1、2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1若集合A=1，0，1，2，B=x|x+10，则AB=2函数f（x）=log2（1x）的定义域为3函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为4已知角的终边过点P（5，12），则cos=5若幂函数y=xa（aR）的图象经过点（4，2），则a的值为6若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm27设，是不共线向量，4与k+共线，则实数k的值为8定义在区间0，5上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为9若a=log32，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大
2、小关系用“”表示为10函数f（x）=2x+a2x是偶函数，则a的值为_11如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若=2，则的值为12已知函数f（x）对任意实数xR，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x1，1时，f（x）=2x+a，若点P是该函数图象上一点，则实数a的值为13设函数f（x）=3x2+2，则使得f（1）f（log3x）成立的x取值范围为14已知函数f（x）=，其中m0，若对任意实数x，都有f（x）f（x+1）成立，则实数m的取值范围为二、解答题（共6题，90分）15已知=2（1）求tan；（2）求cos（）cos（+）的值16已知向量=（2，1），=（3，4）（1）求（+）（2
3、）的值；（2）求向量与+的夹角17如图，在一张长为2a米，宽为a米（a2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0x1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V（x）表示铁盒的容积（1）试写出V（x）的解析式；（2）记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值18已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的最下正周期为，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x，0，求函数y=f（x）的值域；（3）把函数y=f（x）的图线向右平移（0）个单位，得到函数y=g（x）在0，上是单调增函数，求的取值范围19如图，在ABC中，已知CA=1，CB=2，
4、ACB=60（1）求|；（2）已知点D是AB上一点，满足=，点E是边CB上一点，满足=当=时，求；是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由20已知函数f（x）=xa，g（x）=a|x|，aR（1）设F（x）=f（x）g（x）若a=，求函数y=F（x）的零点；若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围（2）设h（x）=f（x）+g（x），x2，2，若对任意x1，x22，2，|h（x1）h（x2）|6恒成立，试求a的取值范围2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1若集合A=1，0，1，2，B=x
5、|x+10，则AB=0，1，2【考点】交集及其运算【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出AB【解答】解：集合A=1，0，1，2，B=x|x+10=x|x1，AB=0，1，2故答案为：0，1，22函数f（x）=log2（1x）的定义域为x|x1【考点】对数函数的定义域【分析】要使函数f（x）=log2（1x）有意义，只需对数的真数大于0，建立不等式解之即可，注意定义域的表示形式【解答】解：要使函数f（x）=log2（1x）有意义则1x0即x1函数f（x）=log2（1x）的定义域为x|x1故答案为：x|x13函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为【考点】三角函数的周期性及其
6、求法【分析】利用利用函数y=Asin（x+）的周期为，得出结论【解答】解：函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为，故答案为：4已知角的终边过点P（5，12），则cos=【考点】任意角的三角函数的定义【分析】先求出角的终边上的点P（5，12）到原点的距离为 r，再利用任意角的三角函数的定义cos= 求出结果【解答】解：角的终边上的点P（5，12）到原点的距离为 r=13，由任意角的三角函数的定义得 cos=故答案为5若幂函数y=xa（aR）的图象经过点（4，2），则a的值为【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】根据幂函数y=xa的图象过点（4，2），代入数据求出a的值【解答】
7、解：幂函数y=xa（aR）的图象经过点（4，2），所以4a=2，解得a=故答案为：6若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为9cm2【考点】扇形面积公式【分析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积【解答】解：因为：扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，所以：圆的半径为：3，所以：扇形的面积为： 63=9故答案为：97设，是不共线向量，4与k+共线，则实数k的值为【考点】平行向量与共线向量【分析】e14e2与ke1+e2共线，则存在实数，使得满足共线的充要条件，让它们的对应项的系数相等，得到关于K和的方程，解方程即可【解答】解：e14e2与ke1+e2共线，k=1，=4，故答案为8
8、定义在区间0，5上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为5【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象【分析】画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期0，2上的图象，即可得出结论【解答】解：画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期0，2上的图象如图实数：由图可知，在一个周期内，两函数图象在0，上有1个交点，在（，2上有1个交点，所以函数y=2sinx与y=cosx在区间0，5上图象共有5个交点故答案为：59若a=log32，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系用“”表示为cab【考点】对数值大小的比较【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出【解答】
9、解：a=log32（0，1），b=20.31，c=log20，cab故答案为：cab10函数f（x）=2x+a2x是偶函数，则a的值为1_【考点】函数奇偶性的判断【分析】根据函数奇偶性的定义进行求解即可【解答】解：f（x）=2x+a2x是偶函数，f（x）=f（x），即f（x）=2x+a2x=2x+a2x，则（2x2x）=a（2x2x），即a=1，故答案为：111如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若=2，则的值为3【考点】平面向量数量积的运算【分析】建立直角坐标系，设出正方形的边长，利用向量的数量积求出边长，然后求解数量积的值【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，设正方形的
10、边长为2a，则：E（a，2a），B（2a，0），D（0，2a）可得： =（a，2a），=（2a，2a）若=2，可得2a24a2=2，解得a=1，=（1，2），=（1，2），则的值：1+4=3故答案为：312已知函数f（x）对任意实数xR，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x1，1时，f（x）=2x+a，若点P是该函数图象上一点，则实数a的值为2【考点】抽象函数及其应用；函数的图象【分析】求出函数的周期，然后利用点的坐标满足函数的解析式，推出结果即可【解答】解：函数f（x）对任意实数xR，f（x+2）=f（x）恒成立，可得函数的周期为：2，f=f（1）且当x1，1时，f（x）=2x+a，点P是该
11、函数图象上一点，可得21+a=8，解得a=2故答案为：213设函数f（x）=3x2+2，则使得f（1）f（log3x）成立的x取值范围为0x3或x3【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】由题意，f（x）=f（x），函数是偶函数，x0递减，f（1）f（log3x），1|log3x|，即可得出结论【解答】解：由题意，f（x）=f（x），函数是偶函数，x0递减f（1）f（log3x）1|log3x|，0x3或x3，使得f（1）f（log3x）成立的x取值范围为0x3或x3，故答案为0x3或x314已知函数f（x）=，其中m0，若对任意实数x，都有f（x）f（x+1）成立，则实数m的取值范围为（0，）【
12、考点】分段函数的应用【分析】由f（x）的解析式，可得f（x+1）的解析式，画出f（x）的图象，向左平移一个单位可得f（x+1）的图象，由xm，f（x）的图象与xm1的图象重合，可得m的一个值，进而通过图象可得m的范围【解答】解：由函数f（x）=，其中m0，可得f（x+1）=，作出y=f（x）的简图，向左平移1个单位，可得y=f（x+1），由对任意实数x，都有f（x）f（x+1）成立，只要f（x）的图象恒在f（x+1）的图象上，由xm，f（x）的图象与xm1的图象重合，可得2m=12m，解得m=，通过图象平移，可得m的范围为0m故答案为：（0，）二、解答题（共6题，90分）15已知=2（1）求t
13、an；（2）求cos（）cos（+）的值【考点】三角函数的化简求值【分析】（1）直接利用同角三角函数的基本关系，求得tan的值（2）利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值【解答】解：（1）已知=2=，tan=5（2）cos（）cos（+）=sin（cos）=16已知向量=（2，1），=（3，4）（1）求（+）（2）的值；（2）求向量与+的夹角【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角【分析】（1）利用向量的坐标求解所求向量的坐标，利用数量积运算法则求解即可（2）利用数量积求解向量的夹角即可【解答】解：（1）向量=（2，1），=（3，4）（+）=（1，3），（2）=（
14、7，6）所以（+）（2）=718=25（2）+=（1，3），cos， +=向量与+的夹角为13517如图，在一张长为2a米，宽为a米（a2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0x1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V（x）表示铁盒的容积（1）试写出V（x）的解析式；（2）记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）利用小反弹的体积公式，写出V（x）的解析式；（2）记y=，利用配方法，即可得到当x为何值时，y最小，并求出最小值【解答】解：（1）由题意，V（x）=（2a2x）（a2x）x（0x1）；（2）y=（2a2x）（a2x）=，a2，
15、0x1，x=1时，y最小，最小值为2（a1）（a2）18已知函数f（x）=Asin（x+）（A0，0，|）的最下正周期为，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x，0，求函数y=f（x）的值域；（3）把函数y=f（x）的图线向右平移（0）个单位，得到函数y=g（x）在0，上是单调增函数，求的取值范围【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由特殊点的坐标求出的值，可得函数的解析式（2）由x的范围可求2x+，利用正弦函数的性质可求其值域（3）利用三角函数平移变换规律可求g（x）=2sin（2x2+），
16、利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间，进而可得，kZ，结合范围0，可求的取值范围【解答】解：（1）由题意可得，A=2， =，=2再根据函数的图象经过点M（，2），可得2sin（2+）=2，结合|，可得=，f（x）=2sin（2x+）（2）x，0，2x+，sin（2x+）1，可得：f（x）=2sin（2x+）2，1（3）把函数y=f（x）的图线向右平移（0）个单位，得到函数y=g（x）=2sin2（x）+=2sin（2x2+），令2k2x2+2k+，kZ，解得：k+xk+，kZ，可得函数的单调递增区间为：k+，k+，kZ，函数y=g（x）在0，上是单调增函数，解得：，kZ，0，当k=0时，
17、19如图，在ABC中，已知CA=1，CB=2，ACB=60（1）求|；（2）已知点D是AB上一点，满足=，点E是边CB上一点，满足=当=时，求；是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【考点】平面向量数量积的运算【分析】（1）利用余弦定理求出AB的长即得|；（2）=时，D、E分别是BC，AB的中点，求出、的数量积即可；假设存在非零实数，使得，利用、分别表示出和，求出=0时的值即可【解答】解：（1）ABC中，CA=1，CB=2，ACB=60，由余弦定理得，AB2=CA2+CB22CACBcosACB=12+22212cos60=3，AB=，即|=；（2）=时， =， =，D
18、、E分别是BC，AB的中点，=+=+，=（+），=（+）（+）=+=12+12cos120+21cos60+22=；假设存在非零实数，使得，由=，得=（），=+=+（）=+（1）；又=，=+=（）+（）=（1）；=（1）+（1）2（1）=4（1）+（1）2（1）=32+2=0，解得=或=0（不合题意，舍去）；即存在非零实数=，使得20已知函数f（x）=xa，g（x）=a|x|，aR（1）设F（x）=f（x）g（x）若a=，求函数y=F（x）的零点；若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围（2）设h（x）=f（x）+g（x），x2，2，若对任意x1，x22，2，|h（x1）h（x2）|6恒成立
19、，试求a的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理【分析】（1）设F（x）=f（x）g（x）若a=，由F（x）=0，即可求得F（x）的零点；若函数y=F（x）存在零点，则xa=a|x|，等号两端构造两个函数，当a0时，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得满足题意的a的取值范围的一部分；同理可得当a0时的情况，最后取并即可求得a的取值范围（2）h（x）=f（x）+g（x），x2，2，对任意x1，x22，2，|h（x1）h（x2）|6恒成立h（x1）maxh（x2）min6，分a1、1a1、a1三类讨论，即可求得a的取值范围【解答】解：（1）F（x）=f（x）g（x）=xaa|x|，
20、若a=，则由F（x）=x|x|=0得： |x|=x，当x0时，解得：x=1；当x0时，解得：x=（舍去）；综上可知，a=时，函数y=F（x）的零点为1；若函数y=F（x）存在零点，则xa=a|x|，当a0时，作图如下：由图可知，当0a1时，折线y=a|x|与直线y=xa有交点，即函数y=F（x）存在零点；同理可得，当1a0时，求数y=F（x）存在零点；又当a=0时，y=x与y=0有交点（0，0），函数y=F（x）存在零点；综上所述，a的取值范围为（1，1）（2）h（x）=f（x）+g（x）=xa+a|x|，x2，2，当2x0时，h（x）=（1a）xa；当0x2时，h（x）=（1+a）xa；又对
21、任意x1，x22，2，|h（x1）h（x2）|6恒成立，则h（x1）maxh（x2）min6，当a1时，1a0，1+a0，h（x）=（1a）xa在区间2，0）上单调递增；h（x）=（1+a）xa在区间0，2上单调递减（当a=1时，h（x）=a）；h（x）max=h（0）=a，又h（2）=a2，h（2）=2+a，h（x2）min=h（2）=a2，a（a2）=22a6，解得a2，综上，2a1；当1a1时，1a0，1a0，h（x）=（1a）xa在区间2，0）上单调递增，且h（x）=（1+a）xa在区间0，2上也单调递增，h（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（2）=a2，由a+2（a2）=46恒成立，即1a1适合题意；当a1时，1a0，1+a0，h（x）=（1a）xa在区间2，0）上单调递减（当a=1时，h（x）=a），h（x）=（1+a）xa在区间0，2上单调递增；h（x）min=h（0）=a；又h（2）=2+aa2=h（2），h（x）max=h（2）=2+a，2+a（a）=2+2a6，解得a2，又a1，1a2；综上所述，2a22017年2月21日
