1、专题检测（七）三角恒等变换与解三角形 A 组“633”考点落实练一、选择题1.(2019开封市定位考试)已知 cos2 13，则 cos 2的值为()A.79 B.79C.2 23D.13解析：选 B 因为 cos2 13，所以 sin 13，所以 cos 212 13279，故选 B.2.(2019长春市质量监测一)函数 f(x)sinx3 sin x 的最大值为()A.3B.2C.2 3D.4解析：选 A 法一：由已知得 f(x)12sin x 32 cos xsin x32sin x 32 cos x 3sinx6，所以函数的最大值为 3，故选 A.法二：由已知得 f(x)12sin x
2、 32 cos xsin x32sin x 32 cos x，故函数的最大值为 322322 3，故选 A.3.(2019长春市质量监测一)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 bacos C12c，则角 A 等于()A.60B.120C.45D.135解析：选 A 由 bacos C12c 及余弦定理，可得 bab2a2c22ab12c，即 2b2b2a2c2bc，整理得 b2c2a2bc，于是 cos Ab2c2a22bc12，又 0A，所以 A60，故选 A.4.(2019江西七校第一次联考)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 bacos
3、C 33 sin C，a2，c2 63，则角 C()A.34B.3C.6D.4解析：选D 由bacos C 33 sin C，得sin Bsin Acos C 33 sin C.因为sin Bsin(AC)sin(AC)，所以 sin Acos Ccos Asin Csin Acos C 33 sin Asin C(sin C0)，cos A 33 sin A，所以 tan A 3.因为 0A，所以 A3.由正弦定理 asin Acsin C，得 sin C 22.因为 0C23，所以 C4.故选 D.5.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若cbcos A，则ABC 为
4、()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形解析：选 A 根据正弦定理得cbsin Csin Bcos A，即 sin Csin Bcos A.ABC，sin Csin(AB)sin Bcos A，整理得 sin Acos B0，cos B0，2 B，ABC 为钝角三角形.6.(2018南昌一模)已知台风中心位于城市 A 东偏北(为锐角)的 150 千米处，以 v 千米/时沿正西方向快速移动，2.5 小时后到达距城市 A 西偏北(为锐角)的 200 千米处，若 cos 34cos，则 v()A.60 B.80C.100 D.125解析：选 C 如图，台风中心为 B，2.5 小时
5、后到达点 C，则在ABC中，ABsin ACsin，即 sin 43sin，又 cos 34cos，sin2cos2169 sin2 916cos21sin2cos2，sin 34cos，sin 35，cos 45，sin 45，cos 35，cos()cos cos sin sin 354545350，2，BC2AB2AC2，(2.5v)215022002，解得 v100，故选 C.二、填空题7.(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 b6，a2c，B3，则ABC 的面积为_.解析：由余弦定理得 b2a2c22accos B.又 b6，a2c，B3，364
6、c2c222c212，c2 3，a4 3，SABC12acsin B124 32 3 32 6 3.答案：6 38.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A3，3sin2Ccos C 2sin Asin B，且 b6，则 c_.解析：由余弦定理得 a2b2c22bc12b2c2bc，又3sin2Ccos C 2sin Asin B，由正弦定理可得3c22aba2b2c22ab，即 a2b24c20，则 b2c2bcb24c20.又 b6，c22c240，解得 c4(负值舍去).答案：49.(2019洛阳市统考)在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若
7、a，b，c 成等比数列，且 tan B34，则 1tan A1tan C的值是_.解析：a，b，c 成等比数列，b2ac，由正弦定理得 sin2Bsin Asin C，1tan A 1tan Ccos Asin Acos Csin Csin Ccos Acos Csin Asin Asin Csin（CA）sin Asin C sin Bsin Asin C 1sin B，tan B34，sin B35，1tan A 1tan C53.答案：53三、解答题10.(2018全国卷)在平面四边形 ABCD 中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求 cos ADB；(2)若 DC2 2，求
8、BC.解：(1)在ABD 中，由正弦定理得BDsin AABsin ADB，即5sin 452sin ADB，所以sin ADB 25.由题设知，ADB90，所以 cos ADB1 225 235.(2)由题设及(1)知，cos BDCsin ADB 25.在BCD 中，由余弦定理得 BC2BD2DC22BDDCcos BDC 258252 2 25 25，所以 BC5.11.(2019重庆市学业质量调研)ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知ABC的面积为 32 accos B，且 sin A3sin C.(1)求角 B 的大小；(2)若 c2，AC 的中点为 D，求
9、BD 的长.解：(1)SABC12acsin B 32 accos B，tan B 3.又 0B，B60.(2)sin A3sin C，由正弦定理得，a3c，a6.由余弦定理得 b26222226cos 6028，b2 7.cos Ab2c2a22bc（2 7）22262222 7 714.D 是 AC 的中点，AD 7.BD2AB2AD22ABADcos A22(7)222 7 714 13.BD 13.12.(2019全国卷)ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求 A；(2)若 2ab2c，求 sin C.
10、解：(1)由已知得 sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得 b2c2a2bc.由余弦定理得 cos Ab2c2a22bc12.因为 0A180，所以 A60.(2)由(1)知 B120C，由题设及正弦定理得 2sin Asin(120C)2sin C，即 62 32 cos C12sin C2sin C，可得 cos(C60)22.因为 0C120，所以 sin(C60)22，故 sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60 6 24.B 组大题专攻强化练1.(2019江西七校第一次联考)在ABC 中，角 A，B，C 所对应
11、的边分别为 a，b，c，且a2(bc)2bc.(1)求角 A 的大小；(2)若 f(x)sin(2xA)，将函数 f(x)的图象向右平移12个单位长度后又向上平移了 2 个单位长度，得到函数 g(x)的图象，求函数 g(x)的解析式及单调递减区间.解：(1)a2(bc)2bc，a2b2c2bc，cos Ab2c2a22bc12，又 0A，A3.(2)f(x)sin2x3，g(x)sin2x6 2，令 2k22x6 2k32，kZ，得 k6 xk23，kZ，故函数 g(x)的单调递减区间为k6，k23，kZ.2.已知在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 asin Ac
12、os Ccsin Acos A 3bcos A0.(1)求角 A 的大小；(2)若ABC 的面积为 4 3，且 b，a，c 成等差数列，求ABC 的内切圆的半径.解：(1)由 asin Acos Ccsin Acos A 3bcos A0，可知 sin A(sin Acos Ccos Asin C)3sin Bcos A，sin Asin(AC)3sin Bcos A，sin(AC)sin B，sin Asin B 3sin Bcos A，sin B0，sin A 3cos A，tan A 3，又A(0，)，A3.(2)由题意可知 SABC12bcsin A12bc 32 4 3，bc16，又
13、 a2b2c22bccos A，a2(bc)23bc，又b，a，c 成等差数列，a24a248，a4，bc2a8，ABC的周长为 abc12，设ABC 内切圆的半径为 r，则12r(abc)SABC，即12r124 3，r2 33.3.(2019武汉部分学校调研)已知锐角三角形 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，sin2Bsin2Asin2C 3sin Asin C.(1)求 B 的大小；(2)求 sin Acos C 的取值范围.解：(1)锐角三角形 ABC 中，sin2Bsin2Asin2C 3sin Asin C，故 b2a2c2 3ac，cos Ba2c2b22ac
14、 32，又 B0，2，所以 B6.(2)由(1)知，C56 A，故 sin Acos Csin Acos56 A 32sin A 32 cos A 3sinA6.又 A0，2，C56 A0，2，所以 A3，2，A6 6，3，sinA6 12，32，故 sin Acos C 的取值范围为32，32.4.(2019洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形 ABCD 中，ABC为锐角，ADBD，AC 平分BAD，BC2 3，BD3 6，BCD 的面积 S3（2 3）2.(1)求 CD；(2)求ABC.解：(1)在BCD 中，S12BDBCsinCBD3（2 3）2，BC2 3，BD3 6，sinCB
15、D12.ABC 为锐角，CBD30.在BCD 中，由余弦定理得 CD2BC2BD22BCBDcosCBD(2 3)2(3 6)222 3(3 6)32 9，CD3.(2)在BCD 中，由正弦定理得BCsinBDCCDsinCBD，即2 3sinBDC3sin 30，解得 sinBDC 33.BCBD，BDC 为锐角，cosBDC 63.在ACD 中，由正弦定理得ACsinADCCDsinCAD，ACsin2 BDCCDsinCAD 即ACcosBDC3sinCAD.在ABC 中，由正弦定理得ACsinABCBCsinBAC，即ACsinABC2 3sinBAC.AC 平分BAD，CADBAC.由得sinABCcosBDC 32 3，解得 sinABC错误!.ABC 为锐角，ABC45.
