1、2020-2021学年宁夏银川一中高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）. 1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a，B45，C75，则b（）ABCD2不等式0的解集为（）Ax|2x3Bx|x2Cx|x2或x3Dx|x33在正项等比数列an中，a1和a19为方程x210x+160的两根，则a8a12等于（）A8B10C16D324在ABC中，角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2b2+c2bc，则A（）A135B120C60D455设a，b，cR，且ab，则下列正确的是（）AacbcBC0D6执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A9B10C
2、27D367据有关文献记载：我国古代一座9层塔挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多d（d为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的顶层共有灯（）A2盏B3盏C4盏D5盏8几何原本卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为（）ABa2+b22ab（a0，b0）CD（a0，b0）9已知a0，b0，若a+4b4ab，则a+b的最小值是（）A2BCD10某加
3、工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（）A甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱11已知数列an满足a110，则的最小值为（）A21BCD12在锐角ABC中，
4、a，b，c分别是角A，B，C所对的边，ABC的面积S2，且满足acosBb（1+cosA），则（c+ab）（c+ba）的取值范围是（）A（88，8）B（0，8）C（，8）D（，8）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13已知x0，y0，且x+y2，则xy的最大值为 14若变量x，y满足约束条件，则zx+y的最大值是 15如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15，山脚A处的俯角为45，已知BAC60，则山的高度BC m16分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的
5、方程式，即一种基于递归的反馈系统下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得ACDB，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为Sn，现给出有关数列Sn的四个命题：数列Sn是等比数列；数列Sn是递增数列；存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn2018；存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn2018其中真命题的序号是 （请写出所有真命题的序
6、号）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（1）已知一元二次不等式x2+px+q0的解集为，求p+q；（2）若不等式x2mx+（m+7）0在实数集R上恒成立，求m的取值范围18在ABC中，（）求B；（）若c5，_，求a从b7，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答19已知等差数列an满足a66+a3，且a31是a21和a4的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）设bn（nN*），数列bn的前n项和为Tn，求Tn20某养殖基地养殖了一群牛，围在四边形的护栏ABCD内（不考虑宽度），知BC120，ABBC3km，CD6km，现在计划以AD为一边种植一片三角形的
7、草地ADE，为这群牛提供粮草，E120（1）求AD间的护栏的长度，（2）求所种植草坪的最大面积21如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且对角线MN过C点，已知AB4米，AD3米，设AN的长为x米（x3）（1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）求当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小面积22数列an的前n项和Sn满足Sn2ann（1）求证数列an+1是等比数列，并求an；（2）若数列bn为等差数列，且b3a2，b7a3，求数列anbn的前n项Tn参考答案一、选择题（共12小题，
8、每小题5分，共60分）. 1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a，B45，C75，则b（）ABCD【分析】先根据三角形内角和求得A，进而利用正弦定理求得b解：由题意可知，A180457560，由正弦定理可知，所以b故选：B2不等式0的解集为（）Ax|2x3Bx|x2Cx|x2或x3Dx|x3【分析】本题的方法是：要使不等式小于0即要分子与分母异号，得到一个一元二次不等式，讨论x的值即可得到解集解：，得到（x3）（x+2）0即x30且x+20解得：x3且x2所以无解；或x30且x+20，解得2x3，所以不等式的解集为2x3故选：A3在正项等比数列an中，a1和a19为方程x210
9、x+160的两根，则a8a12等于（）A8B10C16D32【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得a1a1916，从而根据a8a12a1a19即可求出结果解：由a1和a19为方程x210x+160的两根，得a1a1916，又an是等比数列，得a8a12a1a1916故选：C4在ABC中，角A，B，C所对各边分别为a，b，c，且a2b2+c2bc，则A（）A135B120C60D45【分析】由已知可得b2+c2a2bc，利用余弦定理可求cosA，结合A的范围可求A的值解：a2b2+c2bc，b2+c2a2bc，cosA，A（0，180），A45故选：D5设a，b，cR，且ab，则下列正确的是
10、（）AacbcBC0D【分析】根据条件，取a1，b1，c0，则可排除错误选项解：由a，b，cR，且ab，取a1，b1，c0，则可排除ABD故选：C6执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A9B10C27D36【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案解：由程序框图可得，第1次循环，k0，s0，满足循环条件，继续循环，第2次循环，k1，s1，满足循环条件，继续循环，第3次循环，k2，s9，满足循环条件，继续循环，第4次循环，k3，不满足循环条件，输出s9，退出循环故选：A7据有关文献记载：我国古代一
11、座9层塔挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多d（d为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的顶层共有灯（）A2盏B3盏C4盏D5盏【分析】由已知结合等差数列的求和公式及通项公式即可直接求解解：设顶层有x盏灯，则最下面有（x+8d）盏，则x+8d13x，即x，由题意得x+（x+d）+（x+2d）+（x+8d）126，整理得9x+36d126，所以9+36d126，解得d3，x2，所以顶层有2盏灯故选：A8几何原本卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如
12、图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OFAB，设ACa，BCb，则该图形可以完成的无字证明为（）ABa2+b22ab（a0，b0）CD（a0，b0）【分析】由图形可知OF，OC，在RtOCF中，由勾股定理可求CF，结合CFOF即可得出解：由图形可知：OF，OC，在RtOCF中，由勾股定理可得：CF，CFOF，（a，b0）故选：D9已知a0，b0，若a+4b4ab，则a+b的最小值是（）A2BCD【分析】由a+4b4ab可得+1，所以a+b（+）（a+b）+，从而结合a0，b0即可利用基本不等式进行求解解：由a+4b4ab，得+1，又a0，b0，所以a+b（+）（a+b）+2，当且仅
13、当，即a，b时等号成立，所以a+b的最小值为故选：C10某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（）A甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱B甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱C甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱D甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【分析】本题考查的
14、知识点是简单线性规划的应用，根据题意列出不等式组，找出目标函数解：设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，则目标函数z280x+200y结合图象可得：当x15，y55时z最大故选：B11已知数列an满足a110，则的最小值为（）A21BCD【分析】先由题设an+1an2n，然后利用叠加法求得an，进而求得，再利用单调性求得其最小值解：a110，an+1an2n，a2a12，a3a24，a4a36，anan12n2，n2，将以上式子相加，可得：ana12+4+6+2n2，n2，即ann（n1）+10，n2，又当n1时，有a110也适合上式，ann（n1）+10，n+1，易知：当n3时，单调递减
15、；当n4时，单调递增，又，的最小值为故选：C12在锐角ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，ABC的面积S2，且满足acosBb（1+cosA），则（c+ab）（c+ba）的取值范围是（）A（88，8）B（0，8）C（，8）D（，8）【分析】由题意利用正弦定理求得sin（AB）sinB，可得A2B，B（0，），再根据A+B3B（，），可得C的范围，进而得到的范围，把要求的式子利用余弦定理、二倍角公式化为8tan，从而求得它的范围解：在锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，满足acosBb（1+cosA），sinAcosBsinB+sinBcosA，sin（AB）sinB
16、，ABB，即A2B，可得：B（0，），可得：A+B3B（，），故C（，），（，），tanC1，可得：1tan1+ABC的面积SabsinC2，ab，则（c+ab）（c+ba）c2（ab）2c2a2b2+2ab2abcosC+2ab2ab（1cosC）（1cosC）88tan（88，8）故选：A二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13已知x0，y0，且x+y2，则xy的最大值为1【分析】根据基本不等式可知，xy（）2，进而根据x+y的值求得xy的最大值解：因为x0，y0，且x+y2，所以由基本不等式可得，xy（）21，当且仅当xy1时，等号成立，故xy最大值为1故答案为：114若变量
17、x，y满足约束条件，则zx+y的最大值是 5【分析】分别求出三条直线对应的三个交点坐标，代入zx+y中，比较大小即可得到答案解：联立，解得，代入zx+y，可得z1；联立，解得，代入zx+y，可得z5；联立，解得，代入zx+y，可得z5，比较可知，z的最大值为5故答案为：515如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15，山脚A处的俯角为45，已知BAC60，则山的高度BC600m【分析】利用等腰直角三角形AMD求出|AM|，在三角形AMC中，求出MAC75，AMC60，然后利用正弦定理求出|AC|，再求解直角三角形得|BC|解：如图在RtAMD中，由|MD|400，DAM45
18、，得|AM|MD|400，在AMC中，AMC45+1560，MAC180456075ACM180607545由正弦定理得，解得|AC|400在RtABC中，|BC|AC|sin60400600（m）故山的高度|BC|600m故答案为：60016分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得ACDB，以CD为一边在线段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的
19、图形；对图2中的最上方的线段EF作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为Sn，现给出有关数列Sn的四个命题：数列Sn是等比数列；数列Sn是递增数列；存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn2018；存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有Sn2018其中真命题的序号是（请写出所有真命题的序号）【分析】通过分析图1到图4，猜想归纳出其递推规律，再判断该数列的性质解：由题意，得图1中的线段为a，S1a，图2中的正六边形边长为，S2S1+4S1+2a；图3中的最小正六边形的边长为，S3S2+4S2+a图4中
20、的最小正六边形的边长为，S4S3+4S3+由此类推，SnSn1，Sn为递增数列，但不是等比数列，即错误，正确，因为SnS1+（S2S1）+（S3S2）+（SnSn1）a+2a+a+a+a+4a（1）5a，即存在最大的正数a使得对任意的正整数n，都有Sn2018即正确，错误，故填三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（1）已知一元二次不等式x2+px+q0的解集为，求p+q；（2）若不等式x2mx+（m+7）0在实数集R上恒成立，求m的取值范围【分析】（1）根据一元二次不等式x2+px+q0的解集得出对应方程的实数根，由根与系数的关系求出p、q的值；（2）根据不等式在
21、实数集R上恒成立知0，由此列不等式求出m的取值范围解：（1）因为一元二次不等式x2+px+q0的解集为，所以和是方程x2+px+q0的实数根，由，解得p，q，所以p+q；（2）若不等式x2mx+（m+7）0在实数集R上恒成立，所以（m）24（m+7）0，即m24m280，解得24m2+4，所以m的取值范围是（24，2+4）18在ABC中，（）求B；（）若c5，_，求a从b7，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答【分析】（）由正弦定理得bsinAasinB，与bsinAacos（B）由此能求出B（）若选b7，由余弦定理可得a25a240，即可解得a的值；若选，利用两角和的正弦函数公式可求
22、sinA的值，由正弦定理即可解得a的值解：（）在ABC中，由正弦定理得，得bsinAasinB，又bsinAacos（B）asinBacos（B），即sinBcos（B）cosBcos+sinBsincosB+sinB，tanB，又B（0，），B（）若选b7，则在ABC中，由余弦定理b2a2+c22accosB，可得a25a240，解得a8，或a3（舍去），可得a8若选，则sinAsin（B+C）sincos+cossin，由正弦定理，可得，解得a19已知等差数列an满足a66+a3，且a31是a21和a4的等比中项（1）求数列an的通项公式；（2）设bn（nN*），数列bn的前n项和为Tn，
23、求Tn【分析】（1）先根据题意设等差数列an的公差为d，再根据已知条件及等差数列的定义计算出d2，进一步根据等比中项的性质列出关于首项a1的方程，解出a1的值，即可计算出数列an的通项公式；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列bn的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和Tn解：（1）由题意，设等差数列an的公差为d，则a6a33d6，即d2，故a31a1+2d1a1+3，a21a1+d1a1+1，a4a1+3da1+6，a31是a21和a4的等比中项，（a31）2（a21）a4，即（a1+3）2（a1+1）（a1+6），解得a13，an3+2（n1）2n+1，nN*（2）由（1），可得b
24、n（），则Tnb1+b2+bn（）+（）+（）（+）（）20某养殖基地养殖了一群牛，围在四边形的护栏ABCD内（不考虑宽度），知BC120，ABBC3km，CD6km，现在计划以AD为一边种植一片三角形的草地ADE，为这群牛提供粮草，E120（1）求AD间的护栏的长度，（2）求所种植草坪的最大面积【分析】（1）可连接AC，在ABC中，根据余弦定理即可求出AC227，然后可得出ACD90，从而根据勾股定理可求出；（2）在ADE中，根据余弦定理和不等式可得出633AEDE，从而得出AEDE21，然后根据三角形的面积公式即可求出ADE面积的最大值解：（1）如图，连接AC，在ABC中，B120，ABB
25、C3km，根据余弦定理得，AC2AB2+BC22ABBCcos120，BC120，ABBC，BCA30，ACD90，且CD6km，（km）；（2）在ADE中，E120，根据余弦定理，63AE2+DE2+AEDE3AEDE，当且仅当AEDE时取等号，AEDE21，所种植草坪的最大面积为km221如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在AB上，N在AD上，且对角线MN过C点，已知AB4米，AD3米，设AN的长为x米（x3）（1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？（2）求当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小面
26、积【分析】（1）求出矩形AMPN的长与宽，计算其面积，利用面积大于54平方米，建立不等式，即可求得AN的长的范围；（2）利用换元法，再利用基本不等式，即可求得面积的最小值解：设AN的长为x米（x3）ABCD是矩形，|AM|SAMPN|AN|AM| （x3）（1）由SAMPN54，得 54，x3，（2x9）（x9）03x或x9AN长的取值范围是）（2）令y，令tx3（t0），则xt+3y48当且仅当t（t0），即t3时取等号此时AN6，AM8，最小面积为48平方米（16分）22数列an的前n项和Sn满足Sn2ann（1）求证数列an+1是等比数列，并求an；（2）若数列bn为等差数列，且b3a2
27、，b7a3，求数列anbn的前n项Tn【分析】（1）由数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，可得所求；（2）运用等差数列的通项公式可得bnn，anbnn（2n1）n2nn，由数列的错位相减法和等差数列、等比数列的求和公式，可得所求和解：（1）证明：Sn2ann，可得a1S12a11，解得a11；Sn12an1n+1，以及Sn2annn2，相减可得an2an2an11，即an2an1+1，an+12（an1+1），则数列an+1是首项和公比均为2的等比数列，则an+12n，即an2n1；（2）数列bn为公差为d的等差数列，且b3a23，b7a37，可得4d4，即d1，可得bn3+（n3）n，则anbnn（2n1）n2nn，设Kn12+222+n2n，2Kn122+223+n2n+1，相减可得Kn2+22+2nn2n+1n2n+1，化简可得Kn2+（n1）2n+1，前n项和Tn2+（n1）2n+1n（n+1）
