1、4.3 对数一、数的概念1对数的定义：一般地，如果axN(a0，且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数思考在对数的定义中为什么不能取a0及a1呢？2常用对数与自然对数二、对数与指数的关系一般地，有对数与指数的关系：(1)若a0，且a1，则axNlogaNx.(2)对数恒等式：N；logaaxx(a0，且a1，N0)思考任何一个指数式都可以化为对数式吗？三、对数的性质1loga10(a0，且a1)2logaa1(a0，且a1)3零和负数没有对数四、对数的运算性质如果a0，且a1，M0，N0，那么(1)loga(MN)logaMlogaN.(2)
2、logalogaMlogaN.(3)logaMnnlogaM(nR)拓展：logaM(nR，m0)思考当M0，N0时，loga(MN)logaMlogaN，loga(MN)logaMlogaN是否成立？五、换底公式1logab(a0，且a1；c0，且c1；b0)2对数换底公式的重要推论(1)logaN(N0，且N1；a0，且a1)(2)logab(a0，且a1，b0)(3)logablogbclogcdlogad(a0，b0，c0，d0，且a1，b1，c1)思考换底公式中底数c是特定数还是任意数？考点一 指数对数的转化【例1】(2020全国高一课时练习)下列指数式与对数式互化不正确的一组是(
3、)A与B与C与D与【练1】(2020全国高一课时练习)把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【例2】(2020全国高一课时练习)求下列各式中x的值：(1)； (2)；(3)； (4).【练2】(2019全国高一月考)下列各式：；若，则；若，则.其中正确的个数有()A个B个C个D个考点三 对数式化简【例3】(2020四川达州高三其他(文)计算_【练3】(2020上海高一课时练习)计算下列各式：(1)_；(2)_；(3)_；(4)_；(5)_考点四 换底公式【例4】(2020上海高一课时练习)_.【练4】(2020林芝市第二高级中学高二期中(文)
4、计算( )A3B4C5D6考点五 指数对数运算的综合【例5】(2019浙江南湖嘉兴一中高一月考)若实数a，b满足，则( )ABCD1【练5】(2020全国高三课时练习(理)设，则( )ABCD课后练习1. （2021全国甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（ ）（ 1010 1.259） A.1.5B.1.2C.0.8D.0.62. （2021汕头模拟）若 (15)a=3 ，则 a-log1515
5、= （ ） A.-1B.1C.15D.33. （2021高三下四川月考）设 a=log74 ， b=log1723 ， c=223 ，则 a ， b ， c 的大小关系是（ ） A.abcB.bcaC.cabD.cba4. （2021浙江会考）log318-log32= （ ） A.1B.2C.3D.45. （2021北京月考）lg25+lg50+lg2lg500+(lg2)2= . 6. （2021宝山模拟）已知函数 f(x) 的周期为2，且当 0x1 时， f(x)=log4x ，那么 f(92)= _ 7. （2021高一下恩施月考）计算： (-13)0+12+1+2lg2+lg25=
6、8. 已知 logx16=2 ，则 x= . 9. （2021高一下南通开学考）计算： （1）eln2+(49)-12+5-32 ； （2）(lg2)2+lg5lg20+log23log34 . （2021高一下大理期中）已知集合 A 是满足下列条件的函数 f(x) 全体：在定义域内存在实数 x0 ，使得 f(x0+1)+f(x0)=f(1) 成立 （1）判断幂函数 f(x)=x-1 是否属于集合 A ？并说明理由； （2）设 g(x)=lg2x+ab ， x(-,1 ， ）当 b=1 时，若 g(x)A ，求 a 的取值范围；）若对任意的 a(0,2) ，都有 g(x)A ，求 b 的取值范
7、围（2021高二下河西期末）已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 的图象经过点 (2,2) ，且当 x(0,+) 时， f(x)=loga(x+2) （1）求a的值； （2）求函数 f(x) 的解析式 10. 求 log2125log38log1527 的值. 精讲答案思考答案(1)a0 ， 所以 22320=1 所以 c1 ，因为 y=log7x 在 (0，+) 上为增函数，且 147 ，所以 0=log71log74log77=1 ，即 0a=log74a ，又因为 b=log1723log1713=log73ab 故答案为：C 【分析】首先由对数的运算公式整理化简再结合对数函数的单调性即
8、可比较出a与b的大小，再由指数函数的性质即可比较出a、b、c的大小。4.【答案】 B 【考点】对数的运算性质 【解析】【解答】 log318-log32=log3182=log39=2 . 故答案为：B.【分析】根据题意由对数的运算性质计算出结果即可。5.【答案】 4 【考点】对数的运算性质 【解析】lg25+lg50+lg2lg500+(lg2)2 =2lg5+lg(510)+lg2lg(5102)+(lg2)2=3lg5+1+lg2lg5+2lg2+(lg2)2=3lg5+1+lg2(lg5+lg2)+2lg2=3lg5+1+3lg2 =3(lg5+lg2)+1=4 ，故答案为：4.【分析
9、】 利用对数的运算性质求解.6.【答案】 -12 【考点】函数的周期性，函数的值，对数的运算性质 【解析】解：因为函数 f(x) 是周期为2的周期函数， 所以 f(92)=f(12) ，又当 0-2 ），令 t=2x ，则 t(0,1 ， 2t2+3at+a2-a-2=0 ，即 (2t+a-2)(t+a+1)=0 ， t1=1-a2 ， t2=-a-1 ，从而，原问题等价于 01-a21 或 0-a-11 ， 0a2 或 -2a0 在 (-,0 上恒成立， a0 ， 0a0 ），令 t=2x ，则 t(0,1 ，则 2t2+3at+a2-(a+2)b=0 在 t(0,1 上有解，令 f(t)=
10、2t2+3at+a2-(a+2)b ， t对=-3a40 ，则 f(0)0,f(1)0, 即 a2-(a+2)ba2a+2,ba2+3a+2a+2, 令 u=a+2(2,4) ，则 bu+4u-4,bu+1, b1,b1 b=1 【考点】函数的定义域及其求法，函数解析式的求解及常用方法，指数式与对数式的互化 【解析】 (1)根据题意令f(x+1)+f(x)=f(1)，得到关于x的方程，解出判断即可； (2) （）当 b=1 时， g(x)=lg(2x+a) ，结合已知条件整理得到lg(2x+1+a)+lg(2x+a)=lg(2+a)再由对数的运算性质整理化简得到(22x+a)(2x+a)=2+
11、a 令 t=2x ，则 t(0,1 ， 求解出t的值即可得到01-a21或0-a-11求解出a的取值范围即可。 （）由（）知：对任意 a(0,2) ， g(x+1)+g(x)=g(1) 在 (-,0 上有解， 整理得到lg2x+1+ab+lg2x+ab=lg2+ab整理得到(22x+a)(2x+a)=(a+2)b ， 令 t=2x ，则 t(0,1 2t2+3at+a2-(a+2)b=0 ， 令 f(t)=2t2+3at+a2-(a+2)b ， t对=-3a4a2a+2,ba2+3a+2a+2,令u=a+2(2,4)根据二次函数的性质求出b的范围即可. 11.【答案】 （1）f(x) 过点 (
12、2,2) f(2)=loga4=2 ，解得： a=2（2）由（1）知，当 x(0,+) 时， f(x)=log2(x+2) 当 x0 f(-x)=log2(2-x) f(x) 为 R 上的奇函数 f(-x)=-f(x) f(x)=-f(-x)=-log2(2-x)=log212-x 当 x=0 时，由奇函数性质知： f(0)=0 综上所述： f(x)=log2(x+2),x00,x=0log212-x,x0 【考点】函数解析式的求解及常用方法，分段函数的解析式求法及其图象的作法，函数奇偶性的性质，对数的运算性质 【解析】 (1)由对数函数的图象把点的坐标代入计算出a的值即可。 (2)由(1) 的结论结合函数的奇、偶性，以及对数的运算性质整理得出函数的解析式。 12.【答案】 原式 =log25-2log323log5-133=(-2log25)(3log32)(-3log53) =18lg5lg2lg2lg3lg3lg5=18 【考点】对数的运算性质，换底公式的应用 【解析】利用对数的运算法则结合换底公式，从而化简求值。
