1、学科网（北京）股份有限公司保密启用前山东中学联盟 2021 级高三 12 月全省大联考数学命题学校：菏泽一中审题学校：临沂一中注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置。2.选择题的作答：选出每小题答案后，用 2B 铅管把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求.）1.设集合14Axx=，()2ln23Bx yxx=，则 AB=（）A.()
2、1,4 B.()3,4 C.()1,3 D.()1,2 2.复数2i2iz=+（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点所在象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若点 A，B，C 不共线，则“BA与 BC的夹角为钝角”是“BABCAC+的右焦点到其一条渐近线的距离等于2，抛物线()220ypx p=的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点 M 到直线 1:4380lxy+=和 2:3lx=的距离之和的最小值为（）A.115 B.145 C.165 D.215 8.已知函数()2xf xe=，()1g xx=+，对任意1xR，存在()21,x +，使()(
3、)12f xg x=成立，则21xx的最小值为（）A.1 ln22 B.1 C.11 ln222+D.2ln2+二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分）9.已知()1210,0abab+=，则下列结论正确的是（）A.ab 的最小值为 8 B.ab+的最小值为32 2+C.21ab+的最大值为 2 D.2214ab+的最小值为 12 10.已知函数()()sin0,0,2f xAxA=+=，则4ff=_.14.已知圆C 上的点()2,0A关于直线360 xy+=的对称点仍然在
4、这个圆上，且圆C 的圆心在 x 轴上，则圆C 的标准方程是_.15.米斗是我国古代称量粮食的量器，是官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具，其外形近似一个正四棱台.米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化的味，如今也成为了一种颇具意趣的藏品.已知一个斗型工艺品上下底面边长分别为 4 和 2，侧棱长为2 5，则其外接球的体积为_.学科网（北京）股份有限公司16.已知数列 na满足132a=，()2*11nnnaaanN+=+，数列1na的前n项和为nS，设 xR，x 表示不大于 x 的最大整数.则2023S=_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过
5、程或演算步骤.17.（本小题满分 10 分）已知()()23sincoscos0f xxxx=的最小正周期为.（1）求23f的值；（2）在ABC中内角，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若3ac=，2b=，()12f B=，求 c 的值.18.（本小题满分 12 分）已知数列 na是等差数列，其前 n 和为nS，2310aa+=，10110S=，数列 nb的前 n 项和为nT 满足321nnTb=+.（1）求数列 na，nb的通项公式；（2）把数列 na和数列 nb中的相同项按从小到大的顺序组成新数列 nc，nM 是数列 nc的前 n项和，求nM.19.（本小题满分 12 分）设函数
6、()e1xf xax=（1）当1a=时，求曲线()f x 在1x=处的切线方程.（2）讨论函数()f x 在区间0,1 上零点的个数.20.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 PABCD中，侧面 PAD 底面 ABCD，侧棱2PAPD=，底面 ABCD 为直角梯形，其中 BCAD，ABAD，222ADABBC=，12PFFD=.（1）证明：PB平面 ACF；学科网（北京）股份有限公司（2）在线段 PB 上是否存在一点 H，使得CH 与平面 ACF 所成角的余弦值为306？若存在，求出线段 PH的长度；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分 12 分）已知圆22:2 2100C xyx+=
7、，点 P 是圆 C 上的动点，点()2,0F是圆 C 内一点，线段 PF 的垂直平分线交CP 于点 Q，当点 P 在圆 C 上运动时点 Q 的轨迹为 E.（1）求 E 的方程；（2）设 M，N 是曲线 E 上的两点，直线MN 与曲线()2220 xybx+=相切.证明：当3MN=时，M，N，F 三点共线。22.（本小题满分 12 分）已知函数()2 lna xfxxx=+，Ra.（1）当12a=时，求函数()f x 的极值；（2）若()f x 有两个极值点1x，2x，证明：()()()12124f xf xxx+学科网（北京）股份有限公司山东中学联盟 2021 级高三 12 月全省大联考数学答
8、案及评分标准一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。1-5：BCB 6-8：DDC 二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.9.ABD 10.BCD 11.AC 12.ABD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.12 14.()22616xy+=15.40 103 16.1 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.17.（10 分）解：（1）()23sincoscosf xxxx=3111sin2cos2sin 222262xxx=由函数()f x 的最小正周期为.即 22=，得1=，()1sin 262f xx=，21
9、3f=（2）由()12f B=得，sin 216B=，角 B 为三角形 ABC 的内角，3B=.3ac=，2b=，1cos2B=，由余弦定理222cos2acbBac+=，得()()22232122 3ccc c+=，即227c=，147c=18.（12 分）解：（1）设等差数列 na的公差为d，则2312310aaad+=+=，1011045110Sad=+=解得2d=，12a=，()()112212naandnn=+=+=.因为321nnTb=+学科网（北京）股份有限公司所以当2n 时11321nnTb=+可得，12nnbb=当1n=时，11b=.数列 nb是 1 为首项，2 为公比的等比
10、数列。所以()12nnb=即2nan=，()12nnb=（2）由（1）知道数列 na和数列 nb的相同项即为数列 nb的所有大于等于 3 的奇数项，即是：22，42，62，82，102，122，即224nnnc=，所以()14 1 4441 43nnnT+=.19.（12 分）解：（1）因为()1xf xex=，所以()1xfxe=，则()11fe=，()12fe=所以，切线方程为()()()211yeex=即()11yex=（2）由（1）知，()exfxa=.当1a 时，()f x 在区间0,1 上单调递增且()00f=，所以()f x 在区间0,1 上有一个零点.当ea 时，()f x 在
11、区间0,1 上单调递减且()00f=，所以()f x 在区间0,1 上有一个零点.当1ea时，()f x 在区间0,lna 上单调递减，在(ln,1a上单调递增，而()1e1fa=.当e10a，即1e 1a 时，()f x 在区间0,1 上有两个零点.当e10a，即e 1ea 时，()f x 在0,1 上有一个零点，当1e 1a对 Q 的轨迹是以 C、F 为焦点的椭圆.设椭圆方程为()222210 xyabab+=则3a=，2c=，1b=所以椭圆方程为2213xy+=；（2）由（1）得，曲线为()2210 xyx+=，由题意可知直线 MN 的斜率存在且不为 0，由对称性可设直线():,0MN
12、ykxm km=+相切可得211mk=+，所以221mk=+，学科网（北京）股份有限公司联立2213ykxmxy=+=可得()2221 36330kxkmxm+=，所以122613kmxxk+=+，2122331 3mx xk=+，所以()22222221212222633241414131 31 31 3kmmkMNkxxx xkkkkk=+=+=+=+，化简得()22310k=，所以1k=，所以12km=或12km=，所以直线:2MN yx=或2yx=+，所以直线 MN 过点()2,0F，所以 M，N，F 三点共线.22.（12 分）解：（1）当12a=时，函数()()()22lnln10
13、 xxxf xxxfxxx+=，易知()2ln1g xxx=+在定义域上单调递增，且()10g=，所以当()0,1x时，()()00g xfx，即此时()f x 单调递增，故()f x 在1x=时取得极小值，()11f=；（2）由()()222 ln2 ln2a xxa xaf xxfxxx+=+=，令()0fx=，即22 ln20 xaxa+=，由题意可知1x，2x 是方程22 ln20 xaxa+=的两个根，则2112222 ln202 ln20 xa xaxa xa+=+=，欲证()()()12124f xf xxx+由于10 x，20 x，只需证()()12124f xf xxx+，学
14、科网（北京）股份有限公司即证，221212121212121212122 ln2 ln22224a xa xxaxaxxxxxxxxaxxxxx x+=+即证1 2ax x，令()()()22222 ln20 xah xxa xa xh xx=+=，若0a，()()0h xh x定义域上单调递增，不存在两个零点，舍去；则0a，可知在()0,xa时，()()0h xh x单调递增，要符合题意则需()()33ln0e,haaaaa=，x +时，()0h x 此时不妨令120 xax，构造函数()()()0aH xh xhxax=()()222223222220aaxaxaaxHxaxxxx=+=，即()H x 在定义域内单调递增，即()()()0aH xHah xh x=，所以()()121ah xh xh x=，因为120 xax，且在(),xa+时，()h x 单调递增，故2121axx xax，得证.
