1、核心知识聚焦热点题型探究专题限时集训专题六 函数与导数突破点 18 导数的应用(酌情自选)导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法_，如果_，那么函数 yf(x)在此区间内_；如果_，那么函数 yf(x)在此区间内_在某个区间(a，b)内f(x)0单调递增f(x)0单调递减(2)常数函数的判定方法如果在_，_，那么_，在此区间内_(3)已知函数的单调性求参数的取值范围设可导函数 f(x)在某个区间内_，则可以得出函数 f(x)在这个区间内_，从而转化为_问题来解决(注意等号成立的检验).某个区间(a，b)内恒有f(x)0函数yf(x)是常数函数不具有单调性单调递增(或递减)f(x)0(或f
2、(x)0)恒成立函数极值的判别注意点(1)可导函数_，但导数为 0 的点_，如函数 f(x)x3，当 x0 时就不是极值点，但 f(0)0.(2)极值点_一个_，而是一个_，当 xx0 时，函数取得极值在x0 处有_是函数 f(x)在 x0 处取得极值的_(3)函数 f(x)在一闭区间上的_是此函数在此区间上的_与其_，函数 f(x)在一闭区间上的_是此函数在此区间上的_与_.极值点的导数为0不一定是极值点不是点必要不充分条件最大值极大值端点函数值中的最大值最小值极小值其端点函数值中的最小值f(x0)0数 x0函数最值的判别方法(1)求函数 f(x)在闭区间a，b上最值的关键是_，再与_，其中
3、_的一个是_，_的一个是_(2)求函数 f(x)在非闭区间上的_，只需利用_判断函数 f(x)的_，即可得结论求出f(x)0的根的函数值f(a)，f(b)作比较最大最大值最小最小值最值导数法单调性回访 1 导数与函数的单调性1(2016全国乙卷)若函数 f(x)x13sin 2xasin x 在(，)单调递增，则 a 的取值范围是()A1,1B.1，13C.13，13D.1，13C 取a1，则f(x)x13sin 2xsin x，f(x)123cos 2xcos x，但f(0)1231230，不具备在(，)单调递增的条件，故排除 A，B，D.故选 C.2(2015全国卷)设函数 f(x)是奇函
4、数 f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当 x0 时，xf(x)f(x)0 成立的 x 的取值范围是()A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(，1)(1,0)D(0,1)(1，)A 设 yg(x)fxx(x0)，则 g(x)xfxfxx2，当 x0 时，xf(x)f(x)0，g(x)0，g(x)0 时，f(x)0,0 x1，当 x0，g(x)0，x0 成立的 x 的取值范围是(，1)(0,1)，故选 A.回访 2 函数的极值与最值3(2014全国卷)已知函数 f(x)ax33x21，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x00，则 a 的取值范围是()A(2，)B(，2)C(1，)D(
5、，1)B f(x)3ax26x，当 a3 时，f(x)9x26x3x(3x2)，则当 x(，0)时，f(x)0；x0，23 时，f(x)0，注意 f(0)1，f23 590，则 f(x)的大致图象如图(1)所示(1)不符合题意，排除 A、C.当 a43时，f(x)4x26x2x(2x3)，则当 x，32 时，f(x)0，x(0，)时，f(x)0，注意 f(0)1，f3254，则 f(x)的大致图象如图(2)所示(2)不符合题意，排除 D.4(2016北京高考)设函数 f(x)x33x，xa，2x，xa.(1)若 a0，则 f(x)的最大值为_；(2)若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围
6、是_2 a1 由当 xa 时，f(x)3x230，得 x1.如图是函数 yx33x 与 y2x 在没有限制条件时的图象(1)若 a0，则 f(x)maxf(1)2.(2)当 a1 时，f(x)有最大值；当 aa 时无最大值，且2a(x33x)max，所以 a0，函数 g(x)单调递增；3 分当 a0，x0，12a 时，g(x)0，函数 g(x)单调递增，x12a，时，函数 g(x)单调递减.5 分所以当 a0 时，g(x)的单调增区间为(0，)；当 a0 时，g(x)的单调增区间为0，12a，单调减区间为12a，.6 分(2)由(1)知，f(1)0.当 a0 时，f(x)单调递增，所以当 x(
7、0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增所以 f(x)在 x1 处取得极小值，不合题意.7 分当 0a1，由(1)知 f(x)在0，12a 内单调递增，可得当 x(0,1)时，f(x)0.所以 f(x)在(0,1)内单调递减，在1，12a 内单调递增，所以 f(x)在 x1 处取得极小值，不合题意.9 分当 a12时，12a1，f(x)在(0,1)内单调递增，在(1，)内单调递减，所以当 x(0，)时，f(x)0，f(x)单调递减，不合题意.11 分当 a12时，0 12a0，f(x)单调递增，当 x(1，)时，f(x)12.13 分利用导数研究函数极值、最值的方法1若求极值，则先求方程 f(
8、x)0 的根，再检查 f(x)在方程根的左右函数值的符号2若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 f(x)0 根的大小或存在情况来求解3求函数 f(x)在闭区间a，b上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值 f(a)，f(b)与 f(x)的各极值进行比较得到函数的最值变式训练 2(2016全国丙卷)设函数 f(x)cos 2x(1)(cos x1)，其中 0，记|f(x)|的最大值为 A.(1)求 f(x)；(2)求 A；(3)证明|f(x)|2A.解(1)f(x)2sin 2x(1)sin x2 分(2)当 1 时，|f(x)|cos 2x(1)(cos x1)|2(1)32
9、f(0)故 A32.当 01 时，将 f(x)变形为f(x)2cos2x(1)cos x1.令 g(t)2at2(1)t1，则 A 是|g(t)|在1,1上的最大值，g(1)，g(1)32，且当 t14 时，g(t)取得极小值，极小值为 g14 12812618.令114 15.6 分当 015时，g(t)在(1,1)内无极值点，|g(1)|，|g(1)|23，|g(1)|g(1)|，所以 A23.当150，知 g(1)g(1)g14.又g14|g(1)|11780，所以 Ag142618.综上，A 23，015，2618，151，32，1.8 分(3)证明：由(1)得|f(x)|2sin 2
10、x(1)sin x|2|1|.当 015时，|f(x)|1242(23)2A.当15g(x)(f(x)0(f(x)g(x)0)，进而构造辅助函数 h(x)f(x)g(x)(2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数(3)主元法：对于(或可化为)f(x1，x2)A 的不等式，可选 x1(或 x2)为主元，构造函数 f(x，x2)(或 f(x1，x)(4)放缩法：若所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数变式训练 3(名师押题)已知函数 f(x)ln xmxm，mR.(1)求函数
11、 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)0 在 x(0，)上恒成立，求实数 m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，任意的 0ab，求证：fbfaba1a1a.解(1)f(x)1xm1mxx(x(0，)当 m0 时，f(x)0 恒成立，则函数 f(x)在(0，)上单调递增；当 m0 时，由 f(x)1xm1mxx0，则 x0，1m，则 f(x)在0，1m 上单调递增，在1m，上单调递减.4 分(2)由(1)得：当 m0 时显然不成立；当 m0 时，f(x)maxf1m ln1m1mmln m1，只需 mln m10，即令 g(x)xln x1，则 g(x)11x，函数 g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以 g(x)ming(1)0.则若 f(x)0 在 x(0，)上恒成立，m1.8 分(3)证明：fbfabaln bln aabbaln bln aba1lnbaba11a1，由 0ab 得ba1，由(2)得：lnbaba1，则lnbaba11a11a11aa 1a2a1a1a1a，则原不等式fbf aba1a1a成立.12 分 专题限时集训（十八）点击图标进入
