1、第一章单元质量评估(二)一、选择题(每小题5分，共60分)1已知f(x)，则f(e)(D)A. B. C D解析：f(x)，f(e).2函数f(x)3lnxx2x在点(，f()处的切线斜率是(C)A2 B. C2 D4解析：f(x)2x，所以f()2.故选C.3函数f(x)(B)A在(0,2)上单调递减 B在(，0)和(2，)上单调递增C在(0,2)上单调递增 D在(，0)和(2，)上单调递减解析：f(x).令f(x)0，得x10，x22.x(，0)和x(2，)时，f(x)0，x(0,1)和x(1,2)时，f(x)0，故选B.4已知函数f(x)的导函数f(x)ax2bxc的图象如图，则f(x)
2、的图象可能是(D)解析：由题中f(x)图象知，当x(，0)时，f(x)为减函数，排除选项A，B，又f(0)c0，即f(x)有一个极值点为0.故选D.5函数y2x32x2在1,2上的最大值为(D)A5 B0 C1 D8解析：y6x24x2x(3x2)，列表：x1(1,0)02yy408所以ymax8.故选D.6方程2x36x270在(0,2)内根的个数为(B)A0 B1 C2 D3解析：设f(x)2x36x27，则f(x)6x212x6x(x2)x(0,2)，f(x)0，f(1)0，由题意知，即1a1 B1a0 C0a1解析：f(x)在xa处取得极大值，f(x)在xa附近左增右减，分a0，a0，
3、a0讨论易知1a0.9函数y2x2e|x|在2,2的图象大致为(D)解析：易知函数为偶函数，只要考虑当x0时的情况即可，此时，y2x2ex.令f(x)2x2ex，则f(x)4xex，则f(0)10，则f(x)在(0,1)上存在零点，即f(x)在(0,1)上存在极值据此可知，只能为选项B，D中的图象当x2时，y8e2，则满足2f(x)x1的x的集合为(B)Ax|1x1 Bx|x1 Cx|x1 Dx|x1解析：令g(x)2f(x)x1.f(x)，g(x)2f(x)10，g(x)为单调增函数f(1)1，g(1)2f(1)110.当x1时，g(x)0，即2f(x)x1.满足2f(x)x1的x的集合为x
4、|x1故选B.11已知定义在R上的函数f(x)，f(x)xf(x)0.若ab，则一定有(C)Aaf(a)bf(b) Baf(b)bf(b) Daf(b)bf(a)解析：xf(x)xf(x)xf(x)f(x)xf(x)0，函数xf(x)是定义在R上的减函数abf(b)故选C.12设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是(A)A(，1)(0,1) B(1,0)(1，) C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)解析：当x0时，令F(x)，则F(x)0时，F(x)为减函数f(x)为奇函数，且由f(1)0，得f(1)0，故F(1)0
5、.在区间(0,1)上，F(x)0；在(1，)上，F(x)0，即当0x0；当x1时，f(x)0；当x(1,0)时，f(x)0的解集为(，1)(0,1)故选A.二、填空题(每小题5分，共20分)13曲线y在点(1，m)处的切线方程为3xy50.解析：由题意得m2，y，yx13，切线方程为y23(x1)，即3xy50.14已知a0，函数f(x)ax3lnx，且f(1)的最小值是12，则实数a的值为2.解析：f(x)3ax2，则f(1)3a.a0，解得1x1，函数f(x)的单调递增区间为(1,1)又f(x)在(m,2m1)上单调递增，解得10知，f(x)与1xex1同号令g(x)1xex1，则g(x)
6、1ex1.所以当x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增所以g(1)1是g(x)在区间(，)上的最小值所以g(x)0，x(，)所以f(x)0，x(，)，所以f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间19(12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x0)万元时，在经销A，B商品中所获得收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)a(x1)2，g(x)6ln(xb)，a0，b0.已知投资额为0时收益为0.(1)求a，b的值；(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润解：(1)由投资额为0时收益
7、为0，可知f(0)a20，g(0)6lnb0，解得a2，b1.(2)由(1)可得f(x)2x，g(x)6ln(x1)设投入经销B商品的资金为x万元(0x5)，则投入经销A商品的资金为(5x)万元设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)2(5x)6ln(x1)6ln(x1)2x10(0x5)S(x)2，令S(x)0，得x2.当0x0，函数S(x)单调递增；当2x5时，S(x)0，函数S(x)单调递减所以当x2时，函数S(x)取得极大值，也是最大值，S(x)maxS(2)6ln36(万元)当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，可获得最大收益，收益的最大值为(6ln36)万元20(12分)设函数f
8、(x)(aR)(1)若f(x)在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围解：(1)对f(x)求导得f(x)，因为f(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，即a0.当a0时，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1)，从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(x1)，化简得3xey0.(2)由(1)知f(x).令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0解得x1，x2.当xx1时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数；当x1x0，即f(x)0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f(x
9、)0，故f(x)为减函数由f(x)在3，)上为减函数，知x23，解得a，故a的取值范围为.21(12分)已知函数f(x)x2mlnx，h(x)x2xa.(1)当a0时，f(x)h(x)在(1，)上恒成立，求实数m的取值范围；(2)当m2时，若函数k(x)f(x)h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围解：(1)当a0时，h(x)x2x.由f(x)h(x)在(1，)上恒成立，得m在(1，)上恒成立令g(x)，则g(x).当x(1，e)时，g(x)0.所以g(x)在(1，e)上递减，在(e，)上递增故当xe时，g(x)取得最小值g(e)e.所以me，所以实数m的取值范围是(
10、，e(2)由已知，得k(x)x2lnxa.函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数(x)x2lnx的图象与直线ya在(1,3)上有两个不同的交点(x)1，当x(1,2)时，(x)0，(x)递增又因为(1)1，(2)22ln2，(3)32ln3，(3)(1)，所以要使直线ya与函数(x)x2lnx的图象在(1,3)上有两个交点，则22ln2ae1x在区间(1，)内恒成立(e2.718为自然对数的底数)解：(1)f(x)2ax(x0)当a0时，f(x)0时，由f(x)0，有x.此时，当x时，f(x)0，f(x)单调递增(2)令g(x)， s(x)ex1x.则s(x)ex11.而当x1时，s(x)0，所以s(x)在区间(1, )内单调递增又由s(1)0，有s(x)0，从而当x1时，g(x)0.当a0, x1时，f(x)a(x21)lnxg(x)在区间(1, )内恒成立时，必有a0.当0a1.由(1)有f()0，所以此时f(x)g(x)在区间(1, )内不恒成立当a时，令h(x)f(x)g(x)(x1)当x1时，h(x)2axe1xx0.因此，h(x)在区间(1, )内单调递增又h(1)0，所以当x1时，h(x)f(x)g(x)0，即f(x)g(x)恒成立综上，a.
