1、第 1/共 19学科（北京）股份有限公司重庆育才中学南学附中 2024 届拔尖强基联盟三联合考试数学试题（满分：150 分；考试时间：120 分钟）命题学校：重庆育才中学2023 年 10 注意事项：1答题前，考先将的地名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上2答选择题时，必须使 2B 铅笔填涂；答选题题时，必须使 0.5 毫的签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写效；保持答卷清洁、完整3考试结束后，将答题卡交回（试题卷学留存，以备评讲）单选题：本题共 8 题，每题 5 分，共 40 分在每题给出的四个选项中，只有项是符合题要求的1.复数（i 为虚数单位）复平内对应
2、的点位于（）A.第象限B.第象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】判断复数在复平上的象限，只要把复数表示成标准的复数形式即可.【详解】，所以复数在复平内对应的点为(2,-3)，位于第四象限故选：D2.设集合，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先化简集合 A，B，再根据补集和交集的概念即可求解【详解】由，得，第 2/共 19学科（北京）股份有限公司故选：A3.已知数列满，若，则（）A.B.C.12D.36【答案】D【解析】【分析】由可知数列是公为的等数列，再由题意结合等数列的通项公式代可求出答案.【详解】由可知数列是公为的等数列，所以，解得：.故选：D.4.已知向量
3、，若，则（）A.-6B.0C.D.【答案】C【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示列出程求参，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】由向量，因为，所以所以故选:C.5.在中，A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，则“”是为直三形的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分不必要条件【答案】D【解析】第 3/共 19学科（北京）股份有限公司【分析】由，利正弦定理得到，再利三恒等变换得到求解.【详解】解：因为，所以，则，则，化简得，所以或，所以或，所以为直三形（）或等腰三形，所以“”是为直三形的既不充分不必要条件.故选：D6.已知函数在上单调递增，则实数 m 的最
4、值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦型函数的单调性列不等式组解得实数 m 的取值范围，即可得实数 m 的最值.【详解】因为，则，所以，函数在上单调递增，所以则，第 4/共 19学科（北京）股份有限公司故，所以实数 m 的最值为.故选：A.7.新机的作原理是，从室外吸空，净化后输室内，同时将等体积的室内空排向室外假设某房间的体积为，初始时刻室内空中含有颗粒物的质量为 m已知某款新机作时，单位时间内从室外吸的空体积为v（），室内空中颗粒物的浓度与时刻t 的函数关系为，其中常数为过滤效率若该款新机的过滤效率为，且时室内空中颗粒物的浓度是时的倍，则 v 的值约为（）（参考数据：，
5、）A.1.3862B.1.7917C.2.1972D.3.5834【答案】B【解析】【分析】由题意表达出，由列出程，求出，两边取对数，计算出答案.【详解】由题意得，因为，所以，整理得，令，因为，所以，则，解得（舍去）或，故，解得.故选：B8.已知，均在内，则的值为（）A.B.C.D.【答案】C第 5/共 19学科（北京）股份有限公司【解析】【分析】根据题意，由同的平关系可得，再由余弦的和差公式，即可得到结果.【详解】因为，且，所以，因为，所以，所以为钝，所以，则，且，则.故选：C多选题：本题共 4 题，每题 5 分，共 20 分在每题给出的四个选项中，有多项是符合题要求的，全部选对得 5 分，
6、部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9.关于平向量，有下列四个命题，其中说法正确的是（）A.向量，能作为平内所有向量的组基底B.若点 G 是的重，则C.若，则或D.若向量，则向量在向量上的投影向量为【答案】BD【解析】【分析】由基底的概念即可判断 A，由三形重的定义即可判断 B，由平向量数量积的定义即可判断 C，由投影向量的概念即可判断 D.【详解】因为向量，则，即，则不能作为平内基底，故A 错误；第 6/共 19学科（北京）股份有限公司如图所示，连接并延交于点，点为中点，延到点，使得，则，所以，故 B 正确；因为，若，则或或，故 C 错误；因为向量，则向量在向量上的投影向量为，故 D 正
7、确；故选：BD10.设函数，则下列结论正确的是（）A.的最正周期为B.的图象关于直线对称C.的个零点为D.的最值为 1【答案】ABD【解析】【分析】根据辅助公式化简函数，再结合三函数图象相关知识逐判断即可.【详解】函数.对于 A，的最正周期为，故 A 正确；对于 B，所以的图象关于直线对称，故 B 正确；对于 C，所以不是的个零点，故 C 错误；对于 D，函数，则的最值为 1，故 D 正确.第 7/共 19学科（北京）股份有限公司故选：ABD.11.以下说法错误的是（）A.若的定义域为，则的定义域为B.若在上的值域，则在上的值域也为C.若为 R 上的奇函数，则也为 R 上的奇函数D.若是 R
8、上的单调递增函数，则是的单调递减函数【答案】AB【解析】【分析】根据函数的概念与性质判定即可.【详解】对于 A 项，若的定义域为，则要求的定义域，需，故 A 错误；对于 B 项，若在上的值域，时，所以在上的值域为函数在上的值域，不定为，故 B 错误；对于 C 项，设，若为 R 上的奇函数，则，所以，故也为 R 上的奇函数，C 正确；对于 D 项，由复合函数的单调性可知在定义域上单调递减，是单调递增函数，故是的单调递减函数，即 D 正确.故选：AB.12.在三形ABC 中，点D AB 边上的四等分点且，AC 边上存在点E 满，直线 CD 和直线 BE 交于点 F，若，则（）第 8/共 19学科（
9、北京）股份有限公司A.B.C.的最值为 17D.【答案】ABD【解析】【分析】根据平向量的线性运算、共线定理、数量积的运算性质逐项判断即可.【详解】因为，所以，所以，故 A 正确；因为，则，因为，所以三点共线，所以，整理得，故 B 正确；由可得，所以，因为，当时，故的最值不为，故 C 不正确；由于，所以，则，所以，当且仅当时，等号成第 9/共 19学科（北京）股份有限公司所以的最值为，故 D 正确.故选：ABD.三、填空题：本题共 4 题，每题 5 分，共 20 分13.已知向量，的夹为，且，则等于_【答案】1【解析】【分析】根据数量积的定义求解，再根据数量积的应与运算律求解的值即可.【详解】
10、因为向量，的夹为，且，所以，则.故答案为：.14.写出个同时具有下列两个性质的函数：_的值域为；当时，【答案】【解析】【分析】根据题意，考虑指数型函数，即可得到结果.【详解】由题意可得，函数在上单调递增，且最值为，由指数函数在上单调递增且，将其向上平移 2 个单位可得，符合题意.故答案为：15.已知等差数列的前 n 项和为，若，则_【答案】5【解析】【分析】根据等差数列的性质与前 n 项和的公式转化求解即可得的值.第 10/共 19学科（北京）股份有限公司【详解】因为等差数列的前 n 项和为，且所以，即所以.故答案为：.16.定义：在数列中，其中 d 为常数，则称数列为“等差”数列已知“等差”
11、数列中，则_；_【答案】.【解析】【分析】根据“等差”数列的定义可得，从可得数列，于是可得的关系式，故可得求得与的值.【详解】已知“等差”数列中，所以，则则数列是项为，公差为的等差数列，所以，所以，则所以，则且.故答案为：；.四、解答题：本题共 6 题，共 70 分解答应写出必要的字说明、证明过程或演算步骤17.已知函数在区间上的图象如图所示第 11/共 19学科（北京）股份有限公司（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域【答案】（1）;（2）【解析】【分析】（1）由图象可得出函数的最正周期，
12、可求得的值，由结合的取值范围可求出的值，由此可得出函数的解析式；（2）利三函数图象变换可得出函数的解析式，利正弦型函数的基本性质可求得函数在上的值域.【问 1 详解】由图象可知，函数的最正周期为，则，所以，因为，因为，则，所以，解得，因此，.第 12/共 19学科（北京）股份有限公司【问 2 详解】将的图象向右平移个单位度，可得到函数的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则，当时，则，所以，因此，在上的值域为.18.已知数列的前 n 项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前 n 项积为，当成时，求 n 的最值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（
13、1）根据与的关系，利相减法即可求得数列的通项公式；（2）根据数列通项即可得前 n 项积为，再根据对数不等式与元次不等式即可得不等式解集，从可得 n 的最值【问 1 详解】因为，当时，可得：，即当时，所以，故故数列是项为，公为的等数列，故；第 13/共 19学科（北京）股份有限公司【问 2 详解】数列的前 n 项积为则不等式为，所以，即解得，所以 n 的最值为 19.太阳能热器因节能环保深受消费者的睐，但它也有缺点持续阴天或天便法正常使为解决这缺陷，现在的太阳能热器箱上都安装了辅助电加热器，如果天不好或冬季温法满需要时，就可以通过辅助电加热器把温升，便户使某响应“节能减排”的号召，决定把原来给锅
14、炉加热的电热器更换成电辅式太阳能热器电铺式太阳能热器的耗电情况受当天的照时和均温影响，假设每天的照情况和均温相互独，该电辅式太阳能热器每耗电情况如下表所示：照情况均温不低于 15均温低于 15照充耗电 0 千瓦时耗电 5 千瓦时照不耗电 5 千瓦时耗电 10 千瓦时照严重不耗电 15 千瓦时耗电 20 千瓦时根据调查，当地每天照充的概率为，照不的概率为，照严重不的概率为2023 年这年的均温的频率分布直图如图所示，区间分组为，（1）求图中 a 的值，并求年中均温不低于 15的频率；（2）频率估计概率，已知该原来电热器平均每天耗电 20 千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热器后，每天能省多少电?【答
15、案】（1），；（2）千瓦时.【解析】第 14/共 19学科（北京）股份有限公司【分析】（1）根据频率分布直图中频率和为 1 求出区间的频率，再除以组距求得 的值，再利形积等于频率，求出不低于 15的频率；（2）由（1）知年中均温不低于 15的概率的估计值为，低于 15的概率的估计值为，分析题意可知，使电辅式太阳能热器均耗电量的可能取值为 0，5，10，15，20，分别算出事件对应的概率，写出分布列，即可得出期望，即可得到使电辅式太阳能热器天节省的电量.【问 1 详解】依题意得.年中均温不低于 15频率为.【问 2 详解】这年中均温不低于 15的概率的估计值为，年中均温低于 15的概率的估计值为
16、，设使电辅式太阳能热器均耗电量为，的所有可能取值为 0，5，10，15，20，.所以的分布列为05101520所以的数学期望所以使电辅式太阳能热器天节省的电量为（千瓦时）.20.如图，在中，点在边上，.（1）求证：；第 15/共 19学科（北京）股份有限公司（2）若，求.【答案】（1）证明解析（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理得到，再由锐三函数得到，最后由诱导公式计算可得；（2）设，根据平向量的线性运算得到，再根据数量积的运算律及定义得到程求出，最后由积公式计算可得.【问 1 详解】在中，由正弦定理可得，所以，在中，则，由于，所以，即【问 2 详解】在中，设则，所以，所以，解得或（舍去），
17、.第 16/共 19学科（北京）股份有限公司21.已知函数，函数与关于点中对称（1）求的解析式；（2）若程有两个不等实根，且，求 a 的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数的对称性可得，从可得的解析式；（2）根据程的根，利元次程根与系数的关系与指数函数的性质，结合，即可求得 a的值【问 1 详解】已知函数，函数与关于点中对称所以，则【问 2 详解】由于程有两个不等的实根，不妨设即两个不等的实根，则，由于函数是递增函数，所以，因为，则，所以，则代得：，解得，代得.22.已知（1）若对，都有恒成，求的取值范围；第 17/共 19学科（北京）股份有限公司（2）当时，在上的最值为，求的
18、值域【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据单调性定义可知在上单调递增，得到，采分离变量法和换元法可得在上恒成，根据次函数的最值可求得的取值范围；（2）求导后，采换元法，结合次函数的零点可求得在上的单调性，并确定最值点的取值范围，结合单调性可得，进表示出的取值范围；利导数可分别求得最值和最值的取值范围，从最终确定所求值域.【问 1 详解】对，都有恒成，在上单调递增，在上恒成，令，则在上恒成，为开向向上，对称轴为的抛物线，当时，即实数的取值范围为.【问 2 详解】，当时，令，为开向向下，对称轴为的抛物线，第 18/共 19学科（北京）股份有限公司在上单调递减，当时，令，解得：（舍）或；当时，；当时，；在上单调递增，记，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，即，当时，即，；上单调递增，；令，则，在上单调递减，；令，则，在上单调递增，；第 19/共 19学科（北京）股份有限公司.【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数单调性求解参数范围、利导数求解恒成问题；本题求解的关键是能够结合三恒等变换的知识，采换元法来对导函数的零点进求解，从确定原函数的单调性和最值点.
