1、 考纲定位1熟练掌握等差、等比数列的求和公式2掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法教材回归数列求和的常用方法1公式法(1)如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q1或q1.(2)一些常见数列的前n项和公式：1234n。13572n1n224682nn(n1)nn12122232n2nn12n16132333n3nn122n2n1242倒序相加法如果一个数列an，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的3错位相减法如果一个数列的各项是由
2、一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的4裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和5分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减6并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5050.三基强化1若数列an的通项公式为an2n2n1，则数列an的前n项和为
3、()A2nn21 B2n1n21C2n1n22D2nn22答案：C解析：Sn212n12 n12n122n12n2.2数列an的通项公式是 an1nn1，其前 n 项之和为 910，则在平面直角坐标系中，直线(n1)xyn0 在 y 轴上的截距为()A10 B9C10 D9答案：B解析：数列an的前 n 项和为 112 1231nn111212131n 1n11 1n1 nn1 910，所以 n9，于是直线(n1)xyn0 即为 10 xy90，所以在 y 轴上的截距为9.3已知数列an的通项公式是 an2n12n，其前 n 项和 Sn32164，则项数 n 等于()A13 B10C9 D6答
4、案：D解析：an2n12n 1 12n，Snn(12 122 12n)n1 12n，而32164 5 164，n112n5 164，n6.4数列 125，158，1811，13n13n2，的前n项和为()A.n3n2B.n6n4C.3n6n4D.n1n2答案：B解析：由数列通项公式13n13n213(13n113n2)，得前 n 项和Sn13(1215151818 11113n113n2)13(1213n2)n6n4.5数列(1)nn的前2011项的和S2011_.答案：1006考点一 分组转化法求和若数列anbncn，且数列bn、cn为等差数列或等比数列，常采用分组转化法求数列an的前n项和
5、，即先利用等差或等比数列的前n项和公式分别求bn和cn的前n项和，然后再求an的前n项和例1 已知函数f(x)2x3x1，点(n，an)在f(x)的图象上，an的前n项和为Sn.(1)求使an0的n的最大值(2)求Sn.【分析】(1)将(n，an)代入f(x)的解析式解不等式an0结论(2)Sna1a2an分组求解结论【解】(1)依题意an2n3n1，an0即2n3n10.当n3时，239120，2n3n10中n的最大值为3.(2)Sna1a2an(2222n)3(123n)n212n12 3nn12n2n1n3n522.变式迁移 1 求数列32，94，258，6516，的前 n 项和 Sn.
6、解：32112，94214，258 318，65164 116，Sn3294258 6516(n 12n)(123n)(12 122 12312n)nn1212112n112nn121 12n.考点二 错位相减法求和(1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法(2)用乘公比错位相减法求和时，应注意 要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式例2(2011年江苏省栟茶高级中学高三第二次月考)给出下面的数表序列：表1 表2 表31
7、1 1 2 2 2 2 22 22 22其中表n(n1,2,3，)有n行，表中每一个数“两脚”的两数都是此数的2倍，记表n中所有的数之和为an，例如，a25，a317，a449，则(1)a5_；(2)数列an的通项an_.【解析】(2)依题意，an122322423n2n1 由2 得，2an12222323424n2n 将得an122223242n 1n2n12n12 n2n2n1n2n所以 an(n1)2n1.【答案】(1)129(2)(n1)2n1变式迁移2(2011年七台河市实验高级中学高三第三次月考)设数列an是有穷等差数列，给出下面数列：a1 a2 a3 an1 an第1行a1a2
8、a2a3 an1an第2行 第n行上表共有 n 行，其中第 1 行的 n 个数为 a1，a2，a3，an，从第二行起，每行中的第一个数都等于它肩上两数之和记表中各行的数的平均数(按自上而下的顺序)分别为 b1，b2，bn.(1)求证：数列 b1，b2，bn 成等比数列；(2)若 ak2k1(k1,2，n)，求和k1nakbk.解：(1)证明：由题设易知，b1na1an2na1an2，b2a1a2an1ann12n1a1a2an1an2a1an.设表中的第 k(1kn1)行的数为 c1，c2，cnk1，显然c1，c2，cnk1 成等差数列，则它的第 k1 行的数 c1c2，c2c3，cnkcnk
9、1 也成等差数列，它们的平均数分别是 bkc1cnk12，bk1c1cnk1，于是bk1bk 2(1kn1，kN*)，故数列 b1，b2，bn 是公比为 2 的等比数列(2)由(1)知，bkb12k1a1an22k1，故当 ak2k1 时，bkn2k1，akbkn(2k1)2k1(1kn，kN*)，于是k1nakbknk1n(2k1)2k1.设k1n(2k1)2k1S，则 S120321522(2n1)2n12S121322(2n3)2n1(2n1)2n得，S1202(21222n1)(2n1)2n，化简得 S(2n1)2n2n13，故k1nakbkn(2n1)2nn2n13n.考点三 裂项相
10、消法求和1一般情况下，若an是等差数列，则1anan11d(1an 1an1)，1anan2 12d(1an 1an2)2根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和3常见的裂项技巧有：(1)1nnk1k(1n 1nk)；(2)1nk n1k(nk n)；例 3 已知数列an中，a11，当 n2 时，其前 n 项和 Sn满足 Sn2an(Sn12)(1)求 Sn 的表达式；(2)设 bnSn2n1，求bn的前 n 项和 Tn.【解】(1)Sn2an(Sn12)，anSnSn1，(n2)，Sn2(SnSn1)(Sn12)，即 2Sn1SnSn1Sn，由题意 Sn1Sn0，式两边同除以 Sn1
11、Sn，得 1Sn 1Sn12，数列1Sn是首项为 1S11a11，公差为 2 的等差数列1Sn12(n1)2n1，Sn12n1.(2)又 bnSn2n112n12n112(12n112n1)，Tnb1b2bn12(113)(1315)(12n112n1)12(112n1)n2n1.变式迁移 3 已知数列an，bn满足：a114，anbn1，bn1bn1an1an.(1)求 b1，b2，b3，b4；(2)求数列bn的通项公式；(3)设 Sna1a2a2a3a3a4anan1，求 Sn.解：(1)bn1bn1an1anbnbn2bn12bn，a114，b134，b245，b356，b467.(2)
12、bn1112bn1，1bn112bnbn111bn1，数列1bn1是以4 为首项，1 为公差的等差数列，1bn14(n1)n3，bn1 1n3n2n3.(3)an1bn 1n3，Sna1a2a2a3anan1 145 1561n3n414 1n4n4n4.考情分析数列求和与不等式、函数等其他知识的综合问题可以很好地考查逻辑推理能力，近几年的新课标高考试题中此类问题时有出现，因此，这类综合题有可能成为高考的命题方向.考场样题2011辽宁卷已知等差数列an满足a20，a6a810.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列an2n1 的前n项和【解答】(1)设等差数列an的公差为d，由已知条件可得a
13、1d0，2a112d10.解得a11，d1.故数列an的通项公式为an2n.(2)设数列an2n1 的前n项和为Sn，即Sna1a22 an2n1，故S11，Sn2 a12 a24 an2n.所以，当n1时，Sn2 a1a2a12anan12n1an2n11214 12n1 2n2n11 12n1 2n2n n2n，所以Sn n2n1.易错盘点1用错位相减法求和时项数处理不当致误纠错训练 1 已知数列an是首项为 a114，公比 q14的等比数列，设 bn23logan(nN*)，数列cn满足 cnanbn.(1)求数列bn的通项公式；(2)求数列cn的前 n 项和 Sn.【解】(1)由题意，
14、知 an(14)n(nN*)，又 bn3logan2，故 bn3n2(nN*)(2)由(1)，知 an(14)n，bn3n2(nN*)，cn(3n2)(14)n(nN*)Sn1144(14)27(14)3(3n5)(14)n1(3n2)(14)n，于是14Sn1(14)24(14)37(14)4(3n5)(14)n(3n2)(14)n1，两式相减，得34Sn143(14)2(14)3(14)n(3n2)(14)n112(3n2)(14)n1，Sn233n23(14)n(nN*)【答案】(1)bn3n2(nN*)(2)Sn233n23(14)n(nN*)2忽视隐含信息致误纠错训练 2 设等差数列an的前 n 项和为 Sn，且有 Sn14(1an)2，求 Sn.【解】S1a114(1a1)2，a11.设公差为 d，S214(1a2)2，212212d14(11d)2，解得 d2.当 d2 时，a21，a33，S3a1a2a330，不合题意，应舍去当 d2 时，符合题意故 d2，Snn2.3利用公式求和不注意项数易出错纠错训练3 S1222232n_.【答案】2n11
