1、第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.1空间中的点、直线与空间向量课后篇巩固提升必备知识基础练1.已知l1的方向向量为v1=(1,2,3),l2的方向向量为v2=(,4,6),若l1l2,则等于()A.1B.2C.3D.4答案B解析由l1l2,得v1v2,得1=24=36,故=2.2.空间中异面直线a与b所成角的取值范围是()A.0,B.(0,)C.0,2D.0,2答案C解析根据异面直线所成角定义,空间中异面直线a与b所成角的取值范围是0,2.3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.BDB.ACC.A1DD.A1A答案A
2、解析以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1.则C(0,1,0),B(1,1,0),A(1,0,0),D(0,0,0),C1(0,1,1),A1(1,0,1),E12,12,1,CE=12,-12,1,AC=(-1,1,0),BD=(-1,-1,0),A1D=(-1,0,-1),A1A=(0,0,-1),CEBD=(-1)12+(-1)-12+01=0,CEAC=-10,CEA1D=-320,CEA1A=-10,CEBD.4.直线l1与l2的方向向量分别为a1,a2,若a1a2,则l1与l2的位置关系为.答案垂直5.在正方
3、体ABCD-A1B1C1D1中,O是AC的中点,E是线段D1O上一点,且D1E=EO.求异面直线DE与CD1所成角的余弦值.解不妨设正方体的棱长为1,以DA,DC,DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系Dxyz,如图所示,则A(1,0,0),O12,12,0,C(0,1,0),D1(0,0,1),E14,14,12,于是DE=14,14,12,CD1=(0,-1,1),且|DE|=64,|CD1|=2,则cos=DECD1|DE|CD1|=36.所以异面直线DE与CD1所成角的余弦值为36.6.已知圆柱的底面半径为3,高为4,A,B两点分别在两底面圆周上,并且AB=5,求异面直线AB与轴OO之
4、间的距离.解如图,直线AB与轴OO之间的距离等于轴OO与平面ABC的距离,由图形可知,直线AB与轴OO之间的距离等于点O到BC的距离,AB=5,AC=4,且ACBC,BC=52-42=3,OCB为等边三角形,异面直线AB与轴OO之间的距离为332.关键能力提升练7.已知直线l1的方向向量a=(2,-3,5),直线l2的方向向量b=(-4,x,y),若两直线l1l2,则x,y的值分别是()A.6和-10B.-6和10C.-6和-10D.6和10答案A解析由两直线l1l2,得两向量a,b平行,即2-4=-3x=5y,所以x,y的值分别是6和-10.8.如图,S是正三角形ABC所在平面外一点,M,N
5、分别是AB和SC的中点,SA=SB=SC,且ASB=BSC=CSA=90,则异面直线SM与BN所成角的余弦值为()A.105B.-105C.-1010D.1010答案A解析不妨设SA=SB=SC=1,以S为坐标原点,SA,SB,SC所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Sxyz,则相关各点坐标为B(0,1,0),S(0,0,0),M12,12,0,N0,0,12.因为SM=12,12,0,BN=0,-1,12,所以|SM|=22,|BN|=52,SMBN=-12,cos=SMBN|SM|BN|=-105,因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为105
6、.9.如图,在三棱锥S-ABC中,SA平面ABC,ABBC,且SA=AB=BC=1,则异面直线SB与AC之间的距离为.答案33解析构造如图所示正方体.取AB的中点O,连接OD交AC于点E,连接OM交SB于点F,由平面几何知识可知,OF=13OM,OE=13OD,所以EF13DM.又因为ACBD,ACBM,所以AC平面BDM,ACDM,因为EF13DM,所以ACEF.同理可证SBDM,所以SBEF.所以EF是异面直线AC和SB的公垂线段.所以EF=13DM=33.10.如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N分别为DE,BE,EF,EC的中点,在这个正四面体中,GH与EF平行;BD与MN为异面
7、直线;GH与MN成60角;DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是.答案解析还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60角,DE与MN为异面垂直.11.如图,在四面体ABOC中,OCOA,OCOB,AOB=120,且OA=OB=OC=1,设P为AC的中点,Q在AB上且AB=3AQ,证明:PQOA.证明如图,连接OP,OQ,PQ,取O为坐标原点,过点O作ODOA,以OA,OD,OC所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Oxyz(如图所示).则A(1,0,0),C(0,0,1),B-12,32,0.P为AC中点,P12,0,12.AB=-32,32,
8、0,又由已知,可得AQ=13AB=-12,36,0.又OQ=OA+AQ=12,36,0,PQ=OQ-OP=0,36,-12.PQOA=0,PQOA,即PQOA.12.如图,直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC-A1B1C1的底面ABC中,CA=CB=1,BCA=90,棱AA1=2,M,N分别为A1B1,A1A的中点.(1)求cos的值;(2)求证:BN平面C1MN.解以C为原点,CA,CB,CC1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系Cxyz.(1)依题意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B(0,1,0),B1(0,1,2),BA1=(1,-1,2),CB1=(0,1,2),BA1
9、CB1=10+(-1)1+22=3,|BA1|=6,|CB1|=5,cos=BA1CB1|BA1|CB1|=3010.(2)证明:依题意得C1(0,0,2),N(1,0,1),M12,12,2,C1M=12,12,0,C1N=(1,0,-1),BN=(1,-1,1),C1MBN=121+12(-1)+10=0,C1NBN=11+0(-1)+(-1)1=0,C1MBN,C1NBN,BNC1M,BNC1N,且C1M平面C1MN,C1N平面C1MN,C1MC1N=C1.BN平面C1MN.学科素养拔高练13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,求A1B与D1B1的距离.解在A1B上任取一点M,作MPA1B1,PNB1D1,则MNB1D1,只要求出MN的最小值即可.设A1M=x,则MP=22x,A1P=22x.所以PB1=a-22x,PN=a-22xsin45=12(2a-x),MN=PM2+PN2=2232(x-23a)2+23a2.当x=23a时,MNmin=33a.因此A1B与D1B1的距离为33a.
