1、习题课单调性与奇偶性的综合应用1.函数的奇偶性是函数定义域上的概念,而函数的单调性是区间上的概念,因此在判断函数的单调性的时候,一定要指出函数的单调区间.2.在定义域关于原点对称的前提下,f(x)=x2n-1(nZ)型函数都是奇函数;f(x)=x2n(nZ)型函数及常数函数都是偶函数.3.如果f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们定义域中的公共区间上,满足奇+奇=奇,偶+偶=偶,奇奇=偶,奇偶=奇,偶偶=偶.4.若f(x)为奇函数,且在区间a,b(ab)上是增(减)函数,则f(x)在区间-b,-a上是增(减)函数;若f(x)为偶函数,且在区间a,b(ab)上是增(减)函数,则f
2、(x)在区间-b,-a上是减(增)函数,即奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同;偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反.5.若f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0;若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|).做一做1若函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,则f(x)()A.在1,7上是增函数B.在-7,2上是增函数C.在-5,-3上是增函数D.在-3,3上是增函数解析:因为函数f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函数,所以m=1,即f(x)=-x2+2,结合函数f(x)的图象(图略)知选C.答案:C做一做2若奇函数f(x)
3、满足f(3)f(1),则下列各式中一定成立的是()A.f(-1)f(1)C.f(-2)f(3)D.f(-3)f(5)解析:因为f(x)是奇函数,所以f(3)=-f(-3),f(1)=-f(-1).又f(3)f(1),所以-f(-3)f(-1).答案:A探究一探究二探究一应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小【例1】已知偶函数f(x)的定义域为R,当x0,+)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(),f(-3)的大小关系是()A.f()f(-3)f(-2)B.f()f(-2)f(-3)C.f()f(-3)f(-2)D.f()f(-2)f(-3)解析:f(x)在R上是偶函数,f(-2)=f(2
4、),f(-3)=f(3).23,且f(x)在区间0,+)上为增函数,f(2)f(3)f(),f(-2)f(-3)f(3)f().又因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),从而有f(-2)f(-3)f().探究一探究二探究一探究二探究一探究二变式训练2若偶函数f(x)在(-,0上是增函数,且f(a+1)f(3-a),求实数a的取值范围.解:f(x)是偶函数,且在(-,0上是增函数,f(a+1)f(3-a),f(-|a+1|)f(-|3-a|),-|a+1|-|3-a|,|a+1|3-a|,a2+2a+19-6a+a2,af(1),则下列各式一定成立的是()A.
5、f(0)f(3)C.f(2)f(0)D.f(-1)f(1),f(4)f(-1).答案:D1 2 3 4 52.已知当x0时,f(x)=x-2 017,且f(x)在定义域上是奇函数,则当x0时,f(x)的解析式是()A.f(x)=x+2 017 B.f(x)=-x+2 017C.f(x)=-x-2 017 D.f(x)=x-2 017解析:当x0,则f(-x)=-x-2 017.因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x+2 017.故选A.答案:A1 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 55.已知奇函数f(x)在R上是减函数,且f(3a-10)+f(4-2a)0,求a的取值范围.解:f(3a-10)+f(4-2a)0,f(3a-10)-f(4-2a),f(x)为奇函数,-f(4-2a)=f(2a-4),f(3a-10)2a-4,a6.故a的取值范围为(6,+).
