1、资阳市高中2020级第二次诊断性考试数学（理工类）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知，i是虚数单位，若与互为共轭复数，则（ ）ABCD2已知集合，则（ ）ABCD3采购经理指数（PMI），是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一，具有较强的预测、预警作用制造业PMI高于50时，反映制造业较上月扩张；低于50，则反映制造业较上月收缩，下图为我国2021年1月2022年6月制造业采购经理指数（PMI
2、）统计图根据统计图分析，下列结论最恰当的一项为（ ）A2021年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩B2021年第四季度各月制造业在逐月扩张C2022年1月至4月制造业逐月收缩D2022年6月PMI重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张4已知函数，则的图象（ ）A关于直线对称B关于点对称C关于直线对称D关于原点对称5党的二十大报告既鼓舞人心，又催人奋进为学习贯彻党的二十大精神，某宣讲小分队将5名宣讲员分配到4个社区宣讲，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分配方案共有（ ）A480种B240种C120种D60种6函数在区间上的图象大致为（ ）ABCD7已知，则的值
3、为（ ）ABCD8如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算术商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，如图所示的程序框图给出了计算“三角垛”小球总数的一个算法，执行该程序框图，输出的S即为小球总数，则S（ ）A35B56C84D1209过抛物线的焦点F且倾斜角为锐角的直线与C交于两点A，B（横坐标分别为，点A在第一象限），为C的准线，过点A与垂直的直线与相交于点M若，则（ ）A3B6C9D1210如图，在长方体中，底面ABCD为正方形，E，F分别为，CD的中点，直线BE与平面所成角为45，给出下列结论：平面；异面直线BE与所成角为60；三棱
4、锥的体积为长方体体积的其中，所有正确结论的序号是（ ）ABCD11已知椭圆的左焦点为，离心率为e，直线与C交于点M，N，且，当取最小值时，椭圆C的离心率为（ ）ABCD12设，则a，b，c的大小关系是（ ）ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若x，y满足约束条件，则的最大值为_14已知向量，则向量与向量的夹角为_15若函数的最小正周期为，则满足条件“是偶函数”的的一个值为_（写出一个满足条件的即可）16已知O是边长为3的正三角形ABC的中心，点P是平面ABC外一点，平面ABC，二面角的大小为60，则三棱锥外接球的表面积为_三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或
5、演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生依据要求作答（一）必考题：共60分17（12分）某企业为改进生产，现就某产品及成本相关数据进行统计现收集了该产品的成本费y（单位：万元/吨）及同批次产品生产数量x（单位：吨）的20组数据现分别用两种模型，进行拟合，据收集到的数据，计算得到如下值：14.5100.086650.044表中，若用刻画回归效果，得到模型、的值分别为，（1）利用和比较模型、的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；（2）根据（1）中所选择的模型，求y关于x的回归方程；并求同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值附：对于一组数据，其回归直线的
6、斜率和截距的最小二乘法估计分别为，18（12分）已知为等差数列，且，（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求的前n项和19（12分）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，从下列三个条件中选择一个并解答问题：；（1）求角A的大小；（2）若，且的面积为，求的周长注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分20（12分）如图，四棱锥的底面是矩形，底面ABCD，（1）试在棱BC上确定一点M，使得平面平面PBD，并说明理由（2）在第（1）问的条件下，求二面角的余弦值21（12分）已知函数（1）若是的极小值点，求a的取值范围；（2）若，求a的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22、2
7、3题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C相交于A，B两点，（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若，求直线l的斜率23选修4-5：不等式选讲（10分）已知，且（1）证明：；（2）若不等式对任意恒成立，求m的取值范围数学（理工类）参考答案1C2A3D4A5B6B7D8B9C10D11B12D1381415或，等，满足条件的任何一个值即可1617解析：（1）应该选择模型 由题可知，则模型中样本数据的残差平方和比模
8、型中样本数据的残差平方和小，即模型拟合效果最好（2）由已知，成本费y与t可用线性回归来拟合，有，所以，则y关于t的线性回归方程为成本费y与同批次生产数量x的回归方程为，当（吨）时，（万元/吨）所以，同批次产品生产数量为25吨时y的预报值为6万元/吨18解析：（1）设等差数列的公差为d，由已知有：，因为，即，所以，所以数列的通项公式（2）由（1）知，又，所以当时，当时，有两式相减，得，所以所以19解析：（1）如选择有，即有，所以，又，所以，所以如选择有，由正弦定理有，所以，化简得，因，所以，所以如选择由余弦定理有，所以，所以，所以（2）由（1）知，因为，且的面积为，由，所以，所以，由余弦定理得，
9、所以，所以的周长20解析：（1）当M为棱BC上靠近点B的三等分点时，平面平面PBD证明：若M为棱BC上靠近点B的三等分点，所以又，所以所以又，所以，所以因为底面ABCD，所以，所以平面PBD而平面PAM，所以平面平面PBD（2）由（1），以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，设，则，设平面MPA的法向量，由得令，得，即设平面CPA的法向量，由得令，得，即设二面角的平面角为，则21解析：（1）由题得，当时，可知时，单调递减；时，单调递增，是的极小值点，符合题意； 当时，知时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增，此时，是的极小值点，符合题意； 当时，单调递增，不符合题意； 当时，知时，单调递
10、增；时，单调递减；时，单调递增，此时，是的极大值点，不符合题意 综上，是的极小值点时，a的取值范围是（2）由（1），由于时，当时，可知，函数单调递增，故时，所以，满足条件；当时，可知时，单调递减；时，单调递增，所以，在区间上，当时，取得极小值，也即为最小值由于，恒成立，则，即有，得，解得，综上，a的取值范围是选考题22解析：（1）由得，即，即将，代入上式，得（2）将直线l的参数方程为（t为参数）代入曲线C的方程，整理得由t的几何意义可设，因点M在椭圆内，方程必有两个实根，所以，由知，即联立得，将代入得，解得，所以直线l的斜率23（1）证明：，由于，且，则，当且仅当，时等号成立，又时，可得，所以（2），又，且，所以，当且仅当取等号则，则，得，或，解得或所以m的取值范围是
