1、【教师版】 数学方法：反证法【专项测试】考生注意：1本试卷含三个大题，共21题答题时，考生务必按要求在规定的位置上作答；2解答题必须写在试卷题号对应的区域相应位置，并写出解题的主要步骤；一、填空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1、用反证法证明命题“如果那么”时，假设的内容是 2、用反证法证明某命题时，对某结论：“自然数a，b，c中无偶数”，正确的假设为 3、命题“ABC中，若AB，则ab”的结论的否定应该是 4、命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是_5、用反证法证明命题“若a2b2
2、0(a，bR)，则a，b全为0”，其反设正确的是 6、用反证法证明“x2(ab)xab0，则xa且xb”时应假设结论为_7、用反证法证明命题“若x210，则x1或x1”时，应假设 8、用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180相矛盾，AB90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设AB90，正确顺序的序号为 9、设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22；其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是 _(填序号)10、有下列四个命题：同一
3、平面内，与两条相交直线分别垂直的两条直线必相交；两个不相等的角不是直角；平行四边形的对角线互相平分；已知x，yR，且xy2，求证：x，y中至少有一个大于1.其中适合用反证法证明的是_11、用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180矛盾，故假设错误；所以一个三角形不能有两个直角；假设ABC中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_12、完成反证法证题的全过程题目：设a1，a2，a7是由数字1,2，7任意排成的一个数列，求证：乘积p(a11)(a22)(a77)为偶数；证明：假设p为奇数，则_均为奇数因7个奇数之和为奇数，故
4、有(a11)(a22)(a77)为_而(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)_.与矛盾，故p为偶数二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题5 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13、已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线14、设a，b，c均为正实数，Pabc，Qbca，Rcab，则“PQR0”是“P，Q，R同时大于0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件15、已知p3q32，证明：pq
5、2，用反证法证明时，可假设pq2；若a、bR，|a|b|b0，则.用反证法证明：假设不成立，则.若，则ab矛盾故假设不成立，结论成立B命题：已知二次方程ax2bxc0(a，b，cR，且a0)有实根，求证：b24ac0.用反证法证明：假设b24ac0，则ax2bxc0无实根，与已知方程有实根矛盾，0C命题：已知实数p满足不等式(2p1)(p2)0，证明：关于x的方程x22x5p20无实数根用反证法证明：假设方程x22x5p20有实数根，由已知实数p满足不等式(2p1)(p2)0，解得2p，而关于x的方程x22x5p20的根的判别式4(p24)，2p，p24，0，即关于x的方程x22x5p20无实
6、数根D命题：已知函数f(x)是(，)上的增函数，a，bR.“若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0”用反证法证明：假设ab0，则ab，ba.f(x)是(，)上的增函数，则f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)B，则ab”的结论的否定应该是 【答案】ab；【解析】 “大于”的否定是“不大于”，即“小于或等于”；4、命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是_【答案】任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形【解析】 “至少有一个”的否定是“没有一个”5、用反证法证明命题“若a2b20(a，bR)，则a，b全为0”，其反设正确的是 【答案】a，b
7、至少有一个不为06、用反证法证明“x2(ab)xab0，则xa且xb”时应假设结论为_【答案】xa或xb【解析】否定时一定要全面否定，“xa且xb”的否定是“xa或xb”7、用反证法证明命题“若x210，则x1或x1”时，应假设 【答案】x1且x1【解析】反证法的反设只否定结论，或的否定是且，所以是x1且x18、用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180相矛盾，AB90不成立；所以一个三角形中不能有两个直角；假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设AB90，正确顺序的序号为 【答案】【解析】根据反证法的步
8、骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论9、设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22；其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是 _(填序号)【答案】；【解析】若a，b，则ab1，但a1，b2，故不能推出对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1；10、有下列四个命题：同一平面内，与两条相交直线分别垂直的两条直线必相交；两个不相等的角不是直角；平行四边形的对角线互相平分；已知x，yR，且xy2，求证：x，y中至少有一个大于1.其中适合用反证法证明的是_【
9、答案】【解析】由反证法适用的题型知，适用于反证法，可直接证明11、用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：ABC9090C180，这与三角形内角和为180矛盾，故假设错误；所以一个三角形不能有两个直角；假设ABC中有两个直角，不妨设A90，B90.上述步骤的正确顺序为_【答案】；【解析】由反证法证明数学命题的步骤可知，上述步骤的顺序应为；12、完成反证法证题的全过程题目：设a1，a2，a7是由数字1,2，7任意排成的一个数列，求证：乘积p(a11)(a22)(a77)为偶数；证明：假设p为奇数，则_均为奇数因7个奇数之和为奇数，故有(a11)(a22)(a77)为_而(a11)(a
10、22)(a77)(a1a2a7)(127)_.与矛盾，故p为偶数【答案】a11，a22，a77奇数0 【解析】由假设p为奇数可知(a11)，(a22)，(a77)均为奇数，故(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0为奇数，这与0为偶数矛盾二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题5 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13、已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为()A一定是异面直线B一定是相交直线C不可能是平行直线 D不可能是相交直线【答案】C ；【解析】假设cb，而由ca，可得ab，这与a，b异面
11、矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.14、设a，b，c均为正实数，Pabc，Qbca，Rcab，则“PQR0”是“P，Q，R同时大于0”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【答案】C ；【解析】首先，若P，Q，R同时大于0，则必有PQR0成立其次，若PQR0，且P，Q，R不都大于0，则必有两个为负，不妨设P0，Q0，即abc0，bca0，所以b0矛盾；故P，Q，R都大于0；15、已知p3q32，证明：pq2，用反证法证明时，可假设pq2；若a、bR，|a|b|2，所以中的假设错误；对于，其假设正确，故选D；16、下列命题运用“反证法”证明正确的是()
12、A命题：若ab0，则.用反证法证明：假设不成立，则.若，则ab矛盾故假设不成立，结论成立B命题：已知二次方程ax2bxc0(a，b，cR，且a0)有实根，求证：b24ac0.用反证法证明：假设b24ac0，则ax2bxc0无实根，与已知方程有实根矛盾，0C命题：已知实数p满足不等式(2p1)(p2)0，证明：关于x的方程x22x5p20无实数根用反证法证明：假设方程x22x5p20有实数根，由已知实数p满足不等式(2p1)(p2)0，解得2p，而关于x的方程x22x5p20的根的判别式4(p24)，2p，p24，0，即关于x的方程x22x5p20无实数根D命题：已知函数f(x)是(，)上的增函
13、数，a，bR.“若f(a)f(b)f(a)f(b)，则ab0”用反证法证明：假设ab0，则ab，ba.f(x)是(，)上的增函数，则f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)”的否定应为“”B本题犯了“循环论证”的错误，实质上没有求出该题C在解题的过程中并没有用到假设的结论，故不是反证法三、解答题（本大题共有5题，满分14+14+14+16+18=76分，解答下列各题必须写出必要的步骤）17. （本题满分14分）若a，b，c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x.求证：a，b，c中至少有一个大于0.【提示】注意阅读理解“至少有一个”；【证明】假设a，b，c都不大于0，即a0，
14、b0，c0.ax22y，by22z，cz22x，x22yy22zz22x(x1)2(y1)2(z1)2(3)0.又(x1)2(y1)2(z1)20，30，(x1)2(y1)2(z1)2(3)0. 式与式矛盾，假设不成立，即a，b，c中至少有一个大于0.18、（本题满分14分）证明：对于直线l：ykx1，不存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x2y21的交点A、B关于直线yax(a为常数)对称【证明】假设存在实数k，使得A、B关于直线yax对称设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得(3k2)x22kx20.x1x2，x1x2.y1y2k(x1x2)2.由得ka3，与矛盾假设不成立，故不存在
15、实数k，使得A，B关于直线yax对称19、（本题满分14分）求证：两条相交直线有且只有一个交点【提示】注意高中数学几何问题的前提是“空间”；根据题意，写出已知、求证，再用反证法，即否定结论，把假设和已知条件结合起来去推出矛盾【证明】假设结论不正确，则有两种可能：a与b无交点，或不止有一个交点若直线a，b无交点，则ab或a，b是异面直线，与已知矛盾若直线a，b不止有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾综上所述，两相交直线a与b有且只有一个交点【说明】1、用反证法证明问题时要注意以下三点：必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论
16、的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的2、注意本题反设中不能漏掉“无交点”这种情况；20. （本题满分16分）（1）求证不论x，y取何非零实数，等式总不成立【提示】本题从正面证很难证明，用反证法证明【证明】假设存在实数x，y，使得等式成立，x(xy)y(xy)xy，即x2y2xy0，2y20，又y0，y20，又20，
17、2y20，与x2y2xy0相矛盾，故原命题成立（2）已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：， ， 不成等差数列【证明】假设， ， 成等差数列，则2，即ac24b.又a，b，c成等比数列，所以b2ac，即b，所以ac24，所以ac20，即()20，所以，从而abc，所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾原假设错误，故， ， 不成等差数列21. （本题满分18分）若实数，满足，则称比远离；（1）用反证法证明：当时，不比远离；（2）若，是两个不相等的正数，证明：对任意大于的正整数，比远离.【提示】（1）假设当时比远离，即，即，转化为，推出矛盾即可；（2）利用基本不等式得到，再判断的正负即可；【解析】（1）假设当时比远离，则，即，得，即，所以.又当时，所以，与上式矛盾，所以假设不成立，所以原命题成立.（2）因为，是两个不相等的正数，所以，所以.若，则由，为大于的正整数，可知，所以，所以，所以比远离；若，同理可得比远离.综上所述，对任意大于的正整数，比远离.
