1、专题3.3 垂径定理（能力提升）一、选择题。1（2022香坊区校级模拟）如图，在O中，ODAB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（）A4cmB6cmC8cmD10cm2（2022花都区二模）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，如果AB20，CD16，那么线段OE的长为（）A4B6C8D93（2022秋鹿城区校级月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，若要去店里配到一块与原来大小一样的圆形镜子，应该带去店里的碎片是（）ABCD均不可能4（2022秋江汉区期中）如图，AB，CD是O的两条平行弦，且AB4，CD6，AB，CD之间的距离为5，则O的直径是（）AB2C8D1
2、05（2022秋武汉期中）如图，已知AB是O的一条弦，直径CD与弦AB交于点E，且BE3AE，已知DE8，CE2，则点O到AB的距离为（）ABC2D6（2022秋广水市期中）如图，O的半径OD弦AB于点C，连结AO并延长交O于点E，连结EC若AB8，CD2，则EC的长为（）A2B2C2D87（2022秋盐都区期中）如图，圆弧形桥拱的跨度AB24m，拱高CD8m，则拱桥的半径为（）A9mB10mC12mD13m8（2021秋周村区期末）如图，O中，弦ABCD，连接AD，BC，若AD2，BC4，则O半径的长是（）ABCD9（2022秋东台市期中）如图所示的工件槽的两个底角均为90尺寸如图（单位：c
3、m），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是（）cmA8B6C12D1010（2022温州校级模拟）如图，是一架无人机俯视简化图，MN与PQ表示旋翼，旋翼长为24cm，A，B为旋翼的支点，各支点平分旋翼，飞行控制中心O到各旋翼支点的距离均为30cm，相临两个支架的夹角均相等，当无人机静止且支架与旋翼垂直时，M与P之间的距离为（）A3012B3012C153D1524二、填空题。11（2022秋启东市校级月考）如图，在O中，弦AB9，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CDOC交O于点D，则CD的最大值为 12（2022秋启东市校级月考）如图，点A，C，D均在O
4、上，点B在O内，且ABBC于点B，BCCD于点C，若AB4，BC8，CD2，则O的面积为 13（2022南岗区模拟）如图，ABC内接于O，半径为6，CDAB于点D，sinACD，则BC的长为 14（2022秋泰兴市期中）如图，点C是AE的中点，在AE同侧分别以AC、CE为直径作半圆B、D直线lAE，与两个半圆依次相交于F、M、N、G不同的四点，AE12，设FGx，MNy当7x11，则y的取值范围是 15（2022秋衢州期中）如图，O是一个油罐的截面图已知O的直径为10m，油的最大深度CD8m（CDAB），则油面宽度AB为 m16（2022秋慈溪市期中）如图，P与x轴交于点A（5，0），B（1，
5、0），与y轴的正半轴交于点C若ACB60，则点C的纵坐标为 17（2022秋东阳市期中）如图1是某激光黑白A4纸张打印机的机身，其侧面示意图如图2，ABBC，CDBC出纸盘EP下方为一段以O为圆心的圆弧，与上部面板线段AE相接于点E，ODCD，测得BC24cm，CD18cm进纸盘CH的端点H可以随调节扣HF向右平移，CH18cm，HF2cm当HF向右移动6cm至HF时，点A，D，F在同一直线上，（1）AB cm；（2）过点E作EGAB于点G，测得连结PO，若线段OP恰好过的中点，则点P到直线BC的距离为 cm18（2022秋太仓市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的O与x轴交于点A
6、，B，与y轴交于点C，D，连接BC，已知x轴上一点P（8，0），点Q是O上一动点，连接PQ，点M为PQ的中点，连接BM，CM，则BCM面积的最小值为 三、解答题。19（2022秋永吉县期中）如图，在O中，弦AB8cm，OEAB于E，OE3cm，求O的半径20（2022秋前郭县期中）有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为15cm，露在墙体外侧的弦长AB18cm，其中半径OC垂直平分AB，则埋在墙体内的弓形高CD等于多少cm？21（2022秋鼓楼区期中）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为6米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米（1）求主桥拱所在圆的
7、半径；（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度22（2022秋西湖区校级期中）如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE2，CD8（1）求O的半径长；（2）连接BC，作OFBC于点F，求OF的长23（2022秋青田县期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了“筒车”的工作原理如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心o始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）（1）求该圆的半径；（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下
8、盛水筒的最大深度为多少米？24（2022秋如皋市期中）如图，AC是O的直径，弦BDAO，垂足为E，连接BC，过点O作OFBC于F，BD8，OF（1）求AB的长；（2）求OE的长25（2021秋沧州期末）如图，AB为O的直径，弦CDAB于点F，OEAC于点E，若OE3，OB5，求OF的长26（2022秋江汉区期中）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点求证：ACBD专题3.3 垂径定理（能力提升）一、选择题。1（2022香坊区校级模拟）如图，在O中，ODAB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（）A4cmB6cmC8cmD10cm【答案】B。【解答】解；ODAB，AD3c
9、m，AB2AD6cm故选：B2（2022花都区二模）如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，如果AB20，CD16，那么线段OE的长为（）A4B6C8D9【答案】B。【解答】解：AB20，OD10，CDAB，DE，在RtDOE中，OE6故选：B3（2022秋鹿城区校级月考）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，若要去店里配到一块与原来大小一样的圆形镜子，应该带去店里的碎片是（）ABCD均不可能【答案】A。【解答】解：第块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长故选：A4（2022秋江汉区期中）如图，AB，CD是O的两条平行弦，
10、且AB4，CD6，AB，CD之间的距离为5，则O的直径是（）AB2C8D10【答案】B。【解答】解：作OMAB于M，延长MO交CD于N，连接OB，OD，设OMx，MBAB2，DNCD3，OB2OM2+MB2，OB2x2+22，OD2ON2+DN2，OD2（5x）2+32，OBOD，x2+4（5x）2+9，x3，OB232+413，OB，O直径长是2，故选：B5（2022秋武汉期中）如图，已知AB是O的一条弦，直径CD与弦AB交于点E，且BE3AE，已知DE8，CE2，则点O到AB的距离为（）ABC2D【答案】B。【解答】解：作OHAB于H，AEBECEDE，BE3AE，3AE28216，AE，
11、OHAB，AHBH，BE3AE，AB4AE，AH2AE，EHAHAE，DE8，CE2，OC5，OEOCCE3，OH，故选：B6（2022秋广水市期中）如图，O的半径OD弦AB于点C，连结AO并延长交O于点E，连结EC若AB8，CD2，则EC的长为（）A2B2C2D8【答案】B。【解答】解：O的半径OD弦AB于点C，AB8，ACAB4，设O的半径为r，则OCr2，在RtAOC中，AC4，OCr2，OA2AC2+OC2，即r242+（r2）2，解得r5，AE2r10，连接BE，如图AE是O的直径，ABE90，在RtABE中，AE10，AB8，BE6，在RtBCE中，BE6，BC4，CE2故选：B7
12、（2022秋盐都区期中）如图，圆弧形桥拱的跨度AB24m，拱高CD8m，则拱桥的半径为（）A9mB10mC12mD13m【答案】D。【解答】解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为rm，如图，连接OA、OD则O、D、C三点共线，OD（r8）m，CD是拱高，OCAB，ADAB12（m），在RtAOD中，根据勾股定理，得：r2122+（r8）2，解得：r13，即拱桥的半径为13m，故选：D8（2021秋周村区期末）如图，O中，弦ABCD，连接AD，BC，若AD2，BC4，则O半径的长是（）ABCD【答案】A。【解答】解：如图，连接AO，延长AO交O于H，连接BH，DH，BD，AH是直径，ABHADH90
13、，ABBH，ABCD，CDBH，DCBCBH，DHBC4，AH2，O半径的长是故选：A9（2022秋东台市期中）如图所示的工件槽的两个底角均为90尺寸如图（单位：cm），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有A，B，E三个接触点，则该球的半径是（）cmA8B6C12D10【答案】D。【解答】解：设圆心为O点，连接OA、AB、OE，OE交AB于C，如图，由题意得：AB16cm，CE4cm，E为的中点，则OEAB，ACBCAB8（cm），设O的半径为Rcm，则OC（R4）cm，在RtOAC中，由勾股定理得：OA2AC2+OC2，即R282+（R4）2，解得R10，即该球的半径是10cm故选：D10（
14、2022温州校级模拟）如图，是一架无人机俯视简化图，MN与PQ表示旋翼，旋翼长为24cm，A，B为旋翼的支点，各支点平分旋翼，飞行控制中心O到各旋翼支点的距离均为30cm，相临两个支架的夹角均相等，当无人机静止且支架与旋翼垂直时，M与P之间的距离为（）A3012B3012C153D1524【答案】A。【解答】解：如图，延长BP交AM的延长线于点J，连接OP，OM，OJ，OJ交PM于点KOJOJ，OAOB，OAJOBJ，RtOAJRtOBJ（HL），JBJA，JOAJOBAOB30，OA30cm，AJBJOBtan3010（cm），PBAM12cm，PJJM（1012）cm，OJPM，PKKMP
15、Jcos30（1012）（156）cm，PM2PK（3012）cm故选：A二、填空题。11（2022秋启东市校级月考）如图，在O中，弦AB9，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CDOC交O于点D，则CD的最大值为 【答案】。【解答】解：连接OD，OD为O的半径，OCCD，CD，OD为半径是定值，要使CD最大，OC必须最小，C是弦AB上一点，当OCAB时，OC最短（垂线段最短），即此时D与B（或A）重合，即CD的最大值是AB9，故答案为：12（2022秋启东市校级月考）如图，点A，C，D均在O上，点B在O内，且ABBC于点B，BCCD于点C，若AB4，BC8，CD2，则O的面积为 【答案】。【
16、解答】解：连接OA、OC，过点O作OMCD于点M，MO的延长线与AB延长线交于点N，ABBC，BCCD，四边形BCMN是矩形，CMBN，OMCD，CD是弦，CD2，CMDMCD1，BNCM1，AB4，ANAB+BN4+15，设ONx，则OM8x，在RtAON、RtCOM中，由勾股定理得，OA2AN2+ON2，OC2OM2+CM2，OAOC，AN2+ON2OM2+CM2，即52+x2（8x）2+12，解得x，即ON，OA252+（）2，SOOA2，故答案为：13（2022南岗区模拟）如图，ABC内接于O，半径为6，CDAB于点D，sinACD，则BC的长为4【答案】4。【解答】解：作直径BE，连
17、接CE，作CFBE于点FCFBE，CDAB又AE，ECFACDBE是直径，CFBE，BCE90，EBCECFACD，sinEBCsinACD，BE12，CE8，BC4故答案是：414（2022秋泰兴市期中）如图，点C是AE的中点，在AE同侧分别以AC、CE为直径作半圆B、D直线lAE，与两个半圆依次相交于F、M、N、G不同的四点，AE12，设FGx，MNy当7x11，则y的取值范围是 1y5【答案】1y5。【解答】解：过B点作BQFM于Q，过D点作DHNG于H点，连接BF、DG，如图，则FQMQ，NHGH，lAE，BQDH，BQAE，DHAE，四边形BDHQ为矩形，QHBDAE6，即QM+MN
18、+NH6，QM+NH6y，FQ，GH，而BFDG，FQGH，FQMQNHGH，FGFM+MN+NG2QM+MN+2NH2（QM+NH）+MN，x2（6y）+y12y，7x11，712y11，1y5故答案为：1y515（2022秋衢州期中）如图，O是一个油罐的截面图已知O的直径为10m，油的最大深度CD8m（CDAB），则油面宽度AB为 8m【答案】8。【解答】解：连接OA，由题意得，OA5m，OD3m，CDAB，AD4m，AB2AD8m，故答案为：816（2022秋慈溪市期中）如图，P与x轴交于点A（5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C若ACB60，则点C的纵坐标为 +2【答案】+2
19、。【解答】解：过P点作PHAB于H点，PDOC于D点，连接PA、PB、PC，如图，A（5，0），B（1，0），OA5，OB1，PHAB，AHBHAB3，OH2，APB2ACB260120，APH60，在RtPAH中，PHAH，PA2PH2，PHOPDOHOD90，四边形PHOD为矩形，ODPH，PDOH2，在RtPCD中，PCPA2，PD2，CD2，OCOD+CD+2，点C的纵坐标为+2故答案为：+217（2022秋东阳市期中）如图1是某激光黑白A4纸张打印机的机身，其侧面示意图如图2，ABBC，CDBC出纸盘EP下方为一段以O为圆心的圆弧，与上部面板线段AE相接于点E，ODCD，测得BC24
20、cm，CD18cm进纸盘CH的端点H可以随调节扣HF向右平移，CH18cm，HF2cm当HF向右移动6cm至HF时，点A，D，F在同一直线上，（1）AB34cm；（2）过点E作EGAB于点G，测得连结PO，若线段OP恰好过的中点，则点P到直线BC的距离为 32cm【答案】32。【解答】解：（1）如图，过点F作FMAB，垂足为M，交CD于点N，由题意得，BMCNHFHF2cm，FM24+18+648（cm），FN18+624（cm），DN18216（cm），ABCD，FAMFDN，AM2DN21632（cm），ABAM+MB32+234（cm），故答案为：34；（2）如下图，交过点P作AB的平行
21、线与点Q，连接OE，OD，OD的延长线交PT于点M，EG16cm，AG4cm，GBQTABAG34430（cm），QGQTGT301812（cm），SCBCBS24168（cm），设PQacm，DMbcm，则PM（a+12）cm，EQ（b+8）cm，线段OP恰好过的中点，OP是DE的垂直平分线，PEPD2，在RtPEQ，RtPDM中由勾股定理可得，EQ2+PQ2DM2+PM2PE2（2）2，即（b+8）2+a2b2+（a+12）2（2）2，解得a2（取正值），即：PQ2cm，PTPQ+QT2+3032（cm），故答案为：3218（2022秋太仓市期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为4的
22、O与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，D，连接BC，已知x轴上一点P（8，0），点Q是O上一动点，连接PQ，点M为PQ的中点，连接BM，CM，则BCM面积的最小值为 164【答案】164。【解答】解：连接OQ，AM，OAOQAP4，PMMQ，AMOQ2，AB为直径，ACB90，由题意知，点M在以A为圆心，2为半径的A上运动，当M运动到AC与A的交点位置时，点M到BC的距离最短为MCAC2，BCM面积的最小值为：故答案为：164三、解答题。19（2022秋永吉县期中）如图，在O中，弦AB8cm，OEAB于E，OE3cm，求O的半径【解答】解：如图，连接OA，OEAB，AB8cm，（cm），在Rt
23、AOE中，（cm），O的半径为5cm20（2022秋前郭县期中）有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为15cm，露在墙体外侧的弦长AB18cm，其中半径OC垂直平分AB，则埋在墙体内的弓形高CD等于多少cm？【答案】。【解答】解：OCAB，ADBD9cm，OD2AO2AD2，OD215292，OD12cm，CDOCOD，CD15123（cm），埋在墙体内的弓形高CD等于3cm21（2022秋鼓楼区期中）如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面AB宽度为6米，拱高CD（弧的中点到水面的距离）为1米（1）求主桥拱所在圆的半径；（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度【解
24、答】解：（1）点D是的中点，DCAB，ACBCAB3，DC经过圆心，设拱桥的桥拱弧AB所在圆的圆心为O，连接OA，OC，联结OA，设半径OAODR，OCODDCR1，在RtACO中，OA2AC2+OC2，R2（R1）2+32，解得R5答：主桥拱所在圆的半径长为5米；（2）设OD与EF相交于点G，连接OF，EFAB，ODAB，ODEF，OGF90，在RtOGF中，OG5113，OF5，FG4，EF2FG8，答：此时水面的宽度为8米22（2022秋西湖区校级期中）如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，AE2，CD8（1）求O的半径长；（2）连接BC，作OFBC于点F，求OF的长【解答】解：（1
25、）连接OD，如图，设O的半径长为r，ABCD，OED90，DECECD84，在RtODE中，OEr3，ODr，DE4，（r2）2+42r2，解得r5，即O的半径长为5；（2）在RtBCE中，CE4，BEABAE8，BC4，OFBC，BFCFBC2，OFB90，在RtOBF中，OF，即OF的长为23（2022秋青田县期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了“筒车”的工作原理如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心o始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大
26、距离）（1）求该圆的半径；（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？【解答】解：（1）如图，作ODAB于点E，交圆于点D，则AEAB3米，DE1米，设圆的半径为r米，在RtAOE中，AE2+OE2OA2，32+（r1）2r2，解得r5，该圆的半径为5米；（2）如上图，当AB8米时，AEAB4，在RtAOE中，AE2+OE2OA2，42+OE252，OE3米，DE532（米），答：水面下盛水筒的最大深度为2米24（2022秋如皋市期中）如图，AC是O的直径，弦BDAO，垂足为E，连接BC，过点O作OFBC于F，BD8，OF（1）求AB的长；
27、（2）求OE的长【解答】解：（1）OFBC，CFFB，COOA，OF，AB2OF2，（2）如图，连接OB，BDAO，BD8，BEEDBD4，由勾股定理得：AE2，在RtBOE中，OB2OE2+BE2，即OA2（OA2）2+42，解得：OA5，OEOAAE52325（2021秋沧州期末）如图，AB为O的直径，弦CDAB于点F，OEAC于点E，若OE3，OB5，求OF的长【解答】解：设OFa，连接OC，ABCD，OEAC，OE和OF过圆心O，AEEC，CFFD，OBOCOA5，在RtOAE中，AEEC4，即AC4+48，在RtAFC和RtOFC中，由勾股定理得：CF2AC2AF2OC2OF2，即82（5+a）252a2，解得：a1.4，即OF1.426（2022秋江汉区期中）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点求证：ACBD【解答】证明：过点O作OEAB，OAOB，AEBE，又在O中，CEDE，ACBD
