1、龙城高中2020-2021学年第一学期高三年级每周一测数学试卷 考试时长:120分钟 满分:150分一、单项选择题(本大题共8个小题,每小题5分。每小题只有一项符合题目要求)1.已知集合Ax|x2x60,则ABA.x|2x3 B.x|0x3 C.x|3x2 D.x|0x22.若复数z满足z(1i)2,则|z|A.1i B. C.1i D.23周髀算经是我国古老的天文学和数学著作,其书中记载:一年有二十四个节气,每个节气晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测影子的长度),夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气,其晷长依次成等差数列,经记录测算,这九个
2、节气的所有晷长之和为 尺,夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为 尺,则立秋的晷长为( )A 尺B 尺C 尺D 尺4己知为锐角,若 ,则 的值为( )ABCD5定义域为的可导函数的导函数为,满足,且则不等式的解集为( )A B C D6如图,是圆的直径,是圆上的点,则的值为( )A B C D7已知函数,的部分图象如图所示,则使成立的a的最小正值为( )ABCD8设函数,若关于x的不等式有且只有一个整数解,则实数a的取值范围为( )ABCD二、多项选择题(本大题共4个小题,每小题5分。每小题至少有两个选项符合题目要求,部分选对得3分,全对得5分,有选错的得0分)9. 设,为正实数,且,则 10已知
3、是定义在R上的奇函数,其图象关于直线x1对称,则A B在区间(2,0)上单调递增C有最大值 D是满足条件的一个函数11在数列中,若(,p为常数),则称为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断,其中正确的为( )A若是等方差数列,则是等差数列B若是等方差数列,则是等方差数列C是等方差数列D若是等方差数列,则(,k为常数)也是等方差数列12已知向量,则下列结论正确的有( )AB若,则C的最大值为2D 的最大值为3三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13已知角终边经过点,则_14对于正项数列,定义为的“光”值,现知某数列的“光”值为,则数列的通项公式为_15已知两个等差数列和的前项
4、和分别为和,且,则使得为整数的正整数的个数是_ 16.关于的方程 在 上有两个不相等的实根,则实数 的取值范围_.四、 解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17已知数列满足,.(1)求证数列是等比数列,并求数列的通项公式;(2)设,数列的前项和为,证明: .18 己知函数.(1)求函数在区间上的取值范围;(2)设的三个内角,所对的边长分别为,.若为锐角,且,求的值.19已知等比数列 中: (1)求 的通项公式;(2)若 ,求数列 的前 项和 20的内角的对边分别为已知向量与共线.(1)求;(2)若,求面积的最大值.21.已知函数 ( 为自然对数的底数),
5、 ,直线 是曲线 在 处的切线.(1)求 , 的值;(2)是否存在 ,使得 在 上有唯一零点?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由.22(12分) 已知函数 (1)讨论函数 的单调性;(2) 若函数 的图象与直线 交于A,B两点,记A,B两点的横坐标分别为 且 ,证明:每周一测答案1.B 2.B 3.D 4B 5.B 6. B 7.C 8 .B 9.AD 10.AD 11.ACD 12.AC13 14 155 16. 17(1)解:,数列是公比为2,首项为的等比数列,.(2)证明:由(1)知,数列为等比数列,公比为,首项为,.18.因为, ,故,故函数在区间上的取值范围为 (2)由(1),
6、故因为为锐角,故,由余弦定理得,由正弦定理,又 B为锐角, ,故19(1)由可得,即,设的公比为,则,故,所以的通项公式为(2),所以,20(1)因为,所以,所以,即,即.因为,所以,故,即.(2)由余弦定理,得,又,而,则,即(当且仅当时等号成立),所以(当且仅当时等号成立),所以面积的最大值为.21解:(1)的导数为,由已知可得,解得,;(2)由(1)可知,则,令,则恒成立,在上单调递减,又,存在唯一的,使得,且当时,即,在上单调递增,在上单调递减,又当时,存在或2,在上有唯零点.22.解:(1),1分时,在递增,3分时,令,解得:,令,解得:,故在递减,在递增; 5分(2)函数的的导数,若,则,还是单调递增,则不满足条件,则由得,由得,即当时,还是取得极小值同时也是最小值 6分有两个根,即,则,即 7分要证,则只需要又,则只需要证明,即证,令,9分则,即在上单调递减,即则命题成立. 12分