1、五十四简单的三角恒等变换(二)【基础全面练】(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1若函数f(x)(1tan x)cos x，0x，则f(x)的最大值是()A1 B2 C1 D2【加固训练】设函数f(x)2cos2xsin2xa(a为实常数)在区间上的最小值为4，那么a的值为()A4 B6 C4 D3【解析】选C.f(x)2cos2xsin2xa1cos 2xsin 2xa2sin a1，当x时，2x，所以f(x)min2a14，所以a4.2若tan 3，则()A3 B3 C D【解析】选A.因为tan 3，所以tan .所以3.3设函数f(x)sin cos ，则()Ayf(x
2、)在上单调递增，其图象关于直线x对称Byf(x)在上单调递增，其图象关于直线x对称Cyf(x)在上单调递减，其图象关于直线x对称Dyf(x)在上单调递减，其图象关于直线x对称【解析】选D.f(x)sin sin (2x)cos 2x，所以yf(x)在上单调递减，又 f cos ，是最小值，所以函数yf(x)的图象关于直线x对称4已知函数f(x)sin xa cos x的图象的一条对称轴是x，则函数g(x)a sin xcos x的最大值是()A B C D【解析】选B.由于函数f(x)的图象关于x对称，则f(0) f ，所以a，所以a，所以g(x)sin xcos xsin ，所以g(x)ma
3、x.二、填空题(每小题5分，共10分)5若2 021，则tan 2_【解析】tan 22 021.答案：2 0216北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的弦图由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则cos 2_【解析】由题意5cos 5sin 1，所以cos sin ，又(cos sin )2(cos sin )22，所以cos sin ，所以cos 2cos2sin2(cossin )(cos sin ).答案：三、解答题(每小题10分，共20分)7形如的符号叫二
4、阶行列式，现规定a11a22a21a12，如果f()，0，求的值【解析】因为，所以f()cos sin sin cos cos sin sin ，因为0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)讨论f(x)在区间上的单调性【解析】(1)f(x)4cos xsin 2sin xcos x2cos2x(sin2xcos 2x)2sin .因为f(x)的最小正周期为，且0，从而有，故1.(2)由(1)知，f(x)2sin ，若0x，则2x，当2x，即0x时，f(x)单调递增；当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减【综合突破练】(20分钟40分)一、选择题(每
5、小题5分，共10分)1已知不等式3sin cos cos2m0对于任意的x恒成立，则实数m的取值范围是()A，) B(，)C(， D，【解析】选A.f(x)3sincos cos2msincos msin m0，所以msin .因为x，所以，所以sin ，所以m.2(多选题)已知cos cos ，则()Asin 2 Bsin 2Csin cos Dsin cos 【解析】选BC.cos cos sin cos sin cos 2，所以cos 2.因为，所以2，所以sin 2，且sin cos 0.所以(sin cos )21sin 21.所以sin cos .二、填空题(每小题5分，共10分)
6、3如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度x_来截【解析】设正方形钢板的边长为a，截后的正方形边长为b，则，又aGCCFb sin xb cos x，所以sin xcos x，所以sin .因为0x，所以x，所以x或，x或.答案：或4已知AB，那么cos2Acos2B的最大值是_，最小值是_【解析】因为AB，所以cos2Acos2B(1cos2A1cos 2B)1(cos 2Acos 2B)1cos (AB)cos (AB)1cos cos (AB)1cos (AB)，所以当cos (AB)
7、1时，原式取得最大值；当cos (AB)1时，原式取得最小值.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)5如图，某工匠要将一块圆心角为120，半径为20 cm的扇形铁片裁成一块面积最大的矩形，现有两种裁法：让矩形一边在扇形的一半径OA上(如图)，让矩形一边与弦AB平行(如图)，请问该工匠应采用哪种裁法？并求出这个面积的最大值【解析】在题图中，MN20sin ，ON20cos ，所以S1ONNM400sin cos 200sin 2，所以当sin 21，即45时，(S1)max200 cm2.在题图中，MQ40sin (60)，MNsin ，所以S2cos (260)cos 60，当cos (2
8、60)1，即2600，即30时(S2)max cm2.因为200，所以用题图这种裁法得到的矩形的最大面积大，为 cm2.6已知f(x)2cos2，g(x).(1)求证： f g(x)；(2)求函数h(x)f(x)g(x)(x0，)的单调区间，并求使h(x)取到最小值时x的值【解析】(1)f(x)2cos21cosx，g(x)12sin cos 1sin x.因为 f 1cos 1sin x，所以 f g(x)，命题得证(2)函数h(x)f(x)g(x)cos xsin xcos .因为x0，所以x，当x，即0x时，h(x)递减，当x，即x时，h(x)递增所以函数h(x)的单调递减区间为，单调递增区间为，根据函数h(x)的单调性，可知当x时函数h(x)取到最小值
