1、仙桃中学2022级高一数学周练试卷 12.4一单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1我国古代数学名著九章算术有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡四百人，南乡两百人，凡三乡，发役六十人，而北乡需遗十，问北乡人数几何？“其意思为：“今有某地北面若干人，西面有400人，南面有200人，这三面要征调60人，而北面共征调10人（用分层抽样的方法），则北面共有（）人”A200B100C120D1402冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热，若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产，某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5
2、人体温高于37.3，则称没有发生群体性发热，下列连续7天体温高于37.3人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（）（1）中位数为3，众数为2（2）均值小于1，中位数为1（3）均值为3，众数为4（4）均值为2，标准差为A（1）（3）B（3）（4）C（2）（3）D（2）（4）3正三棱柱的底面边长是4，侧棱长是6，M，N分别为，的中点，若点P是三棱柱内（含棱柱的表面）的动点，MP平面，则动点P的轨迹面积为（）AB5CD4橙子辅导中学的高一二三这三个年级学生的平均身高分别为，若按年级采用分层抽样的方法抽取了一个600人的样本，抽到高一高二高三的学生人数分别为100200300，则估计该
3、高中学生的平均身高为（）ABCD5高二（1）班某次数学考试的平均分为70分，标准差为，后来发现成绩记录有误，某甲得80分却误记为60分，某乙得70分却误记为90分，更正后计算得标准差为，则和之间的大小关系是（）A B CD与人数有关，无法判断6根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本、，依次计算得到结果如下：平均数；平均数且极差小于或等于3；平均数且标准差；众数等于5且极差小于或等于4则4组样本中一定符合入冬指标的共有（）A1组B2组C3组D4组7如图，棱长为1的正方体中，为线段的中点，、分别为体对角
4、线和棱 上任意一点，则的最小值为（）ABCD28已知正方体的顶点都在表面积为的球面上，过球心O的平面截正方体所得的截面为一菱形，记该菱形截面为S，点P是正方体表面上一点，则以截面S为底面，以点P为顶点的四棱锥的体积的最大值为（）ABC2D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9某中学高三学生500人，其中男生300人，女生200人，现希望获得全体学生的身高信息，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为171cm，方差为29cm2；女生身高样本均值为161
5、cm，所有样本的方差为49cm2，下列说法中正确的是（）A男生样本容量为30B每个男生被抽入到样本的概率均为C所有样本的均值为167cmD每个学生被抽入的概率都为 10某市新冠肺炎疫情工作取得阶段性成效，为加快推进各行各业复工复产，对当地进行连续11天调研，得到复工复产指数折线图（如图所示），下列说法错误的是（）A这11天复工指数和复产指数均逐日增加B这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差C第3天至第11天复工复产指数均超过80D第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量11在正方体中，点是棱的中点，点是线段上的一个动点以下四个命题中真命题是（）A异面直线与所成的角是定值B三棱锥
6、的体积是定值C直线与平面所成的角是定值D二面角是定值12如图，在菱形中，将沿对角线折（如图），则在翻折的过程中，下列选项中正确的是（）A存在某个位置，使得B存在某个位置，使得C存在某个位置，使得点到平面的距离为D存在某个位置，使得四点落在半径为的球面上三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13福利彩票“双色球”中红色球由编号为01，02，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表（下表是随机数表的第一行和第二行）选取6个红色球，选取方法是从随机数表中第1行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第3个红色球的编号为_.49544354821737932328
7、87352056438426349164572455068877047447672176335025839212067614已知甲乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组：；乙组：17，22，32，b,45,47,51,59.若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则等于_.15某市某次高中数学统测学生测试成绩频率分布直方图如图所示.现按测试成绩由高到低分成A，B，C，D四个等级，其中等占等占等占等占的比例，规定达到等级及以上才能通过考试，则要通过本次考试的学生分数至少为_.16如图，三棱锥的顶点A在平面上，侧棱平面，底面BCD是以B为直角的等腰直角三角形，且平面BCD与平面平行， E是
8、CD中点，M是线段AE上的动点，过点M作平面ACD的垂线交平面于点N，则点N到点C的距离的取值范围为_四解答题:本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤。17某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：，并整理得到如下频率分布直方图：(1)已知样本中分数在的学生有5人，试估计总体中分数小于40的人数；(2)试估计测评成绩的第三四分位数；(3)已知样本中男生与女生的比例是3：1，男生样本的均值为70，方差为10，女生样本的均值为80，方差为12，请 计算出总体的方差.18如图所示
9、，有满足下列条件的五边形的彩纸，其中，现将彩纸沿向内进行折叠(1)求线段的长度；(2)若是等边三角形，折叠后使，求直线与平面的所成角的大小； 19如图，四棱锥中，平面，过点 作直线的平行线交于为线段上一点(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值20已知函数，.(1)若，求不等式的解集；(2)已知函数，且方程有唯一实数解，求实数的取值范围.21设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若.(1)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由;(2)若点是的中点，在内确定一点，使的值最小，并求出此时的值.22如图所示，圆锥的高，底面圆O的半径为R
10、，延长直径AB到点C，使得，分别过点A，C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE与圆O的切点(1)证明：平面平面；(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点A到平面的距离参考答案：1CDCA BBDA 9.ACD 10ABD 11AB 12ABD 1305 148 152416；17（1）由频率分布直方图知，分数在的频率为，在样本中分数在的人数为（人），在样本中分数在的人数为95人，所以估计总体中分数在的人数为（人），总体中分数小于40的人数为20人（2）测试成绩从低到高排序，样本中分数在的频率为，样本中分数在的频率为，则75%分位数在之间，所以估计测评成绩的75%分位数为.（3）
11、181）延长BC，ED相交于点F，因为，所以，故为等边三角形，所以，因为，所以，在中，由余弦定理得：，所以；（2）由（1）知：，所以，由勾股定理逆定理得：BE，因为，平面ABE，所以BC平面ABE，取BE的中点Q，连接AQ，CQ，因为AQ平面ABE，所以BCAQ，因为是等边三角形，由三线合一得：AQBE，因为BE，BC平面BCDE，所以AQ平面BCDE，所以即为直线与平面的所成角，显然，故直线与平面的所成角大小为.（3）延长BC，ED相交于点F，由（1）（2）得：BFBE，且为等边三角形，故，故四边形的面积为，要想折叠后得到的四棱锥体积最大，则要四棱锥的高最大，故要使平面平面BCDE，且需要A
12、BE边BE上的高最大，因为，故只需使ABE的面积最大，由余弦定理得：，故，由基本不等式得：，即，所以，当且仅当时，等号成立，ABE的面积最大值为，故四棱锥的高最大为，该四棱锥的体积的最大值为.19（1）因为平面，AB平面ABCD，所以PAAB，因为，所以AD，因为PAAD=A，平面PAD，所以AB平面PAD，因为CFAB，所以CF平面PAD，因为CF平面CFG，所以平面CFG平面PAD；（2）平面，AD，AC平面ABCD，所以PAAD，PAAC，因为，由勾股定理得：，则ADB=30，同理可得，CDB=30，故ADC=60，所以三角形ACD为等边三角形，故，过点B作BEPC于点E，连接DE，在B
13、CP中，由余弦定理得：，则，在CDP中，由余弦定理得：，在CDE中，因为，所以DEPC，所以BED为平面与平面所成二面角的平面角，由余弦定理得：，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为 20（1）解：若，由可得，故函数的定义域为，因为内层函数为上的增函数，外层函数为增函数，故函数在上为增函数，由可得，解得不等式的解集为.（2）解：因为方程有唯一实数解，则方程有唯一实数解，即时，方程有唯一实数解.即时，方程有唯一实数解，即方程有唯一实数解.若，即时，解得，此时，合乎题意；若，即时，解得，当时，解得，此时，合乎题意；当时，由，方程有唯一解，则或，解得或.因此，实数的取值范围为.21 （1）假设BC边上存在一点G满足题设条件，不妨设，则 因为平面，到平面的距离为，由等体积法得，即 因为，代入数据解得，即，故存在点G，当时，使得点D到平面PAG的距离为；（2）延长到，使得，连接，过作于，则当且仅当三点共线时等号成立，故，过作于，连接HB，在中，22（1）由题设，平面，又是切线与圆的切点，平面，则，且，又，平面，又平面，所以平面平面.（2）
