1、学科网（北京）股份有限公司重庆市高 2024 届高三第六次质量检测数学试题命审单位：重庆南开中学 2024.2 注意事项：1.本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合*213,30AxxBxxx=
2、N，则 AB=（）A.03xx B.13xx 的左右焦点分别为12F F，过点2F 作直线交双曲线右支于 M N两点（M 点在 x 轴上方），使得223MFF N=.若()110MFMNF N+=，则双曲线的离心率为（）A.62 B.2 C.3 D.2 8.对于正数,a b，有()()216ababab+=，则ab+的取值范围是（）A.(0,1 B.1,3 C.1,2 D.2,+二多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.9.某射箭俱乐部举行了射箭比赛，甲乙两名选手均射箭 6
3、次，结果如下，则 次数第/x 次 1 2 3 4 5 6 环数/y环 7 8 6 7 8 9 甲选手 学科网（北京）股份有限公司次数第/x 次 1 2 3 4 5 6 环数/y环 9 7 6 8 6 6 乙选手 A.甲选手射击环数的第九十百分位数为 8.5 B.甲选手射击环数的平均数比乙选手的大 C.从发挥的稳定性上看，甲选手优于乙选手 D.用最小二乘法求得甲选手环数 y 关于次数 x 的经验回归方程为30.ayx=+，则 6.45a=10.已知一圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是圆心角为 3 的扇形，,A B 为底面圆的一条直径上的两个端点，则（）A.该圆锥的母线长为 2 B.该圆锥的体积为
4、 C.从 A 点经过圆锥的表面到达 B 点的最短距离为2 3 D.过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面面积的最大值为 3 11.平面解析几何的结论很多可以推广到空间中，如：（1）平面上，过点()00,Q xy，且以()(),0ma bab=为方向向量的平面直线l 的方程为00 xxyyab=；在空间中，过点()000,Q xyz，且以()(),0ma b cabc=为方向向量的空间直线l 的方程为000 xxyyzzabc=.（2）平面上，过点()00,Q xy，且以()(),0nm nmn=为法向量的直线l 的方程为()()000m xxn yy+=；空间中，过点()000,Q xyz，且以(
5、)(),0nm n pmnp=为法向量的平面 的方程为()()()0000m xxn yyp zz+=.现已知平面:2345xyz+=，平面12210:220,:,:641311xyxyzllxyzyz=+=+=+=，则（）A.1l B.C.1l D.2l三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12.已知圆22:2430C xyxy+=，直线:220l mxym+=，若直线l 与圆C 交于,A B 两点，则AB 的最小值为_.学科网（北京）股份有限公司13.2024 年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”.某班级五位
6、同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这五位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂，冰雪大世界，中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是_.14.设()f x 是定义在R 上的单调增函数，且满足()()17fxf x+=，若对于任意非零实数 x 都有()()11243ff xxf xx+=+，则()2024f=_.四解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15.（13 分）如图，四边形 ABCD 是圆柱O
7、E 的轴截面，点 F 在底面圆O 上，1OBBF=，点G 是线段 BF 的中点 （1）证明：EG 平面 DAF；（2）若直线 DF 与圆柱底面所成角为45，求点G 到平面 DEF 的距离.16.（15 分）设函数()1cossin(0)64f xxx=+，且函数()f x 的图像相邻两条对成轴之间的距离为 2（1）若0,2x，求()f x 的取值范围；（2）把函数()f x 图像上所有点的横坐标变为原来的 12倍（纵坐标不变），再将所得图像向左平移 6个单学科网（北京）股份有限公司位长度，得到函数()g x 的图像，讨论函数()g x 的单调性；（3）在 ABC中，记 A B C所对的边分别为
8、()1,2a b c fA=，外接圆面积为()4,tan23 tanBC=，BAC的内角平分线与外角平分线分别交直线 BC 于 D E两点，求 DE 的长度.17.（15 分）设()ln,0f xaxax x a=+.（1）求()f x 的极值；（2）若对于1,2x+，有()2xf xe恒成立，求 a 的最大值.18.（17 分）已知定点()()1,0,1,0AB，若动点 P 到()1,0A与到定直线 1:4lx=的距离之比为 12.（1）求动点 P 的轨迹C 的方程；（2）过点 B 作直线 2l 交C 于 M N两点（M 点在 x 轴的上方），过点 M 作 1l 的垂线，垂足为Q.是否存在点
9、 P，使得四边形 MNPQ 为菱形？若存在，请求出此时 2l 的斜率；若不存在，请说明理由；（3）若动点 P 在第一象限，延长 PA PB交C 于 R K两点，求 PAK与 PBR内切圆半径的差的绝对值的最大值.19.（17 分）已知正项数列 na满足：22*111145450,2nnnnnnaaaaaana+=N.（1）设1nnnbaa=+，试证明 nb为等比数列；（2）设24nnnbcb=，试证明12509nccc+；（3）设2221222212111,nnnnAaaaBaaa=+=+，是否存在n 使得()232nnnAB+为整数？如果存在，则求出n 应满足的条件；若不存在，请给出理由.学
10、科网（北京）股份有限公司重庆市高 2024 届高三第六次质量检测数学试题参考答案与评分细则题号1234567891011选项CDDDAADCBCDABAC一单项选择题：本题共 8 小题.每小题 5 分，共 40 分.5.A 【解析】分子分母同时除以ex 得()221sin2eexxxxf x+=，函数221sin2xx+是偶函数，函数eexx是奇函数，所以函数()f x 是奇函数，排除()C,f x 的定义域是0 x x，排除B，当 x+时，()0f x+，所以排除D，所以选A.6.A 【解析】因为3,120ABACB=，所以 ABC的外接圆半径为312sin120r=在 ABC中，由余弦定理
11、可得22222232cos120()ABACBCAC BCACBCAC BCACBCAC BC=+=+=+所以2()31AC BCACBC=+=，所以13sin12024ABCSAC BC=，因为1136.2 23346O ABCABCVShhh=球半径223Rhr=+=，所以球面积2436SR=，故选 A 7.D 【解析】由()110MFMNF N+=，可知1MFMN=，故22122F NMNMFMFMFa=，则12214,36,8F Na MFNFa MFa=，在12MF F与12NF F中由余弦定理可得：2222221212441643664cos,cos824acacaaF F NF
12、F Macac+=，而1212coscos0F F MF F N+=，解得224ca=，即2e=.8.C 【解析】由题可知：263333()2121214ababababab+=+（当且仅当ab=时取等），化简可得()2()32 0abab+，解得12ab+.学科网（北京）股份有限公司二多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.9.BCD（选对 1 个得 2 分，选对两个得 4 分）10.AB（选对一个得 3 分）【解析】对于A，一圆锥的底面半径3r=，则底面圆周长为 2 3，
13、其侧面展开图是圆心角为 3 的扇形，2 3232l=，得2l=，所以A 正确；对于B，因为3r=，母线长为 2，所以该圆锥的高为 1，所以其体积为21(3)13=，故 B 正确 对于C，假设该圆锥的轴截面将该圆锥分成两部分，将其中的一部分展开，则其侧面展开图是一个圆心角为32的扇形，所以从 A 点经过圆锥的表面到达 B 点的最短距离为3322 2 sin4sin2 324=，故C 不正确；对于D，过该圆锥的顶点作圆锥的截面，则截面为腰长为 2 的等腰三角形，设其顶角为，则该三角形的面积为12 2sin2S=.当截面为轴截面时，2 3=，则203 故当2=时，max12 2 1232S=，故 D
14、 不正确.故选：AB 11.AC（选对一个得 3 分）【解析】由题可知：平面 的法向量()2,3,4m=，平面 的法向量()()1151,2,2,:1112zxynl=，恒过()5,0,1，方向向量 11,1,12l=21134:234zyxl+=，恒过1 10,4 3，方向向量()22,3,4l=A.10l m=，且()2 53 0415+，故 1l 不在 上，则 1l .正确 B.0n m=，则.错误 学科网（北京）股份有限公司C.112ln=，则 1l，正确.D.由 234122，可知 2l与 n 不平行，则 2l 与 不垂直.错误.三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15
15、分.12.2 13.36 【解析】若甲乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：1,2,2 的选法总数为：233318C A=若甲乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：1,1,3的选法总数为：1133232218C C AA=所以不同的选法总数为 36.14.2021 【解析】令()()1123tf xxf xx=+，则()4f t=，令 xt=，则()()11124 123tf tttf ttt=+=+，解得1t=或12.而()()17fxf x+=，故1722f=.因此1t=.则()()11123f xxf xx=+，即()()()()()()()3111133333f xxf xxf xx
16、f xxxf xx f x+=+=+.因此()30f xx+=或()()31x f x+=，当()()31x f x+=时，()13f xx=，在()0,+上单调递减，不满足题意，舍去；当()3f xx=时，满足题意.则()20242021f=.四解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15.（13 分）（1）证明：取 AF 中点 M，连接,DM GMG为 BF 中点，又2,ABDEGMDE四边形 DEGM 为平行四边形，DM EG，又 DM 平面,DAF EG 平面,DAFEG平面DAF.（2）1OBBF=，易知60,903ABFAFBAF=.DA 平面
17、 ABF，且直线 DF 与圆柱底面所成角为45，即45,3AFDAD=.学科网（北京）股份有限公司如图，以 FA FB FN分别为 x y z轴，建立空间直角坐标系 Fxyz，()()()()10,0,0,0,3,0,1,0,0,0,0,0,3,32FABGD，13,322E，()130,3,3,322FDFE=，设平面 DEF 的一个法向量为(),nx y z=，则00FD nFE n=，330133022yzxyz+=+=，令1y=，得()3,1,1n=，30,32EG=，设点G 到平面 DEF 的距离为d，33152105EG ndn+=.16.（15 分）（1）()21311cossi
18、ncossincos64224f xxxxxx=+=+311sin2cos2sin 24426xxx=+=+，学科网（北京）股份有限公司又,22,122T=，则()1sin 226f xx=+.若0,2x，则()71 12,6664 2xf x+.（2）()()115sin 2,sin 42626f xxg xx=+=+，()5112 42,;26232122kxkkxkk+Z()53112 42,26212262kxkkxkk+Z.()f x在()11,32122kkk+Z 上单调递增，在()11,12262kkk+Z 上单调递减.（3）()112sin 2sin 21,0,26263fAA
19、AAA=+=+=，可得21ex，故()f x 在210,e单调递减，学科网（北京）股份有限公司21,e+单调递增.即()f x 在21ex=处取得极小值221eeaf =，无极大值.（2）由题可知，对211ln,2e xxx xxa+恒成立.设()()22ln2 lnln22,eexxxx xx xxxg xgx+=，令()()()12 lnln22,2ln4,h xx xxxh xxh xx=+=在 1,2+单调递减，故()12ln2202h xh=单调递增.当()1,x+时，()()0,0h xgx，()g x 单调递减.故()()211eg xg=.则211ea，即2ea.因此a 的最大
20、值为2e.18.（17 分）（1）设(),P x y，则22(1)142xyx+=，化简可得223412xy+=，即22143xy+=.（2）设()()1122,M x yN xy.若四边形 MNPQ 为菱形则 MQ NP 即2Pyy=且20Pxx+=；MQNP=，则20 x），且1242xx=；MQMN=，由题可知()()22222111114.113 1242xxMQx MBxyx=+=+=+，同理可得，222xNB=+，故1242xxMN+=+，因此121442xxx+=.联立可得1247127xx=，代入C 中运算可得123 157397yy=，则4 3 151239,7777MN，学
21、科网（北京）股份有限公司1239,77P.而3 15393 153977,4121151177MBNBMBNBkkkk=+，故 M N B三点不共线.因此不存在 P 点与直线 2l 使得四边形 MNPQ 为菱形.（3）设 PAKPBR面积分别为12S S，内切圆半径分别为()()()()1200334434,r r P xyK xyR xyxxA B恰为椭圆C 的两焦点，故24PBPARBRAKBKAa+=+=+=.则 PAKPBR的周长均为()1030318.2SAByyyy=，同理204Syy=.则43121222884yySSrr=.设直线 PA 的方程为()0011xyxy=+，与椭圆
22、联立整理可得()()2222000003146190 xyyxy yy+=.由于22003412xy+=，带入整理可得，()()2220000004033 526190.52yxyxyyy yx+=，于是040352yyx=.同理可得，030352yyx=+.340000002220000033339254254592524343yyx yx yx yxxyx y=+.（当且仅当003523xy=时取等，相应地有22005027,)1734xy=，因此12rr最大值为35.19.（17 分）（1）由题可知，()()22114151nnnnaaaa+=+，则()()22111154nnnnaaa
23、a+=，即学科网（北京）股份有限公司1111515,042nnbb baa+=+=，则数列 nb是以 52为首项，54为公比的等比数列.（2）15 5522 44nnnb=，11111414225545416214452552 4nnnnnnnnncbb=114125 4(12518516125nnn=，当且仅当1n=时取等)当1n=时，1105099c=；当2n 时，11244155254425504185518915nnnccc+=.（3）22221112525251100141616112222259116nnnnnnnABaanbbnnnaa+=+=+=1n=时，111732128AB+=不是整数；2n=时，221025464AB+=不是整数 3n 时，2232nn必定为整数，故只需要考虑()22251001100 22516163299 32nnnnn=是否为整数即可.又因为2100 2(169)169 32nnn+(1111113122251691699225169 16nnnnnnnnnnnnnnCCCCC+=+学科网（北京）股份有限公司212991616nnnnC+，故只需要()()21282225 1699925 169216nnnnnnn+=+为整数即可，则8n.综上所述，8n.
