1、2023年中考数学综合压轴题训练二次函数的三种形式一、综合题1如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴相交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，点P为抛物线上第一象限内一动点，当BCP面积最大时，求点P的坐标；（3）设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使以点B，C，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由2已知二次函数 y=x26x+5 （1）将y=x26x+5化成y=a（xh）2+k的形式； （2）求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标； （3）当y0时，求x的范围 3如图，抛
2、物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；（3）在直线l上是否存在点Q，使以M、O、Q为顶点的三角形与AOC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由4已知二次函数y=2x2+8x6 （1）用配方法求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴； （2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标 5已知抛物线yax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，3）（1）求抛物线的解析式和顶点坐标； （2）将该抛物线
3、向左平移 个单位长度后，可使平移后的抛物线的顶点落在直线yx上，并写出平移后抛物线的解析式： ； （3）观察图象，写出关于x的不等式ax2+bx+c+30的解集 6已知二次函数.（1）将化成的形式： ；（2）这个二次函数图象与x轴交点坐标为 ；（3）这个二次函数图象的最低点的坐标为 ；（4）当时，x的取值范围是 .7如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）点P在抛物线上，且以A、O、M、P为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；（3）连接AC探索：
4、在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由8如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物线的顶点为P，连接AC（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求点D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得 ，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由9在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C，其顶点记为M，自变量x=1和x=5对应的函数值相等若点M在直线l：y=12x+16上，点（3，4）在抛物线上（
5、1）求该抛物线的解析式；（2）设y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，在x轴上有一点A（ ，0），试比较锐角PCO与ACO的大小（不必证明），并写出相应的P点横坐标x的取值范围（3）直线l与抛物线另一交点记为B，Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），设Q点坐标为（t，n），过Q作QHx轴于点H，将以点Q，H，O，C为顶点的四边形的面积S表示为t的函数，标出自变量t的取值范围，并求出S可能取得的最大值10已知抛物线 : ( 为常数)的顶点为 .（1）求点 的坐标；(用含 的式子表示)（2）在同一平面直角坐标系中，存在函数图象 ，点 在图象 上，点 在抛物线 上，对于任意的实
6、数 ，都有点 ， 关于点 对称. 当 t=1 时，求图象 对应函数的解析式；当 时，都有 成立，结合图象，求 的取值范围.11抛物线y= x2+bx+c经过点A（4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线m交抛物线于P、Q两点，其中点P位于第二象限，点Q在y轴的右侧（1）求D点坐标；（2）若PBA= OBC，求点P的坐标；（3）设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由12如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），
7、与x轴交于点E、B（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标13已知：在平面直角坐标系中，抛物线 交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为x=2，点P（0，t）是y轴上的一个动点（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标（2）如图1，当0t4时，设PAD的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；S是
8、否有最小值？如果有，求出S的最小值和此时t的值（3）如图2，当点P运动到使PDA=90时，RtADP与RtAOC是否相似？若相似，求出点P的坐标；若不相似，说明理由14如图，已知抛物线y= x2+bx+c交x轴于点A（2，0）、B（一8，0），交y轴于点C，过点A、B、C三点的M与y轴的另一个交点为D（1）求此抛物线的表达式及圆心M的坐标；（2）设P为弧BC上任意一点（不与点B，C重合），连接AP交y轴于点N，请问：APAN是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；（3）延长线段BD交抛物线于点E，设点F是线段BE上的任意一点（不含端点），连接AF动点Q从点A出发，沿线段AF以每秒1
9、个单位的速度运动到点F，再沿线段FB以每秒 个单位的速度运动到点B后停止，问当点F的坐标是多少时，点Q在整个运动过裎中所用时间最少？15如图，已知抛物线l1经过原点与A点，其顶点是P（2，3），平行于y轴的直线m与x轴交于点B（b，0），与抛物线l1交于点M（1）点A的坐标是 ；抛物线l1的解析式是 ；（2）当BM=3时，求b的值；（3）把抛物线l1绕点（0，1）旋转180，得到抛物线l2直接写出当两条抛物线对应的函数值y都随着x的增大而减小时，x的取值范围 ；（4）直线m与抛物线l2交于点N，设线段MN的长为n，求n与b的关系式，并求出线段MN的最小值与此时b的值16已知在平面直角坐标系xO
10、y中（如图），已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示AMB的余切值；（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标17如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F（0，3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请
11、说明理由（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求PON的面积18如图所示，顶点为（ ， ）的抛物线y=ax2+bx+c过点M（2，0）（1）求抛物线的解析式；（2）点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y= （k0）图象上一点，若以点A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，求k的值答案解析部分1【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a（x+1）（x3），把C（0，3）代入得a1（3）=3
12、，解得a=1，所以抛物线解析式为y=（x+1）（x3），即y=x2+2x+3（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+m，把B（3，0），C（0，3）代入得 ，解得 ，所以直线BC的解析式为y=x+3，作PMy轴交BC于M，如图1，设P（x，x2+2x+3），（0x3），则M（x，x+3），PM=x2+2x+3（x+3）=x2+3x，SPCB= 3PM= x2+ = （x ）2+ ，当x= 时，BCP的面积最大，此时P点坐标为（ ， ）（3）解：如图2，抛物线的对称轴为直线x=1，当四边形BCDQ为平行四边形，设D（1，a），则Q（4，a3），把Q（4，a3）代入y=x2+2x+3得a3=16+
13、8+3，解得a=2，Q（4，5）；当四边形BCQD为平行四边形时，设D（1，a），则Q（2，3+a），把Q（2，3+a）代入y=x2+2x+3得3+a=44+3，解得a=8，Q（2，5）；当四边形BQCD为平行四边形时，设D（1，a），则Q（2，3a），把Q（2，3a）代入y=x2+2x+3得3a=4+4+3，解得a=0，Q（2，3），综上所述，满足条件的Q点坐标为（4，5）或（2，5）或（2，3）2【答案】（1）解：y=x26x+5 =x26x+94=（x3）24（2）解：y=（x3）24， 该二次函数图象的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，4）（3）解：x26x+5=0， x1=1，x2
14、=5，当x1或x5时，y03【答案】（1）解：把x=0代入得：y=3，C（0，3）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x3），将点C的坐标代入得：3=3a，解得：a=1抛物线的解析式为y=x2+2x+3（2）解：如图所示：点A与点B关于直线l对称，点P在直线l上，PA=PBPA+PC=PC+PB两点之间线段最短，当点P在线段BC上时，PC+AP有最小值，PA+PC的最小值=BCOC=3，OB=3，BC=3 PA+PC的最小值=3 （3）解：抛物线的对称轴为x= =1设点Q的坐标为（1，m），则QM=|m|以M、O、Q为顶点的三角形与AOC相似，OQM=CAO或OQM=ACO当CQM=CAO时，
15、 = ，即 = ，解得m= 点Q的坐标为（1， ）或（1， ）当OQM=ACO时， = ，即 = ，解得：m=3，点Q的坐标为（1，3）或（1，3）综上所述，点Q的坐标为（1， ）或（1， ）或（1，3）或（1，3）4【答案】（1）解：二次函数y=2x2+8x6=2（x24x+3）=2（x24x+44+3）=2（x2）2+2， 二次函数图象的顶点坐标为（2，2），对称轴为x=2（2）解：令y=0，即2x2+8x6=0，解得x=3或1， 二次函数的图象与x轴的交点坐标为：（3，0），（1，0）5【答案】（1）解：抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0）， 可设抛物线解析式为ya（x1）（x3
16、），把C（0，3）代入得：3a3，解得：a1，故抛物线解析式为y（x1）（x3），即yx2+4x3，yx2+4x3（x2）2+1，顶点坐标（2，1）；（2）3；y（x+1）2+1（3）0x46【答案】（1）y（x2）21（2）（1，0）或（3，0）（3）（2，1）（4）1x37【答案】（1）解：根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x1）（x5），把点A（0，4）代入上式得：a= ，y= （x1）（x5）= x2 x+4= （x3）2 ，抛物线的对称轴是：x=3（2）解：P点坐标为：（6，4），由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又点P的坐标中x5，MP2，A
17、P2；以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在RtAOM中，AM= = =5，抛物线对称轴过点M，在抛物线x5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，即P（6，4）（3）解：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使NAC面积最大设N点的横坐标为t，此时点N（t， t2 t+4）（0t5），过点N作NGy轴交AC于G；作AMNG于M，由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y= x+4；把x
18、=t代入得：y= t+4，则G（t， t+4），此时：NG= x+4（ t2 t+4）= t2+4t，AM+CF=CO，SACN=SANG+SCGN= AMNG+ NGCF= NGOC= （ t2+4t）5=2t2+10t=2（t ）2+ ，当t= 时，CAN面积的最大值为 ，由t= ，得：y= t2 t+4=3，N（ ，3）8【答案】（1）解：设此抛物线的解析式为： ，由题意得： a+b+c=09a+3b+c=0c=3 （2）解：点A（1，0），点C（0，3），OA=1，OC=3，DCAC，OCx轴，QOCCOA， ，即 ，OQ=9，又点Q在x轴的负半轴上，Q（9，0），设直线DC的解析式为
19、：y=mx+n，则 9m+n=0n=3 ，解之得： m=13n=3 ，直线DC的解析式为： ，点D是抛物线与直线DC的交点，y=13x+3y=x22x+3 ，解之得： x1=73y1=209 ， x2=0y2=3 （不合题意，应舍去），点D ，（3）解：如图，点M为直线x=1上一点，连接AM，PC，PA，设点M（1，y），直线x=1与x轴交于点E，AE=2，抛物线y=x22x+3的顶点为P，对称轴为x=1，P（1，4），PE=4，则PM=|4y|，S四边形AEPC=S四边形OEPC+SAOC，= = =5，又S四边形AEPC=SAEP+SACP，SAEP ，+SACP=54=1，SMAP=2S
20、ACP， ，|4y|=2，y1=2，y2=6，故抛物线的对称轴上存在点M使SMAP=2SACP，点M（1，2）或（1，6）9【答案】（1）解：自变量x=1和x=5对应的函数值相等，抛物线的对称轴为x=2点M在直线l：y=12x+16上，yM=8设抛物线的解析式为y=a（x2）28将（3，4）代入得：a8=4，解得：a=4抛物线的解析式为y=4（x2）28，整理得：y=4x216x+8（2）解：由题意得：C（0，8），M（2，8），如图，当PCO=ACO时，过P作PHy轴于H，设CP的延长线交x轴于D，则ACD是等腰三角形，OD=OA= ，P点的横坐标是x，P点的纵坐标为4x216x+8，PHO
21、D，CHPCOD， ，x= ，过C作CEx轴交抛物线与E，则CE=4，设抛物线与x轴交于F，B，则B（2+ ，0），y=ax2+bx+c对称轴右侧x轴上方的图象上任一点为P，当x= 时，PCO=ACO，当2+ x 时，PCOACO，当 x4时，PCOACO（3）解：解方程组 ，解得： ，D（1，28），Q为线段BM上一动点（点Q不与M重合），Q（t，12t+16）（1t2），当1t0时，S= （t）（12t+168）+8（t）=6t212t=6（t1）26，1t0，当t=1时，S最大=18；当0t 时，S= t8+ t（12t+16）=6t2+12t=6（t1）2+6，0t ，当t=1时，S最
22、大=6；当 t2时，S= t8+ （12t16）=6t24t=6（t ）2 ， t2，此时S为最大值10【答案】（1） 顶点 的坐标为 ；（2）解：当 时，得 的解析式为： ， 点 在 上，点 与点 关于点 对称，则点 ， 到点 的距离相等，此三点横坐标相同，有 .整理，得 ，由于 为任意实数，令 为自变量 ， 为 .即可得 的解析式为： ； 关于抛物线 的性质：点 在 上，由 ： ，知抛物线 开口向上，对称轴为 ，顶点 ，且图象恒过点 .当 时，图象 的 随着 的增大而增大.当 时， 取最大值 ；当 时， 取最小值 ；最大值比最小值大1.关于图象 的性质：点 与点 关于点 对称，有 ， ，整
23、理，得 所以，图象 的解析式为： .配方，得 图象 为一抛物线，开口向下，对称轴为 ，顶点 ，且图象恒过点 .当 时，图象 的 随着 的增大而增大.当 时， 取最大值 ；当 时， 取最小值 ，即过 ；最大值比最小值大1.情况1：当 ， 两点重合，即两个函数恰好都经过 ， 时，把 代入 得 ，解得， 或 .分别对应图3，图4两种情形，由图可知，当 ，或 时， 与 重合，即有 ，不合题意，舍去；情况2：当点 在点 下方，即 时，大致图象如图1，当 时，大致图象如图2，都有点 在点 的上方，即 成立，符合题意；情况3：当点 在点 上方，即 时，大致图象如图5，图6，当 时，存在 在 的下方，即存在
24、，不符合题意，舍去；综上所述，所求 的取值范围为： 或 .11【答案】（1）解：y= x2+bx+c经过点A（4，0）、B（2，0）两点，y= （x+4）（x2）= （x2+2x8）= （x+1）23D（1，3）（2）解：在x轴上点E（2，0），连接CE，并延长CE交PB于点F，过点F作FGx轴，垂足为G点E与点B关于y轴对称，OBC=OECOBC=GEFPBA= OBC，PBA=EFBEF=EB=4OE=2，OC= ，EC= GFOC，FGECOE = = ，即 = = ，解得：FG= ，EG= ，F（ ， ）设BP的解析式为y=kx+b，将点F和点B的坐标代入得： ，解得：k= ，b=1，
25、直线BP的解析式为y= x+1将y= x+1与y= x2+ x 联立，解得：x= ，x=2（舍去），y= P（ ， ）；（3）解：设P（x1，y1）、Q（x2，y2）且过点H（1，0）的直线PQ的解析式为y=kx+b，k+b=0，b=k，y=kx+k由 得： x2+（ k） k=0x1+x2=2+3k，y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k2，解得：x1=1，x2=3k1，点M是线段PQ的中点，由中点坐标公式的点M（ k1， k2）假设存在这样的N点如图2，直线DNPQ，设直线DN的解析式为y=kx+k3由 ，解得：x1=1，x2=3k1，N（3k1，3k23）四边形DMPN是菱形，DN=D
26、M，（3k）2+（3k2）2=（ ）2+ k2+3）2，整理得：3k4k24=0，k2+10，3k24=0，解得k= ，k0，k= ，P（3 1，6），M（ 1，2），N（2 1，1）PM=DN=2 ，PMDN，四边形DMPN是平行四边形，DM=DN，四边形DMPN为菱形，以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为（2 1，1）12【答案】（1）解：设抛物线解析式为y=a +9，抛物线与y轴交于点A（0，5）， 4a+9=5，a=-1，y=- +9=-x2+4x+5，（2）解：当y=0时，-x2+4x+5=0，x1=-1，x2=5，E（-1，0），B（5，0），设直线AB的解析
27、式为y=mx+n，A（0，5），B（5，0），m=-1，n=5， 直线AB的解析式为y=-x+5；设P（x，-x2+4x+5），D（x，-x+5），PD=-x2+4x+5+x-5=-x2+5x，AC=4，S四边形APCD= ACPD=2（-x2+5x）=-2x2+10x，当x= 时，S四边形APCD最大= ，（3）解：如图，过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，MNAE，MN=AE，HMNAOE，HM=OE=1， M点的横坐标为x=3或x=1，当x=1时，M点纵坐标为8，当x=3时，M点纵坐标为8， M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），A（0，5），E（-1，0），直线AE解析式为y=5x
28、+5，MNAE，MN的解析式为y=5x+b，点N在抛物线对称轴x=2上，N（2，10+b），AE2=OA2+0E2=26MN=AEMN2=AE2，MN2=（2-1）2+8-（10+b）2=1+（b+2）2M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，点N在抛物线对称轴上，M1N=M2N，1+（b+2）2=26，b=3，或b=-7，10+b=13或10+b=3当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3），13【答案】（1）解：对称轴为x= =2，解得b=1，所以，抛物线的解析式为y= x2x+3，y=
29、x2x+3= （x+2）2+4，顶点D的坐标为（2，4）.（2）解：令y=0，则 x2x+3=0，整理得，x2+4x12=0，解得x1=6，x2=2，点A（6，0），B（2，0），如图1，过点D作DEy轴于E，0t4，PAD的面积为S=S梯形AOEDSAOPSPDE，= （2+6）4 6t 2（4t），=2t+12，k=20，S随t的增大而减小，t=4时，S有最小值，最小值为24+12=4.（3）解：如图2，过点D作DFx轴于F，A（6，0），D（2，4），AF=2（6）=4，AF=DF，ADF是等腰直角三角形，ADF=45，由二次函数对称性，BDF=ADF=45，PDA=90时点P为BD与y
30、轴的交点，OF=OB=2，PO为BDF的中位线，OP= DF=2，点P的坐标为（0，2），由勾股定理得，DP= =2 ，AD= AF=4 ， = =2，令x=0，则y=3，点C的坐标为（0，3），OC=3， = =2， = ，又PDA=90，COA=90，RtADPRtAOC.14【答案】（1）解：抛物线解析式为y= （x+8）（x2），即y= x2 x+4；当x=0时，y= x2 x+4=4，则C（0，4）BC=4 ，AC=2 ，AB=10，BC2+AC2=AB2，ABC为直角三角形，且ACB=90，AB为直径，圆心M点的坐标为（3，0）（2）解：以APAN为定值理由如下：如图1，AB为直径
31、，APB=90，APB=AON，NAO=BAP，APBAONAN：AB=AO：AP，ANAP=ABAO=20，所以APAN为定值，定值是20（3）解：ABCD，OD=OC=4，则D（0，4），易得直线BD的解析式为y= x4，过F点作FGx轴于G，如图2，FGOD，BFGBDO， = ，即 = = = ，点Q沿线段FB以每秒 个单位的速度运动到点B所用时间等于点Q以每秒1个单位的速度运动到G点的时间，当AF+FG的值最小时，点Q在整个运动过裎中所用时间最少，作EBI=ABE，BI交y轴于I，作FHBI于H，则FH=FG，AF+FG=AF+FH，当点A、F、H共线时，AF+FH的值最小，此时AH
32、BI，如图2，作DKBI，垂足为K，BE平分ABI，DI=DO=4，设DI=m，DIK=BIO，IDKIBO， = = = ，BI=2m，在RtOBI中，82+（4+m）2=（2m）2，解得m1=4（舍去），m2= ，I（0， ），设直线BI的解析式为y=kx+n，把B（8，0），I（0， ）代入得 ，解得 ，直线BI的解析式为y= x ，AHBI，直线AH的解析式可设为y= x+q，把A（2，0）代入得 +q=0，解得q= ，直线AH的解析式为y= x ，解方程组 ，解得 ，F（2，3），即当点F的坐标是（2，3）时，点Q在整个运动过裎中所用时间最少15【答案】（1）（4，0）；y= （x+
33、2）2+3（2）解：在y= （x+2）2+3中，令y=3，则 （x+2）2+3=3，解得：x=2 2或2 2当在y= （x+2）2+3中，令y=3时，则 （x+2）2+3=3，解得x=2，即b=2则b=2或2 2或2 2；（3）2x2（4）解：设M的坐标是（b， ），则N的坐标是（b， （b2）21），则MN= （b2）21） = b2+2则当b=0时，MN最小，是216【答案】（1）解：抛物线的对称轴为x=1，x= =1，即 =1，解得b=2y=x2+2x+c将A（2，2）代入得：4+4+c=2，解得：c=2抛物线的解析式为y=x2+2x+2配方得：y=（x1）2+3抛物线的顶点坐标为（1，
34、3）（2）解：如图所示：过点A作ACBM，垂足为C，则AC=1，C（1，2）M（1，m），C（1，2），MC=m2cotAMB= =m2（3）解：抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x轴上，抛物线向下平移了3个单位平移后抛物线的解析式为y=x2+2x1，PQ=3OP=OQ，点O在PQ的垂直平分线上又QPy轴，点Q与点P关于x轴对称点Q的纵坐标为 将y= 代入y=x2+2x1得：x2+2x1= ，解得：x= 或x= 点Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）17【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：ya(x1)2+4， 把(0，3)代入得：3a(01)2+4，a1，抛物线的表达式为：y
35、(x1)2+4x2+2x+3；（2）解：存在，如图1， 作E关于对称轴的对称点E，连接EF交对称轴于G，此时EG+FG的值最小E(0，3)，E(2，3)，设EF的解析式为y=kx+b，把F(0，3)，E(2，3)分别代入，得 3=b3=2k+b ，解得 k=3b=3 ，所以EF的解析式为：y3x3，当x1时，y3130，G(1，0)；（3）解：如图2 设AB的解析式为y=kx+b，把A(1，4)，B(3，0)分别代入，得 4=k+b0=3k+b ，解得 k=2b=6 ，所以AB的解析式为：y2x+6，过N作NHx轴于H，交AB于Q，设N(m，m2+2m+3)，则Q(m，2m+6)，(1m3)，
36、NQ(m2+2m+3)(2m+6)m2+4m3，ADNH，DABNQM，ADBQMN90，QMNADB， ， ，MN (m2)2 0，当m2时，MN有最大值；过N作NGy轴于G，GPNABD，NGPADB90，NGPADB， ，PG NG m，OPOGPGm2+2m+3 mm2 m+3，SPON OPGN (m2 m+3)m，当m2时，SPON 2(4+3+3)218【答案】（1）解：依题意可设抛物线方程为顶点式y=a（x ）2 （a0），将点M（2，0）代入可得：a（2 ）2 =0，解得a=1故抛物线的解析式为：y=（x ）2 （2）解：由（1）知，抛物线的解析式为：y=（x ）2 则对称轴
37、为x= ，点A与点M（2，0）关于直线x= 对称，A（-1，0）令x=0，则y=2，B（0，2）在直角OAB中，OA=1，OB=2，则AB= 设直线y=x+1与y轴交于点G，易求G（0，1）直角AOG是等腰直角三角形，AGO=45点C是直线y=x+1上一点（处于x轴下方），而k0，所以反比例函数y= （k0）图象位于点一、三象限故点D只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下2种情况：此菱形以AB为边且AC也为边，如图1所示，过点D作DNy轴于点N，在直角BDN中，DBN=AGO=45，DN=BN= = ，D（ ， 2），点D在反比例函数y= （k0）图象上，k= （ 2）= + ；此菱形以AB为对角线，如图2，作AB的垂直平分线CD交直线y=x+1于点C，交反比例函数y= （k0）的图象于点D再分别过点D、B作DEx轴于点F，BEy轴，DE与BE相较于点E在直角BDE中，同可证AGO=DBO=BDE=45，BE=DE可设点D的坐标为（x，x2）BE2+DE2=BD2，BD= BE= x四边形ABCD是菱形，AD=BD= x在直角ADF中，AD2=AF2+DF2，即（ x）=（x+1）2+（x2）2，解得x= ，点D的坐标是（ ， ）点D在反比例函数y= （k0）图象上，k= = ，综上所述，k的值是 + 或
