1、单元素养评价(一)(第9章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.已知a=(1,2),2a-b=(3,1),则ab=()A.2B.3C.4D.5【解析】选D.由已知a(2a-b)=2a2-ab=2|a|2-ab=25-ab=3+2,故ab=10-5=5.2.已知向量a=(1,m),b=(m,2),若ab,则实数m等于()A.-B.C.-或D.0【解析】选C.因为ab,所以12-m2=0,所以m=.3.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为()A.B.C.D.【解析】选A.由已知得,=(3,-4),所以|=5,因此与同方向的单位向量是=.4.在ABC
2、中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=()A.-B.-C.+D.+【解析】选A.方法一:如图所示,=+=+=(+)+(-)=-.方法二:=-=-=-(+)=-.5.已知a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=,则向量a与b的夹角为()A.30B.45C.60D.以上都不对【解析】选C.设向量a与b的夹角为,因为a+b+c=0,所以c=-(a+b),所以c2=(a+b)2,即|c|2=|a|2+|b|2+2|a|b|cos ,所以19=4+9+12cos ,所以cos =,又0180,所以a与b的夹角为60.6.已知正方形ABCD的面积为2,点P在边AB上,则的最大值为()A.B
3、.C.2D.【解析】选C.如图建立平面直角坐标系,则D(,),C(,0),设P(0,t)(0t),所以=(,-t),=(,-t),所以=t2-t+2=+,所以当t=0或时,()max=2.7.已知向量a=,b=(4,4cos -),若ab,则sin等于()A.-B.-C.D.【解析】选B.由ab得ab=0,即4sin+4cos -=0,所以2sin +6cos =,sin=,所以sin=-sin=-.8.如图,在平面四边形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则的最小值为()A.B.C.D.3【解析】选A.以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,建
4、立如图的平面直角坐标系,因为在平面四边形ABCD中,AB=AD=1,BAD=120,所以A(0,0),B(1,0),D,设C(1,m),E(x,y),所以=,=,因为ADCD,所以=0,即+=0,解得m=,即C(1,),因为E在CD上,所以y,由C,E,D三点共线,得=,即x=y-2,因为=(x,y),=(x-1,y),所以=(x,y)(x-1,y)=x2-x+y2=(y-2)2-y+2+y2=4y2-5y+6,令f(y)=4y2-5y+6,y.因为函数f(y)=4y2-5y+6在上单调递减,在上单调递增,所以f(y)min=4-5+6=.所以的最小值为.二、多选题(每小题5分,共20分,全部
5、选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列说法错误的是()A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小【解析】选ABC.向量不能比较大小,但是向量的模是实数,可以比较大小.10.下列命题错误的是()A.若ab,则a与b的方向相同或相反B.若ab,bc,则acC.若两个单位向量互相平行,则这两个单位向量相等D.若a=b,b=c,则a=c【解析】选ABC.由于零向量的方向是任意的,且规定与任意向量平行,故取a=0,则对于任意的向量b,都有ab,A错误;取b=0,则对于任意的向量a,c都有
6、ab,bc,B错误;两个单位向量互相平行,方向可能相反,C错误;由两个向量相等的概念可知D正确.11.已知向量与向量共线,下列关于向量的说法中,正确的为()A.向量与向量一定同向B.向量与向量一定共线C.向量与向量一定相等D.向量与向量一定共线【解析】选BD.根据共线向量的定义,可知,这三个向量一定为共线向量,B、D正确.12.已知两个不相等的非零向量a,b,两组向量x1,x2,x3,x4,x5和y1,y2,y3,y4,y5均由2个a和3个b排列而成.记S=x1y1+x2y2+ x3y3+x4y4+x5y5,Smin表示S所有可能取值中的最小值.则下列说法正确的是()A.S有5个不同的值B.若
7、ab,则Smin与|a|无关C.若ab,则Smin与|b|无关D.若|b|4|a|,则Smin0【解析】选BD.由已知得,S的取值依据含a2的个数,分三类:有0个a2,有1个a2,有2个a2.分别得S的取值为S1=4|a|b|cos +b2,S2= 2|a|b|cos +a2+2b2,S3=2a2+3b2(记为a,b的夹角).S至多有3个不同的值,故A错误;若ab,则=90,易知Smin=S1=b2=|b|2,与|a|无关,故B正确;若ab,则S的三个值均与|b|有关,所以Smin一定与|b|有关,故C错误;若|b|4|a|,则S1-16a2|cos |+16a2=16a2(1-|cos |)
8、0,S2-8a2|cos |+a2+32a2=a2(33-8|cos |)0,S30,所以Smin0,故D正确.三、填空题(每小题5分,共20分)13.已知单位向量a,b的夹角为,则|a-b|=_.【解析】单位向量a,b的夹角为,则|a-b|=a2-2ab+b2=1-21 1+1=1.答案:114.(2020全国卷)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若ab,则m=_.【解题指南】根据向量垂直,结合题中所给的向量的坐标,利用向量垂直的坐标表示,求得结果.【解析】由ab可得ab=0,又因为a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),所以ab=1(m+1)+(-1)(2m-4)=0,
9、即m=5.答案:515.在梯形ABCD中,ABCD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点,若=+,则+=_.【解析】因为=+=+=+(+)=2+=2-,所以=-,所以+=.答案:【补偿训练】 如图所示,在ABC中,=,P是BN上的一点,若=m+,则实数m的值为_.【解析】设=,则=+=-+m+=(m-1)+, =+=-+.因为与共线,所以(m-1)+=0,所以m=.答案:16.已知点P(-3,0),M(1,2),A(0,b),Q(a,0)(a0)满足=0,A,M,Q三点共线,则b=_.【解析】=(3,b),=(a,-b),由=0得3a=b2,=(-1,b-2), =(a-1,-2),A,
10、M,Q三点共线,所以,即(b-2)(a-1)=2,由及a0得b=-1或b=3.答案:-1或3四、解答题(共70分)17.(10分)已知|a|=1,|b|=.(1)若ab且同向,求ab;(2)若向量a,b的夹角为135,求|a+b|.【解析】(1)若ab且同向,则a与b的夹角为0,此时ab=|a|b|=.(2)|a+b|=1.18.(12分)已知非零向量e1,e2不共线.(1)如果=e1-e2,=3e1-e2,=3e1-5e2,求证A,B,D三点共线;(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共线,试确定实数k的值.【解析】(1)因为=e1-e2,=+=3e1-e2+3e1-5e2=6(e1-e2)=
11、6.所以,共线,且有公共点B,所以A,B,D三点共线.(2)因为ke1+e2与e1+ke2共线,所以存在实数,使ke1+e2=(e1+ke2),即(k-)e1=(k-1)e2,由于e1与e2不共线,只能有所以k=1.19.(12分)如图,在平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,点F在BC上,且BF=BC.(1)以a,b为基底表示向量与;(2)若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角为120,求.【解析】(1)由已知得,=+=a+b.=+=b+a+=a-b.(2)由已知得,ab=|a|b|cos 120=34=-6,所以=|a|2+ab-|b|2=32+(-6)-42=-
12、.【补偿训练】如图,在ABC中,=2.(1)若=x+y(x,y为实数),求x,y的值;(2)若AB=3,AC=4,BAC=60,求的值.【解析】(1)因为=2,所以-=2(-),=+.又因为=x+y=(x-y)+y,所以+=(x-y)+y.因为与不共线,所以所以x=1,y=.(2)=(-)=-+=.20.(12分)已知a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),且|ka+b|= |a-kb|(k0).(1)用k表示数量积ab;(2)求ab的最小值,并求出此时a与b的夹角.【解析】(1)由|ka+b|=|a-kb|,得(ka+b)2=3(a-kb)2所以k2a2+2kab+b2=3a
13、2-6kab+3k2b2所以(k2-3)a2+8kab+(1-3k2)b2=0.又a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),故|a|=|b|=1,所以k2-3+8kab+1-3k2=0,所以ab=.(2)由(1)得ab=.由函数单调性得f(k)=在(0,1上单调递减,在(1,+)上单调递增,所以当k=1时,f(k)min=f(1)=(1+1)=.设此时a与b的夹角为,则cos =,又0180,所以=60.21.(12分)已知向量e1,e2,且|e1|=|e2|=1,e1与e2的夹角为. m=e1+e2,n=3e1-2e2.(1)求证:(2e1-e2)e2;(2)若|m|=|n|,
14、求的值;(3)若m与n的夹角为,求的值.【解析】(1)因为|e1|=|e2|=1,e1与e2的夹角为,所以(2e1-e2)e2=2e1e2-=2|e1|e2|cos-|e2|2=211-12=0,所以(2e1-e2)e2.(2)由|m|=|n|得(e1+e2)2=(3e1-2e2)2,即(2-9)+(2+12)e1e2-3=0.因为|e1|=|e2|=1,所以=1,e1e2=11cos=,所以(2-9)1+(2+12)-31=0,即2+-6=0,所以=2或=-3.(3)由(2)知=1,e1e2=,所以|n|=,|m|2=(e1+e2)2=2+2e1e2+=2+1,所以|m|=,mn=(e1+e
15、2)(3e1-2e2)=3+(3-2)e1e2-2=3+(3-2)-2=2-.由mn=|m|n|cos得2-=,化简得32-5-2=0,所以=2或=-.经检验知=-不成立,故=2.22.(12分)已知向量a=和向量b=(1,f(x),且ab.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;(2)已知ABC的三个内角分别为A,B,C,若有f=,BC=,sin B=,求AC的长度.【解析】由ab得f(x)=sin x+cos x所以f(x)=sin x+cos x=2sin,(1)f(x)的最小正周期为T=2,当sin=1时,f(x)max=2.(2)由f=得2sin A=,所以sin A=,由=,得AC=2.
