1、第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法 课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页学习目标：1.了解数学归纳法的原理(难点、易混点)2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题(重点、难点)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页自 主 预 习探 新 知1数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行归纳奠基证明当n取_时命题成立归纳递推假设nkkn0，kN*时命题成立，证明当_时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立这种证明方法叫做数学归纳法第一个值 n0(n0N*)nk1课时分层作业
2、当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?提示不一定如证明n边形的内角和为(n2)180，第一个值n03.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2数学归纳法的框图表示课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页基础自测1思考辨析(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法()(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.()(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可()答案(1)(2)(3)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2下面四个判断中，正确的是()A式子1kk2kn(n
3、N*)中，当n1时，式子的值为1B式子1kk2kn1(nN*)中，当n1时，式子的值为1kC式子1121312n1(nN*)中，当n1时，式子的值为11213D设f(n)1n11n213n1(nN*)，则f(k1)f(k)13k213k313k4课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页C A中，n1时，式子1k；B中，n1时，式子1；C中，n1时，式子11213；D中，f(k1)f(k)13k213k313k4 1k1.故正确的是C.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时，先验证n_成立.【导
4、学号：31062162】答案 2课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4已知Sn 113 135 15712n12n1，则S1_，S2_，S3_，S4_，猜想Sn_.解析 分别将1,2,3,4代入得S113，S225，S337，S449，观察猜想得Snn2n1.答案 13 25 37 49 n2n1课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页合 作 探 究攻 重 难用数学归纳法证明等式(1)用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，“从k到k1”左端增乘的代数式为_.【导学号：31062163】(2)用数学归纳法证明：1213
5、2235n22n12n1 nn122n1(nN*)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页解析(1)令f(n)(n1)(n2)(nn)，则f(k)(k1)(k2)(kk)，f(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)，所以fk1fk 2k12k2k12(2k1)答案 2(2k1)课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)证明：当n1时，12131223成立假设当nk(nN*)时等式成立，即有1213 2235k22k12k1 kk122k1，则当nk1时，1213 2235 k22k12k1 k122k12k3 kk122k1k122k12
6、k3k1k222k3，即当nk1时等式也成立由可得对于任意的nN*等式都成立课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点：1弄清 n 取第一个值 n0 时等式两端项的情况；2弄清从 nk 到 nk1 等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；3证明 nk1 时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝 nk1 证明目标的表达式变形.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练1求证：112 13 14 12n1 12n 1n1 1n2 12n(nN*)证明 当 n1 时，左边11212，右边12，所以等
7、式成立课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页假设 nk(kN*)时，112131412k1 12k 1k1 1k2 12k成立那么当 nk1 时，112131412k1 12k12k1112k1 1k1 1k212k12k112k1课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页 1k2 1k3 12k12k11k112k11k111k121k1k12k1，所以 nk1 时，等式也成立综上所述，对于任何 nN*，等式都成立.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页归纳猜想证明 已知数列114，147，1710，13n23n1，计算S1，S2
8、，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明.【导学号：31062164】解 S1 114 14；S214 147 27；S327 1710 310；课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页S4 310 11013 413.可以看出，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n1.于是可以猜想Snn3n1.下面我们用数学归纳法证明这个猜想课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(1)当n1时，左边S114，右边n3n1 1311 14，猜想成立(2)假设当nk(kN*)时猜想成立，即114 147 1710
9、 13k23k1 k3k1，当nk1时，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页114 147 1710 13k23k1 13k123k11k3k1 13k13k4 3k24k13k13k4 3k1k13k13k4k13k11，所以，当nk1时猜想也成立根据(1)和(2)，可知猜想对任何nN*都成立课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法(1)“归纳猜想证明”的一般环节课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)“归纳猜想证明”的主要题型已知数列的递推公式，求通项或前n项和由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成
10、立的参数值是否存在给出一些简单的命题(n1,2,3，)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页跟踪训练2数列an满足Sn2nan(Sn为数列an的前n项和)，先计算数列的前4项，再猜想an，并证明.【导学号：31062165】解 由a12a1，得a11；由a1a22 2a2，得a232；由a1a2a32 3a3，得a374；课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页由a1a2a3a42 4a4，得a4158 .猜想an2n12n1 .下面证明猜想正确：(1)当n1时，由上面的计算可知猜想成立课时分层作业当堂达标固
11、双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)假设当nk时猜想成立，则有ak2k12k1，当nk1时，Skak12(k1)ak1，ak1122k1Sk k112(2k2k12k1 )2k112k11，所以，当nk1时，等式也成立由(1)和(2)可知，an2n12n1对任意正整数n都成立.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页用数学归纳法证明不等式探究问题1你能指出下列三组数的大小关系吗？(1)n，nn1，nn1；(2)1n2，1nn1，1nn1；(3)12k112k，12k1.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页提示：(1)nn1n nn1；(2)1
12、nn1 1n21nn1；(3)12k112k12k12k22k 12k1，12k112k2k k12k1 k kN*，k1，1k2k k1；课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)1k21kk11k 1k1；(3)1k21k2 2k 12k11k12 .课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页又112 13 12k 12k1 12k2 12k2k 12 k2k 12k12(k1)，即当nk1时，命题成立由(1)和(2)可知，命题对所有的nN*都成立课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页母题探究：1.(变条件)用数学归纳法证明：
13、1 12 13 12n1 1)证明(1)当 n2 时，左边11213，右边2，左边右边，不等式成立课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页(2)假设当nk时，不等式成立，即1121312k1k，则当nk1时，有1121312k1 12k12k112k11k 12k12k112k11k12k2k k1，所以，当nk1时不等式成立由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均成立课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2(变条件)用数学归纳法证明：1 122 132 1n221n(n2)证明(1)当n2时，1 1225421232，命题成立(2)假设
14、nk时命题成立，即1 122 1321k221k.当nk1时，1 122 1321k21k12课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页21k1k1221k1kk121k1k 1k12 1k1.命题成立由(1)和(2)知原不等式在n2时均成立课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页规律方法 用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知fkgk，求证fk1gk1时应注意灵活运用证明不等式的一般方法比较法、分析法、综合法.具体证明过程中要注意以下两点：1先凑假设，作等价变换；2瞄准当nk1时的递推目标，有目
15、的地放缩、分析直到凑出结论.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页当 堂 达 标固 双 基1用数学归纳法证明1aa2an11an21a(a1，nN*)，在验证n1成立时，左边计算所得的项是()【导学号：31062166】A1B1aC1aa2D1aa2a3C 当n1时，左边1aa111aa2，故C正确课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页2用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从“nk”到“nk1”，左边需增添的代数式是()A(2k1)(2k2)B(2k1)(2k1)C(2k2)(2k3)D(2k2)(2k4)课时分层作业当堂达标固双基
16、自主预习探新知合作探究攻重难返首页C 当nk时，左边是共有2k1个连续自然数相加，即123(2k1)，所以当nk1时，左边共有2k3个连续自然数相加，即123(2k1)(2k2)(2k3)所以左边需增添的代数式是(2k2)(2k3)故选C.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页3已知f(n)112131n(nN*)，计算得f(2)32，f(4)2，f(8)52，f(16)3，f(32)72，由此推测，当n2时，有_答案 f(2n)n22课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页4用数学归纳法证明：122 1321n12121n2.假设nk时，不等式成立，
17、则当nk1时，应推证的目标不等式是_解析 从不等式结构看，左边nk1时，最后一项为1k22，前面的分母的底数是连续的整数，右边nk1时，式子为121k12即，不等式为 122 1321k2212 1k3.答案 122 1321k2212 1k3.课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页5用数学归纳法证明：当n2，nN*时，114 1191 116 1 1n2 n12n.【导学号：31062167】证明(1)当n2时，左边11434，右边212234，n2时等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时等式成立，即114 119 1 116 11k2 k12k，课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页那么当nk1时，114 119 1 116 11k211k12 k12k 11k12k1212kk1 k22k1k112k1.当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)知，对任意n2，nN*，等式都成立课时分层作业当堂达标固双基自主预习探新知合作探究攻重难返首页课时分层作业（十六）点击上面图标进入 谢谢观看
