1、专题强化十八带电粒子在有界匀强磁场中的运动目标要求1.能够确定粒子运动的圆心、半径、运动时间.2.学会处理带电粒子在直线边界、圆形边界磁场中运动的问题.3.会分析带电粒子在匀强磁场中的临界问题和多解问题1圆心的确定方法(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图1甲(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙图1图22半径的确定和计算(1)连接圆心和轨迹圆与边界的交点，确定半径，然后用几何知识求半径，常用解三角形法，如图2R或由R2L2(Rd)2求得R(2)在分析几何关系时，特别要掌握以下两点
2、粒子速度的偏向角等于圆心角，且等于AB弦与切线的夹角(弦切角)的2倍(如图3所示)，即2t.相对的弦切角相等，与相邻的弦切角互补，即.图33运动时间的确定粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为时，其运动时间：tT或t(l为弧长)4数学原理(1)几何模型：圆与直线相交、圆与圆相交(2)对称性：圆与直线相交，轨迹(圆弧)关于圆心到边界的垂线轴对称；轨迹圆和磁场圆相交，轨迹(圆弧)关于两圆心的连线轴对称(如图4)图4(3)构造三角形(4)确定角度有已知角度：利用互余、互补、偏向角与圆心角的关系、弦切角与圆心角的关系确定；没有已知角度：利用边长关系确定题型一带电粒子在有界匀强
3、磁场中的运动1直线边界(进出磁场具有对称性，如图5所示)图52平行边界(往往存在临界条件，如图6所示)图63圆形边界(进出磁场具有对称性)(1)沿径向射入必沿径向射出，如图7所示图7(2)不沿径向射入时，如图8所示射入时粒子速度方向与半径的夹角为，射出磁场时速度方向与半径的夹角也为.图8 直线边界的磁场例1(2020黑龙江大庆市实验中学高三开学考试)如图9所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则为()图9A3 B2
4、 C. D.答案A解析电子1、2在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出两电子的运动轨迹，如图所示，电子1垂直边界射进磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，根据半径r可知，电子1和2的半径相等，根据几何关系可知，aOc为等边三角形，则电子2转过的圆心角为60，所以电子1运动的时间t1，电子2运动的时间t2，所以3，故A正确，B、C、D错误 圆形边界磁场例2(多选)如图10所示为一圆形区域的匀强磁场，在O点处有一放射源，沿半径方向射出速率均为v的不同带电粒子，其中带电粒子1从A点飞出磁场，带电粒子
5、2从B点飞出磁场，不考虑带电粒子的重力，则()图10A带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间之比为21B带电粒子1与带电粒子2在磁场中运动时间之比为23C带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷之比为31D带电粒子1的比荷与带电粒子2的比荷之比为1答案BC解析两个粒子的轨迹圆心O1、O2位置如图所示，二者轨迹对应的圆心角分别为120、60，设圆形磁场的半径为R，由几何知识可得两个粒子的轨迹半径分别为R、R，结合公式r、T可知，二者比荷之比为31，周期之比为13，又因为二者轨迹对应的圆心角分别为120、60，所以二者在磁场中运动时间之比为23，选项B、C正确例3(2016全国卷18)一圆筒处于磁感应强
6、度大小为B的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒的横截面如图11所示图中直径MN的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度顺时针转动在该截面内，一带电粒子从小孔M射入筒内，射入时的运动方向与MN成30角当筒转过90时，该粒子恰好从小孔N飞出圆筒不计重力若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为()图11A. B.C. D.答案A解析画出粒子的运动轨迹如图所示，由洛伦兹力提供向心力得，qvBm，又T，联立得T由几何知识可得，轨迹的圆心角为，粒子在磁场中运动的时间tT，粒子运动和圆筒运动具有等时性，则T，解得，故选项A正确1(圆形边界)如图12所示，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁
7、场两个质子M、N沿平行于直径cd的方向从圆周上同一点P射入磁场区域， P点与cd间的距离为，质子M、N入射的速度大小之比为12.ab是垂直cd的直径，质子M恰好从b点射出磁场，不计质子的重力和质子间的作用力则两质子M、N在磁场中运动的时间之比为()图12A21 B31C32 D34答案A解析作出两质子的运动轨迹如图所示，由几何关系可知，质子M的轨道半径为R，轨迹圆弧所对圆心角1120；根据qBvm得r，则质子N的轨道半径为2R，再由几何关系可知，其轨迹圆弧所对圆心角260；质子在磁场中做圆周运动的周期T，运动的时间tT，解得t1t221，故A正确，B、C、D错误题型二带电粒子在匀强磁场中的临界
8、问题解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解1刚好穿出或刚好不能穿出磁场的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切2时间最长或最短的临界条件：(1)当以一定的速率垂直射入磁场时，运动的弧长越长，运动时间越长(2)当比荷相同，入射速率v不同时，圆心角越大，运动时间越长(3)两种具体情况：直线边界；圆形边界例4如图13所示，真空中狭长区域内的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，区域宽度为d，边界为CD和EF，速度为v的电子从边界CD外侧沿垂直于磁场方向射入磁场，入
9、射方向与CD的夹角为，已知电子的质量为m、带电荷量为e，为使电子能从另一边界EF射出，电子的速率应满足的条件是()图13Av Bv Dv，垂直纸面向里 BB，垂直纸面向里CB，垂直纸面向外 DB，垂直纸面向外答案BD解析当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知，sin 30，可得r1s，由r1可得B1；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹，即圆弧与OP相切于N点，如图乙所示，由几何关系sr2，得r2，又r2，所以B2，综合上述分析可知，选项B、D正确，A、C错误 临界状态不唯一形成多解例6(多选)如图16所示，长为l的水平极板间有
10、垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是()图16A使粒子的速度vC使粒子的速度vD使粒子的速度v0)粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30角已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场不计重力粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为()图7A. B. C. D.答案D解析带电粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径为r.轨迹与ON相切，画出粒子的运动轨迹如图所示，由于2rsi
11、n 30r，故AOD为等边三角形，ODA60，而MON30，则OCD90，故COD为一直线，24r，故D正确8.(多选)(2019云南玉溪一中第五次调研)如图8所示，在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场一点电荷从图中A点以速度v0垂直磁场射入，速度方向与半径方向的夹角为30.当该电荷离开磁场时，速度方向刚好改变了180.不计电荷的重力，下列说法正确的是()图8A该点电荷离开磁场时速度方向的反向延长线通过O点B该点电荷的比荷为C该点电荷在磁场中的运动时间为D该点电荷在磁场中的运动时间为答案BC解析由题意可画出电荷在磁场中的运动轨迹如图所示，A错误；由几何关系
12、知电荷做圆周运动的半径为r，结合qv0Bm，可得，B正确；电荷在磁场中的运动时间t，C正确，D错误9(多选)如图9所示，有一圆形匀强磁场区域，区域内磁场方向垂直纸面向外，b、c为直径上的两个点，ab弧为圆周的三分之一甲、乙两粒子电荷量分别为q、q，以相同的速度先后从a点沿半径方向进入磁场，甲粒子从c点离开磁场，乙粒子从b点离开磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则甲、乙两粒子()图9A质量之比m甲m乙31B动能之比Ek甲Ek乙13C运动轨道半径之比r甲r乙31D通过磁场的运动时间之比t甲t乙23答案BD解析设磁场圆的半径为R，甲、乙两粒子的运动轨迹如图所示，由于ab弧为圆周的三分之一，故图
13、中角度60，30，根据洛伦兹力提供向心力，结合几何知识得：对甲粒子，有r甲，qvBm甲，故r甲，对乙粒子，有r乙，qvBm乙，故r乙，解得，故A、C错误；根据动能公式Ekmv2知，由于甲、乙两种粒子速度相等，动能之比等于质量之比，即，故B正确；根据带电粒子周期公式T和粒子在磁场中运动时间公式tT得甲粒子在磁场中的运动时间为t甲，同理得乙粒子在磁场中的运动时间为t乙，故，故D正确10(2020全国卷24)如图10，在0xh，y0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力图10(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm；
14、(2)如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离答案见解析解析(1)由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有qv0Bm由此可得R粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足Rh由题意，当磁感应强度大小为Bm时，粒子穿过y轴正半轴离开磁场时的运动半径最大，由此得Bm(2)若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由式可得，此时圆弧半径为R2h粒子会穿过图中P点离开
15、磁场，运动轨迹如图所示设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为，由几何关系sin 即由几何关系可得，P点与x轴的距离为y2h(1cos )联立式得y(2)h.11如图11，在空间中有一坐标系xOy，其第一象限内充满着两个匀强磁场区域和，直线OP是它们的边界，区域中的磁感应强度为B，方向垂直纸面向外；区域中的磁感应强度为2B，方向垂直纸面向里，边界上的P点坐标为(4L,3L)一质量为m，电荷量为q的带正电粒子从P点平行于y轴负方向射入区域，经过一段时间后，粒子恰好经过原点O，忽略粒子重力，已知sin 370.6，cos 370.8.求：图11(1)粒子从P点运动到O点的时间至少为多少；(2)粒
16、子的速度大小可能是多少答案(1)(2)(n1,2,3)解析(1)设粒子的入射速度为v，用R1、R2、T1、T2分别表示粒子在磁场区和区中运动的轨道半径和周期，则有qvBm，qv2BmT1，T2粒子先在磁场区中做顺时针的圆周运动，后在磁场区中做逆时针的圆周运动，然后从O点射出，这样粒子从P点运动到O点所用的时间最短粒子运动轨迹如图所示，tan 0.75，得37，90.粒子在磁场区和区中的运动时间分别为t1T1，t2T2粒子从P点运动到O点的时间至少为tt1t2由以上各式解得：t(2)当粒子的速度大小满足一定条件时，粒子先在磁场区中运动，后在磁场区中运动，然后又重复前面的运动，直到经过原点O.这样粒子经过n个周期性的运动到达O点，每个周期的运动情况相同，粒子在一个周期内的位移为：x(n1,2,3，)粒子每次在磁场区中运动的位移为x1xx由图中的几何关系可知cos ，由以上各式解得粒子的速度大小为：v(n1,2,3，)
