1、加练课4 复合函数的图象与性质学习目标1.会求复合函数的定义域.2.掌握复合函数奇偶性的判定方法.3.掌握复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.4.掌握复合函数零点的求法及零点个数的判定.自主检测必备知识 一、概念辨析，判断正误1.若f(x)=x,g(x)=x+2 ，则fg(x)=x+2. ( )2.函数y=log2(x3-2) 可分解为y=log2t 和t=x3-2. ( )3.函数y=fg(x) 的定义域与函数y=g(x) 的值域相同.( )4.若函数y=f(x) 和y=g(x) 的单调性相反，则函数y=fg(x) 在公共定义域内是减函数.( )二、夯实基础，自我检测5.（2020陕西
2、西安月考）已知f(x)=log13(x2-2x) ，则f(x) 的单调递增区间是( )A.(2,+) B.(-,0)C.(1,+) D.（-2，1）答案：B6.已知函数f(x2-1) 的定义域为4 ，9 ，则函数f(log2x) 的定义域为 .答案： 215,2807.设a 为大于1的常数，函数f(x)=logax,x0,ax+1,x0, 若关于x 的方程f(x)2-bf(x)=0 恰有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是 .答案：(0,a互动探究关键能力探究点一 复合函数的定义域精讲精练例 （2020河北石家庄二中期中）已知函数f(x)=log12(2-3x) ，则f(2x-1) 的定义
3、域是( )A.23,56 ）B.-13,13 ）C.13,23 D.23,+ ）答案： A解析：由题意可得log12(2-3x)0,2-3x0,即02-3x1 ，解得13x23 ，即f(x) 的定义域为x|13x23 .令132x-123 ，解得23x56 ，所以f(2x-1) 的定义域为23,56) .故选A.解题感悟复合函数的定义域，就是复合函数y=f(g(x) 中x 的取值范围.若f(x) 的定义域为a ，b ，则y=f(g(x) 的定义域应由a g(x) b 解出;若y=f(g(x) 的定义域为a ，b ，则f(x) 的定义域为g(x) 在a ，b 上的值域.提醒：定义域永远都是y=f
4、(g(x) 中x 的取值范围.迁移应用1.若y=f(x) 的定义域为(0，2 ，则函数g(x)=f(x2)x-1 的定义域是( )A.(1,2 B.0 ，1)C.（0，1）D.(0,1)(1,2答案： A解析：由题意得0x22,x-10, 解得1x2 .故函数g(x)=f(x2)x-1 的定义域为（1,2 ，故选A.探究点二 复合函数的单调性精讲精练例 已知函数f(x)=log2(x2-ax+1) .（1）若f(x) 的定义域、值域都是R ，求a 的值;（2）当a=2 时，讨论f(x) 在区间0,b 上的值域.答案：（1） 函数f(x)=log2(x2-ax+1) 的定义域为R ，x2-ax+
5、10 恒成立， 方程x2-ax+1=0 的判别式=a2-40 ，解得-2a2 ，故a的取值范围为(-2,2). 函数的值域为R ， 函数y=x2-ax+1 能取遍所有的正实数， 方程x2-ax+1=0 的判别式=a2-40 ，解得a2 或a-2 ，故a的取值范围为(-,-22,+) .若f(x) 的定义域、值域都是R ，则a 的取值范围应是这两个取值范围的交集，显然，它们的交集为 ，故满足条件的a不存在.（2）当a=2 时，f(x)=log2(x2-2x+1) .若0b1 ，则f(x) 在定义域内单调递减，故当x=0 时，函数f(x) 取得最大值f(0)=log21=0 ，当x=b 时，函数取
6、得最小值f(b)=log2(b2-2b+1) ，故函数f(x) 的值域为log2(b2-2b+1),0 .若b=1 ，则函数f(x)=log2(x2-2x+1) 在x=b=1 时没有意义，故b1 .若1b2 ，则f(x) 在区间0,b 上没有单调性，故当x=0 时，函数取得最大值f(0)=log21=0 ，当x=1 时，函数值趋于最小且不存在，故函数f(x) 的值域为(-,0 .若b2 ，则f(x) 在区间0,b 上没有单调性，当x=b 时，函数取得最大值f(b)=log2(b2-2b+1) ，当x=1 时，函数值趋于最小且不存在，故函数f(x) 的值域为(-,log2(b2-2b+1).解题
7、感悟求复合函数的单调性需要注意的点：（1）单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域;（2）f(x) ，g(x) 单调性相同，则f(g(x) 为增函数;f(x) ，g(x) 单调性相异，则f(g(x) 为减函数，简称“同增异减”.迁移应用已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x) ，其中0a1 .（1）求函数f(x) 的定义域;（2）判断函数f(x) 的单调性，并给予证明.答案：（1）由题意得x+10,1-x0, 解得-1x1 ，故函数f(x) 的定义域为(-1,1).（2）f(x) 是(-1,1)上的减函数.证明：f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)=
8、logax+11-x=loga(-1-2x-1) ，设u=-1-2x-1, 则y=logau,易知u=-1-2x-1=-(1+2x-1) 在区间(-1,1)上是增函数，又0a1,y=logau 为减函数，故f(x) 是(-1,1)上的减函数.探究点三 复合函数的奇偶性精讲精练例 已知函数f(x)=log6(x+3)-log6(3-x) .（1）判断f(x) 的奇偶性;（2）用定义法证明f(x) 是定义域内的增函数.答案：（1）由题意得x+30,3-x0, 解得-3x3 ，即函数的定义域为(-3,3)，关于原点对称.又f(-x)=log6(3-x)-log6(3+x)=-f(x) ，所以函数f(
9、x) 为奇函数.（2）证明：f(x)=log6(x+3)-log6(3-x)=log6x+33-x ，其定义域为(-3,3)，x1,x2(-3,3) ,且x1x2 ,则f(x1)-f(x2)=log6x1+33-x1-log6x2+33-x2=log6(x1+3)(3-x2)(x2+3)(3-x1)=log69-x1x2+3(x1-x2)9-x1x2-3(x1-x2) ，因为-3x1x23 ，所以x1-x20, 故9-x1x2+3(x1-x2)9-x1x2-3(x1-x2)1,则f(x1)-f(x2)=log69-x1x2+3(x1-x2)9-x1x2-3(x1-x2)0,即f(x1)f(x2
10、),则f(x) 是定义域内的增函数.解题感悟对于复合函数f(g(x) ，若g(x) 为偶函数，则f(g(x) 为偶函数;若g(x) 为奇函数，则f(g(x) 的奇偶性与f(x) 的奇偶性相同.其中f(g(x) 的定义域关于原点对称.迁移应用已知函数f(x)=loga(x+2),g(x)=loga(2-x)(a0,a1) .（1）当a=3 时，若f(x)0 ，求x 的取值范围;（2）设函数F(x)=f(x)+g(x) ，试判断F(x) 的奇偶性，并说明理由.答案：（1）当a=3 时，f(x)=log3(x+2) ，若f(x)0 ，则log3(x+2)0 ，所以x+21 ，解得x-1 ，故x的取值
11、范围是(-1,+) .（2）F(x) 是偶函数.理由：根据题意得，函数F(x)=f(x)+g(x)=loga(x+2)+loga(2-x) ，则x+20,2-x0, 解得-2x2 ，即函数的定义域为(-2,2)，关于原点对称.因为F(-x)=loga(2-x)+loga(2+x)=F(x) ，所以函数F(x) 为偶函数.探究点四 复合函数的零点精讲精练例 已知函数f(x)=3x-1,x0,-x2-2x+1,x0, 若关于x 的方程f(x)2-3f(x)+a=0(aR) 有8个不等的实数根，则a 的取值范围是( )A.(0,14) B.(13,3)C.（1，2）D.(2,94)答案：D解析：函数
12、f(x)=3x-1,x0,-x2-2x+1,x0 的图象如图所示，令t=f(x) ，则方程f(x)2-3f(x)+a=0(aR) 有8个不等的实数根等价于g(t)=t2-3t+a=0(aR) 在（1，2）上有2个不等的实数根，可得9-4a0,1320,g2=a-20, 解得2a94 ，所以a 的取值范围是(2,94) .解题感悟 复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程gf(x)=0 根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于f(x) 的方程，观察有几个f(x) 的值使得等式成立;第二层是结合着第一层f(x) 的值求出每一个f(x) 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为gf
13、(x)=0 的根的个数.迁移应用1.已知函数f(x)=ex,x0,lg(-x),x0, 若关于x 的方程f(x)2+f(x)+t=0 有三个不同的实根，则实数t 的取值范围为( )A.(-,-2B.1,+)C.-2,1D.(-,-21,+)答案：A解析：作出函数f(x) 的图象，如图所示，令m=f(x),y=m2+m+t, 易知y=m2+m+t 的图象的对称轴方程为m=-12 ，若原方程有3个不同的实根，则m=f(x) 在1,+) 内有且仅有1个根，由对称轴m=-12 可知，另外一个根在(-,-2 内，即方程m2+m+t=0 在(-,-2,1,+) 内各有一个根，4-2+t0，1+1+t0，
14、解得t-2 ，即实数t 的取值范围为(-,-2 .故选A.2.已知函数f(x)=x+1,x0,log2x,x0, 则函数y=ff(x)+1 的零点个数是 .答案： 4解析：由y=ff(x)+1=0 得ff(x)=-1 ，设t=f(x) ，则ff(x)=-1 等价于f(t)=-1 ，当t0 时，由f(t)=t+1=-1 解得t=-2 ;当t0 时，由f(t)=log2t=-1 解得t=12 ，所以t=-2 或t=12 .当x0 时，由f(x)=x+1=-2 解得x=-3 ，由f(x)=x+1=12 解得x=-12 ，故此时有两个零点;当x0 时，由f(x)=log2x=-2 解得x=14, 由f
15、(x)=log2x=12 解得x=2 ，故此时有两个零点.综上，函数y=ff(x)+1 的零点个数为4.评价检测素养提升1.已知函数y=f(x+1) 的定义域为-2,3 ，则函数y=f(2|x|-1) 的定义域为( )A.0,52 B.-1,4C.-52,52 D.-32,72答案：C2.下列函数中，定义域为R 的偶函数是( )A.y=2x B.y=x|x|C.y=|x2-1| D.y=log2|x|答案：C3.（2021福建福州高一期末）已知函数f(x)=a2x-12x+1,且f(1)=13 .（1）求实数a 及f(log25) 的值;（2）判断函数f(x) 的奇偶性并证明.答案：（1）根据
16、题意f(1)=2a-12+1=13 ，解得a=1 ，则f(x)=2x-12x+1, 所以f(log25)=5-15+1=23 .（2）函数f(x) 是奇函数.证明：函数f(x)=2x-12x+1 的定义域为R ，且f(-x)=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-2x-12x+1=-f(x),故f(x) 为奇函数.4.（2021吉林长春外国语学校高一月考）已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3) .（1）若f(1)=1 ，求函数f(x) 的单调递增区间;（2）若函数f(x) 的最小值是0，求实数a 的值;（3）若函数f(x) 的值域为R ，求实数a 的取值范围.答案：（1）由f(1)
17、=1 ，得log4(a+5)=1 ，即a=-1 .f(x)=log4(-x2+2x+3).由-x2+2x+30 ，解得-1x3 .f(x) 的定义域为(-1,3)，令t(x)=-x2+2x+3 ，该函数的图象是开口向下的抛物线，其对称轴方程为x=1 ，t(x) 在(-1,1)上是增函数，又y=log4t 在定义域内是增函数， 函数f(x) 的单调递增区间为(-1,1).（2） 函数f(x)=log4(ax2+2x+3) 有最小值0， 函数t(x)=ax2+2x+3 有最小值1.a0,3a-1a=1, 解得a=12 .（3） 函数f(x)=log4(ax2+2x+3) 的值域为R , 函数t(x)=ax2+2x+3 能够取到大于0的所有实数，则a=0 或a0,22-12a0, 故a0,13 .
