1、专题02 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧（原卷版）专题诠释：代数式的求值、求最值及求范围是中考最常见的题型，七最重要的技巧就是代数式的恒等变形。恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代入，配方法，作差比较法等。通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等。第一部分 典例剖析+变式训练类型一 通过代数式的恒等变形求代数式的值典例1 （大城县校级四模）设mn0，m2+n24mn，则m2n2mn的值等于（）A23B3C6D3变式训练1（达州中考）已知：m22m10，n2+2n10且mn1，则mn+n+1n的值为 2（202
2、0秋锦江区校级期末）已知2a3b+10，则代数式6a9b+1 3（2022秋吉县期中）请阅读下面解题过程：已知实数a、b满足a+b8，ab15，且ab，求ab的值解：因为a+b8，ab15，所以：（ab）2a22ab+b2a2+2ab+b24ab（a+b）24ab824154因为ab，所以ab0，所以ab2请利用上面的解法，解答下面的问题已知实数x满足x1x=8，且x0，求x+1x的值类型二 通过代数式的恒等变形求代数式的值典例2 （2021秋下城区期中）已知实数m，n满足mn21，则代数式m2+2n2+4m2的最小值等于 变式训练1（2022蓝山县校级开学）若m，n是方程x22ax+10且a
3、1的两个实数根，则（m1）2+（n1）2的最小值是 2（2022秋海淀区校级月考）阅读下列材料，并解答问题：材料：将分式x2x+3x+1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式解：由分母x+1，可设x2x+3（x+1）（x+a）+b；则x2x+3（x+1）（x+a）+bx2+ax+x+bx2+（a+1）x+a+b对于任意上述等式成立，a+1=1a+b=3解得：a=2b=5x2x+3x+1=(x+1)(x2)+5x+1=x2+5x+1这样，分式x2x+3x+1就拆分成一个整式x2与一个分式5x+1的和的形式（1）将分式x2+5x4x1拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；（2
4、）已知整数使分式2x2x12x3的值为整数，直接写出满足条件的整数的值类型三 通过代数式的恒等变形求代数式的字母的取值范围典例3（2021杭州三模）已知2a3x+10，3b2x160（1）用含x的代数式分别表示a，b；（2）当a4b时，求x的取值范围变式训练4平面直角坐标系中，已知点（a，b）在双曲线上，且满足，求k的取值范围。类型四 通过代数式的恒等变形比较代数式的大小典例4（2019春灌云县期末）已知Aa+2，Ba23a+7，Ca2+2a18，其中a2（1）求证：BA0，并指出A与B的大小关系；（2）指出A与C哪个大？说明理由针对训练1（2021秋福清市期末）阅读以下材料：利用我们学过的完
5、全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如a2+2a4a2+2a+12124（a+1）25（a+1）20，a2+2a4（a+1）255，因此，代数式a2+2a4有最小值5根据以上材料，解决下列问题：（1）代数式a22a+2的最小值为 ；（2）试比较a2+b2+11与6a2b的大小关系，并说明理由；（3）已知：ab2，ab+c24c+50，求代数式a+b+c的值第二部分 专题提优训练1（2022秋遵义月考）设m，n是方程x2+x20220的两个实数根，则m2+2m+n的值为（）A2020B2021C2022D20232（2021春鼓楼区校级期中）若直线yk（x1）+3经过点（a，b+2）和（
6、a+1，3b1），则代数式k24kb+4b2的值为 3（2022春定远县期中）已知ab1，因为（a+b）2a2+2ab+b2a2+b2+2（ab）2a22ab+b2a2+b22所以由得a2+b2（a+b）22由得a2+b2（ab）2+2试根据上面公式的变形解答下列问题：（1）已知ab2，ab1，则下列等式成立的是 a2+b26；a4+b438；（a+b）28（2）已知a+b2，ab1求代数式a2+b2的值；求代数式a4+b4的值；猜想代数式a2n+b2n（n为正整数）的值，直接写出答案，不必说明理由4（2022襄城区模拟）已知实数a、b满足3a32b27，求代数式（2ab）23（ab）（a+b
7、）+8（ab1）的值5（2021秋忠县期末）解答下面各题：（1）当x取何值时，代数式x24x+6有最小值；（2）化简：a2a21（a12a1a+1）；（3）当a为（1）中所求x的值时，算出（2）的结果分解因式是解本题的关键6（2022秋北京期末）已知：Px+2，Q=8xx+2（1）当x1时，计算PQ的值；（2）当x0时，判断P与Q的大小关系，并说明理由；（3）设y=4PQ12，若x、y均为非零整数，求xy的值7（2022春西乡塘区校级期末）阅读材料并解决下列问题：材料1 若一元二次方程ax2+bx+c0（a0）的两根为x1、x2，则x1+x2=ba，x1x2=ca材料2 已知实数m，n满足m2
8、m10，n2n10，且mn，求nm+mn的值解：由题知m，n是方程x2x10的两个不相等的实数根，根据材料1，得m+n1，mn1，nm+mn=m2+n2mn=(m+n)22mnmn=1+21=3根据上述材料解决下面的问题：（1）一元二次方程5x2+10x10的两根为x1，x2，则x1+x2，x1x2（2）已知实数m，n满足3m23m10，3n23n10，且mn，求m2n+mn2的值（3）已知实数p，q满足p27p2，2q27q1，且p2q，求p2+4q2的值8（2022吴中区模拟）张老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用字母A代替了原代数式的一部分：(Ax21x22x+1)xx+1
9、=x+1x1（1）求代数式A，并将其化简；（2）当A5时，求x的值；（3）当x=5+1时，求A的值9（2022秋东城区校级期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，可以把多项式x2+bx+c变形为（x+m）2+n的形式例如，x24x+3x24x+44+3（x2）21观察上式可以发现，当x2取任意一对互为相反数的值时，多项式x24x+3的值是相等的例如，当x21，即x3或1时，x24x+3的值均为0；当x22，即x4或0时，x24x+3的值均为3我们给出如下定义：对于关于x的多项式，若当x+m取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于xm对称，称xm是它的对称轴例如，x24x+3关于x2对称，x2是它的对称轴请根据上述材料解决下列问题：（1）将多项式x26x+5变形为（x+m）2+n的形式，并求出它的对称轴；（2）若关于x的多项式x2+2ax1关于x5对称，求a；（3）求代数式（x2+2x+1）（x28x+16）的对称轴
