1、第7讲 二次函数第7讲 二次函数知识梳理第7讲 知识梳理f(x)ax2bxc(a0)f(x)a(xm)2n(a0)f(x)a(xx1)(xx2)(a0)第7讲 知识梳理递减递增递增递减|x1x2|第7讲 知识梳理f(q)f(p)f(p)f(q)f(q)f(p)6一元二次不等式的解集与二次方程ax2bxc0的根的关系(1)若a0，方程ax2bxc0有两个不等的实根x1，x2(x10的解集为_；不等式ax2bxc0，方程ax2bxc0有两个相等的实根x0，则不等式ax2bxc0，方程ax2bxc0无实根，则不等式ax2bxc0的解集为_；不等式ax2bxc0的解集为_第7讲 知识梳理x|xx2 x
2、|x1xx2 R要点探究 探究点1 求二次函数的解析式第7讲 要点探究思路 已知函数类型，利用待定系数法求解例1 已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值为8，试确定此二次函数的解析式第7讲 要点探究第7讲 要点探究点评 二次函数的解析式有三种形式，分别为一般式，顶点式及两根式，一般情况下，若给出抛物线过某三个点，则选用一般式；若给出对称轴或顶点坐标，则选用顶点式；当给出抛物线与x轴的两交点坐标，一般选用两根式学会根据题目的条件正确选择函数的解析式，从而简化运算，如：第7讲 要点探究(1)已知函数f(x)2x2bxc，当3x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0，则b
3、_，c_.答案 2 12解析由题意可知，3,2是函数f(x)的两个零点，f(x)2x2bxc2(x3)(x2)2x22x12，b2，c12.第7讲 要点探究(2)二次函数f(x)，对任意的x都有f(x)f(1)2恒成立，且f(0)1，则f(x)_.答案 3x26x1 解析由题意可知，f(x)在x1处有最小值2，因此设f(x)a(x1)22，又f(0)a21，得a3，f(x)3(x1)223x26x1.第7讲 要点探究(3)已知f(x)是二次函数，且满足f(x1)2f(x1)x22x17，则f(x)_.答案 x24x28 探究点2 区间上的二次函数的最值例2 试求二次函数f(x)x22ax3在区
4、间1,2上的最小值第7讲 要点探究思路二次函数图像的对称轴为xa，要求函数在区间1,2上的最小值就需要看对称轴与1,2的位置关系，为此需结合二次函数的图像对a进行分类讨论第7讲 要点探究解答 f(x)x22ax3(xa)23a2.当a1时，函数在区间1,2上为增函数，故此时最小值为f(1)2a4；当1a2，即2a1时，函数的最小值为f(a)a23；当a2，即a2时，函数在区间1,2上为减函数，此时最小值为f(2)4a7.综上可知，当a1时，最小值为2a4.第7讲 要点探究点评 求二次函数的值域或最值，常用方法是配方法二次函数在给定闭区间上的最值在顶点或区间端点处取得；如果解析式中含参数，需要对
5、参数进行分类讨论，根据对称轴与给定区间的位置关系，结合二次函数的图像利用二次函数的单调性处理反之，如果知道二次函数的最值，也可以求参数的取值范围，如下面的变式题第7讲 要点探究已知函数f(x)x22ax1a在0 x1上有最大值2，求a的值思路 f(x)配方后，得对称轴xa是变动的，要区分对称轴xa在区间0,1内和外，确定f(x)的最大值，从而建立方程解出a.探究点3 二次函数的综合应用第7讲 要点探究思路 利用分类讨论思路，将函数转化为分段函数求解例3 已知函数f(x)ax2|x|2a1(a为实常数)(1)若a1，作函数f(x)的图像；(2)设f(x)在区间1,2上的最小值为g(a)，求g(a
6、)的表达式第7讲 要点探究第7讲 要点探究第7讲 要点探究设函数f(x)x2|2xa|(xR，a为实数)(1)若f(x)为偶函数，求实数a的值；(2)设a2，求函数f(x)的最小值思路 (1)利用函数奇偶性的定义得到a满足的关系式；(2)利用分段函数的最值的求解方法解决第7讲 要点探究规律总结第7讲 规律总结1二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或顶点处取得，对于“轴变区间定”和“轴定区间变”两种情形，要借助二次函数的图像特征(开口方向、对称轴与该区间的位置关系)，抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合函数的单调性进行分类讨论和求解2对于一元二次方程实根的分布问题，需要结合二次函数的图像，从三个方面考虑：(1)判别式；(2)区间端点函数值的正负；(3)对称轴与区间端点的关系，这就要求注意数形结合在解题中的应用第7讲 规律总结
