a+5=1时,两圆内切,解得a=-1或a=-2.规律技巧:解决两圆的位置关系,运
4、用几何方法(圆心距与半径的关系)比代数方法(方程组解的情况)简单.变式训练1:A的方程为x2+y2-2x-2y-7=0,B的方程为x2+y2+2x+2y-2=0,判断A和B是否相交,若相交,求过两交点的直线的方程;若不相交,说明理由.分析:判定两圆是否相交,只需判定两圆的半径和差与圆心距间关系即可.解:A的方程可写为(x-1)2+(y-1)2=9,B的方程可写为(x+1)2+(y+1)2=4,两圆心之间的距离满足3-20),利用题设条件,得到关于a、b、r的三个方程,解方程组求得a,b,r即可.解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0),将x2+y2-2x=0化为标准形式(x
5、-1)2+y2=1,由题意可得规律技巧:本题利用了待定系数法,设出所求圆的方程,根据圆与圆相切,圆与直线相切的条件列出关于a,b,r的方程组求解.变式训练2:以(3,-4)为圆心,且与圆x2+y2=64内切的圆的方程.解:设所求圆的半径为r,则r=3或r=13,故所求圆的方程为(x-3)2+(y+4)2=9或(x-3)2+(y+4)2=169.题型三 与两圆公共弦有关的问题例3:已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0.求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.分析:因两圆的交点坐标同时满足两个圆的方程,联立方程组消去x2项y2项,即得两圆的两个交点所
6、在的直线方程.利用勾股定理可求出两圆公共弦长.解:设两圆交点为A(x1,y1)、B(x2,y2),则AB两点坐标是方程组-得3x-4y+6=0.AB两点坐标都满足此方程,3x-4y+6=0即为两圆公共弦所在的直线方程.易知圆C1的圆心(-1,3),半径r=3.规律技巧:求两圆的公共弦所在直线方程,只要将表示圆的两个方程相减即可得到.求圆的弦长用几何法简单.变式训练3:判断圆C1:x2+y2-2x-6y-6=0,与圆C2:x2+y2-4x+2y+4=0的公切线的条数.分析:先判断两圆位置关系.解:由题意得:将圆C1化为标准方程:(x-1)2+(y-3)2=16.将圆C2化为标准方程:(x-2)2
7、+(y+1)2=1.得圆C1的圆心坐标C1(1,3),半径r1=4.圆C2的圆心坐标C2(2,-1),半径r2=1,又r1+r2|C1C2|r1-r2,即两圆相交.圆C1与圆C2有两条公切线.易错探究例4:求与圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点A(4,-1)且半径长为1的圆的方程.错解:设所求圆的圆心C(a,b),则由解得a=5,b=-1.所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.错因分析:两圆相切包括内切和外切两种情况,错解中认为相切就是外切,思考不到位,丢掉了内切的情况,造成错解.正解:设所求圆的圆心C(a,b),则(1)当两圆外切时,有由解得a=5,b=-1.所求圆的方程为(x
8、-5)2+(y+1)2=1.(2)若两圆内切,则有由解得a=3,b=-1.所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.综上所述,所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.基础强化1.圆x2+y2-2x=0和x2+y2+4y=0的位置关系是()A.相离B.外切C.相交D.内切解析:圆:x2+y2-2x=0,配方(x-1)2+y2=1,圆心C1(1,0),半径r1=1.圆:x2+y2+4y=0,配方x2+(y+2)2=4,圆心C2(0,-2),半径r2=2.圆心距|C1C2|=0)外切,则r的值是()答案:D3.两圆x2+y2-4x+2y+1=0与x2+y2+
9、4x-4y-1=0的公切线有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析:圆x2+y2-4x+2y+1=0(x-2)2+(y+1)2=4,圆心C1(2,-1),半径r1=2.圆x2+y2+4x-4y-1=0(x+2)2+(y-2)2=9,圆心C2(-2,2),半径r2=3.|C1C2|=5=r1+r2.两圆相外切,公切线有3条.答案:C4.圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有()A.4个B.3个C.2个D.1个解析:圆x2+2x+y2+4y-3=0(x+1)2+(y+2)2=8.圆心(-1,-2),半径为而圆心(-1,-2)到直线x+y+1=0的距离圆上点到直线的
10、距离为的点有3个.答案:B5.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是()A.(x-5)2+(y+7)2=25B.(x-5)2+(y+7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15C.(x-5)2+(y+7)2=9D.(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9解析:设动圆圆心G(x,y).当两圆内切时,有(x-5)2+(y+7)2=9.当两圆外切时,有(x-5)2+(y+7)2=25.应选D.答案:D6.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于AB两点,则直线AB的方程是_.解析:二圆相减可得x+3y=0.
11、x+3y=07.以点(1,2)为圆心,与直线4x+3y-35=0相切的圆的方程是_.解析:半径又圆心(1,2).圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=25.(x-1)2+(y-2)2=258.两圆x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相切,则实数a的值为_.解析:当两圆内切时,有(0+4)2+(0-a)2=(5-1)2.a=0;当两圆外切时,有(0+4)2+(0-a)2=(5+1)2,a=a=0或a=能力提升9.已知点P是圆x2+y2=16上的一个动点,点A(12,0)是x轴上的一定点,当点P在圆上运动时,线段PA的中点M的轨迹是什么?并分析此轨迹与圆x2+y2=16的位置关系.解:
12、设线段PA的中点M(x,y),P(x0,y0),则由中点坐标公式得:P(x0,y0)在圆x2+y2=16上,(2x-12)2+(2y)2=16,即(x-6)2+y2=4.这就是点M的轨迹方程.点M的轨迹是以(6,0)为圆心,2为半径的圆.两圆的圆心距而两半径之和为6.两圆相外切.10.求半径为4,与圆x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0也相切的圆的方程.解:由题意,设所求圆的方程为圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2.圆C与直线y=0相切,且半径为4,则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,-4).又已知圆x2+y2-4x-2y-4=0的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.若
13、两圆相切,则|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1.(1)当C1(a,4)时,(a-2)2+(4-1)2=72或(a-2)2+(4-1)2=12(无解),故可得a=2 所求圆的方程为+(y-4)2=42,或+(y-4)2=42.(2)当C2(a,-4)时,(a-2)2+(-4-1)2=72,或(a-2)2+(-4-1)2=12(无解),故a=2 所求圆的方程为+(y+4)2=42,或+(y+4)2=42.11.圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是()A.相离B.相交C.外切D.内切解析:圆O1:x2+y2-2x=0,配方得(x-1)2+y2=1,圆心O1,(1,0),半径r1=1.圆O2:x2+y2-4y=0,配方得x2+(y-2)2=4,圆心O2(0,2),半径r2=2.|O1O2|=r1+r2.圆O1与圆O2相交.答案:B12.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a0)的公共弦的长为则a=_.解析:两圆作差得弦所在直线方程为弦心距由弦心距半弦及半径的关系得,a=1.1
