1、第六章数列第一讲数列的概念与简单表示法练好题考点自测1.给出下面四个结论:数列n+1n的第k项为1+1k;数列的项数是无限的;数列的通项公式的表达式是唯一的;数列1,3,5,7可以表示为1,3,5,7.其中说法正确的有()A.B.C.D.2.2021十堰模拟图6-1-1是谢尔宾斯基(Sierpinski)三角形,在所给的四个三角形图案中,阴影小三角形的个数构成数列an的前4项,则an的通项公式可以是()A.an=3n-1B.an=2n-1C.an=3nD.an=2n-13.已知数列an的前n项和Sn=n2-1,则a1+a3+a5+a7+a9=()A.40B.44C.45D.494.已知数列an
2、中,a1=3,a2=6,an+2=an+1-an,则a2 021等于()A.6B.-6C.3D.-35.2020山东泰安4月模拟在数列an中,a1=100,an+1=an+3n(nN*),则通项公式an=.6.2016浙江,13,6分理设数列an的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,nN*,则a1=,S5=.7.2021安徽省四校联考已知数列an的首项a1=m,其前n项和为Sn,且满足Sn+Sn+1=2n2+3n,若数列an是递增数列,则实数m的取值范围是.拓展变式1.2018全国卷,14,5分理记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.2.(1)2020 四川德
3、阳二诊已知数列an满足21a1+22a2+23a3+2nan=(n-1)2n+1+2(nN*),则数列an的通项公式an=.(2)已知数列an中,a1=56,an+1=13an+(12)n+1,则an=.3.(1)数列an的通项an=nn2+90,则数列an中的最大项是()A.310B.19C.119D.1060(2)2020 海口4月检测设数列an满足:a1=2,an+1=1+an1-an(nN*).则该数列前2 019项的乘积a1a2a3a4a2 019=.答 案第一讲数列的概念与简单表示法1.B根据数列的表示方法可知,求数列的第k项就是将k代入通项公式,经验证知正确;数列的项数可能是有限
4、的,也可能是无限的,并且数列的通项公式的表达式不是唯一的,故不正确;集合中的元素具有无序性,而数列中每一个数的位置都是确定的,故不正确.所以只有正确,选B.2.A题图中的阴影小三角形的个数构成数列an的前4项,分别为a1=1,a2=3,a3=33=32,a4=323=33,因此an的通项公式可以是an=3n-1.故选A.3.B因为Sn=n2-1,所以当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-1-(n-1)2+1=2n-1,又a1=S1=0,所以an=0,n=1,2n-1,n2,所以a1+a3+a5+a7+a9=0+5+9+13+17=44.故选B.4.B依次写出数列的各项:3,6,3,-3,-6,
5、-3,3,6,3,-3,.所以数列an以6为周期循环.又2 021=6336+5,故a2 021=a5=-6.故选B.5.123n+1972,nN*由an+1=an+3n(nN*)得,an+1-an=3n(nN*),分别令n=1,2,3,4,n-1(n2),得到(n-1)个等式:a2-a1=3,a3-a2=32,a4-a3=33,an-an-1=3n-1.将这(n-1)个等式累加可得an=a1+3+32+3n-1=100+3(1-3n-1)1-3=123n+1972(n2).显然a1=100适合上式,故通项公式an=123n+1972,nN*.6.1121由a1+a2=4,a2=2a1+1,解
6、得a1=1,a2=3.由an+1=Sn+1-Sn=2Sn+1得Sn+1=3Sn+1,所以Sn+1+12=3(Sn+12),所以Sn+12是以32为首项,3为公比的等比数列,所以Sn+12=323n-1,即Sn=3n-12,所以S5=121.7.(14,54)解法一由Sn+Sn+1=2n2+3n可得,Sn-1+Sn=2(n-1)2+3(n-1)(n2),两式相减得,an+an+1=4n+1(n2),an-1+an=4n-3(n3),an+1-an-1=4(n3),数列a2,a4,a6,是以4为公差的等差数列,数列a3,a5,a7,是以4为公差的等差数列.将n=1代入Sn+Sn+1=2n2+3n可
7、得a2=5-2m,将n=2代入an+an+1=4n+1(n2)可得a3=4+2m,a4=a2+4=9-2m,要使得任意nN*,anan+1恒成立,只需要a1a2a3a4即可.m5-2m4+2m9-2m,解得14m54,实数m的取值范围是(14,54).解法二当n=1 时,2a1+a2=5,a1=m,a2=5-2m.当n2时,由Sn+Sn+1=2n2+3n,得Sn-1+Sn=2(n-1)2+3(n-1) .-得,an+an+1=4n+1(n2),an-1+an=4n-3(n3).-得,an+1-an-1=4(n3),数列an的偶数项成等差数列,奇数项从第三项起是等差数列,且公差都是4.易知a3=
8、4+2m,a2k=a2+4(k-1)=5-2m+4k-4=4k-2m+1,a2k+1=a3+4(k-1)=4+2m+4(k-1)=4k+2m.若对任意nN*,anan+1恒成立,则当n=1 时,由a1a2,解得m53;当n=2k+1时,由a2k+1a2k+2,即4k+2m4k-2m+5,解得m54;当n=2k时,由a2ka2k+1 ,即4k-2m+114.实数m的取值范围是(14,54).1.-63解法一因为Sn=2an+1,所以当n=1时,a1=S1=2a1+1,解得a1=-1;当n=2时,a1+a2=S2=2a2+1,解得a2=-2;当n=3时,a1+a2+a3=S3=2a3+1,解得a3
9、=-4;当n=4时,a1+a2+a3+a4=S4=2a4+1,解得a4=-8;当n=5时,a1+a2+a3+a4+a5=S5=2a5+1,解得a5=-16;当n=6时,a1+a2+a3+a4+a5+a6=S6=2a6+1,解得a6=-32.所以S6=-1-2-4-8-16-32=-63.解法二因为Sn=2an+1,所以当n=1时,a1=S1=2a1+1,解得a1=-1;当n2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1),所以an=2an-1,所以数列an是以-1为首项,2为公比的等比数列,所以an=-2n-1,所以S6=-1(1-26)1-2=-63.2.(1)n(nN*)在21a
10、1+22a2+23a3+2nan=(n-1)2n+1+2(nN*)中,令n为n-1,得 21a1+22a2+23a3+2n-1an-1=(n-2)2n+2(n2).两式相减得2nan=n2n,即an=n(n2).当n=1时,a1=1,适合an=n.故an=n,nN*.(2)32n-23n解法一将an+1=13an+(12)n+1两边同时乘以2n+1,得2n+1an+1=23(2nan)+1.令bn=2nan,则bn+1=23bn+1,将上式变形,得bn+1-3=23(bn-3).所以数列bn-3是首项为b1-3=256-3=-43,公比为23的等比数列.所以bn-3=-43(23)n-1,即b
11、n=3-2(23)n.于是an=bn2n=32n-23n.解法二将an+1=13an+(12)n+1两边同时乘以3n+1,得3n+1an+1=3nan+(32)n+1.令bn=3nan,则bn+1=bn+(32)n+1,所以bn-bn-1=(32)n,bn-1-bn-2=(32)n-1,b2-b1=(32)2.将以上各式累加,得bn-b1=(32)2+(32)n-1+(32)n(n2).又b1=3a1=356=52=1+32,所以bn=1+32+(32)2+(32)n-1+(32)n=11-(32)n+11-32=2(32)n+1-2(n2),又b1=52满足上式,所以bn=2(32)n+1-
12、2.故an=bn3n=32n-23n.3.(1)C令f(x)=x+90x(x0),运用基本不等式得f(x)610,当且仅当x=310时等号成立.因为an=1n+90n,所以1n+90n1610,由于nN*,不难发现当n=9或n=10时,an=119最大.(2)3解法一由a1=2得a2=-3,a3=-12,a4=13,a5=2,显然该数列中的数从a5开始循环,周期是4.a1a2a3a4=1,a2 020=a4=13.故a1a2a3a4a2 019=(a1a2a3a4)5051a2020=3.解法二因为an+1=1+an1-an,所以an+2=1+an+11-an+1=1+1+an1-an1-1+an1-an=-1an.于是an+4=-1an+2=an,即an是周期为4的周期数列.由a1=2得a2=-3,a3=-12,a4=13,a1a2a3a4=1.故a1a2a3a4a2 019=(a1a2a3a4)5051a2020=1a4=3.
