1、第一讲 不等式和绝对值不等式一 不等式1不等式的基本性质1会用作差法比较实数或式子的大小，判断不等关系2理解并掌握不等式的基本性质，并会判断命题结论的真假3会运用不等式的性质进行简单的不等式的证明，求代数式的取值范围1实数的性质(1)实数与数轴上的点_(2)对于任意两个实数a，b：ab0_；ab0_；ab0_.一一对应ababab2不等式的基本性质(1)对称性ab_(2)传递性ab，bc_(3)可加性_acbc(4)可乘性如果 ab，c0，那么_；如果 ab，c0，那么_(5)乘方如果 ab0，那 an_bn(nN，n2)(6)开方如果 ab0，那么n a_n b(nN，n2)baacabac
2、bcacbc1若 ab，一定有1a1b吗？提示：不一定如 a1，b2，则有1a1b.事实上，当ab0 时，若 ab，则有1a1b；当 ab0 时，若 ab，则有1a1b；当 ab0 时，若 ab，则1a与1b中有一个式子无意义2ab是ac2bc2的什么条件？提示：必要而不充分条件当 ab 时，不能推得 ac2bc2，因为当 c0 时，有 ac2bc2；若 ac2bc2，则 c0，1c20，所以 ac21c2bc21c2，即 ab.3如果a，bR，并且ab，那么下列不等式一定成立的是_(填序号)ab；a1b2；abba；a2ab.解析：因为a，bR，并且ab，所以ab，故一定成立ab，12，根据
3、不等式的性质可得，a1b2，故一定正确ab0，则ba0，所以abba，故一定正确不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变，而a的符号不确定，故不一定正确答案：1实数大小的比较2实数的基本性质在研究不等式的性质，解不等式和证明不等式时，经常要用到实数的一些基本性质，这些性质可概括为8条公理：公理1：正数大于零，负数小于零，正数大于负数公理2：正(负)数中，绝对值较大的数其数值较大(小)公理3：正(负)数的相反数是负(正)数公理4：两数之差大于零，则被减数大于减数；两数之差等于零，则两数相等；两数之差小于零，则被减数小于减数公理5：
4、两个正(负)数的和仍是正(负)数公理6：同号(或异号)两数相乘或相除，其积或其商为正数(或负数)公理7：两正数之商大于1，则被除数大于除数；两正数之商等于1，则被除数等于除数；两正数之商小于1，则被除数小于除数公理8：任何一个实数的平方都不小于零3不等式性质成立的条件使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用例如：(1)ab，cdacbd，已知的两个不等式必须是同向不等式(2)ab0且cd0acbd，已知的两个不等式不仅要求同向，而且不等式两边必须为正值(3)ab0anbn(nN，n1)，及 ab0n an b(nN，n1)成立的条件是已知不等式两
5、边为正值，并且 nN，n1，否则结论就不成立假设去掉 b0 这个条件，取 a3，b4，n2，就会出现 32(4)2 的错误结论；又若去掉了“nN 且 n1”这个条件，取 a3，b2，n1，又会出现 3121，即1312的错误结论特别提醒：性质(5)和性质(6)，在 n 取正奇数时，可放宽条件，命题仍成立，即有：abanbn(n2k1，kN)；abn an b(n2k1，kN)4不等式性质的“单向性”和“双向性”不等式的性质中有些是可逆推的，而有些性质不具有可逆性，只有“abba；abacbc；ab，c0acbc(c0)”是可逆推的，其他都是不可逆推的5等号传递问题在利用不等式的传递性时，如果两
6、个不等式有一个不带等号，那么等号就不会传递过去，如ab，bcac；ab，bcac.作差法比较大小 设a，bR，试比较a2b2ab1与ab的大小思路点拨：从最高次数为二次考虑，可比较两边差的正负，故可考虑二次三项的配方解：方法一：a2b2ab1(ab)122a22b22ab22a2b12a22abb2 a22a1b22b112(ab)2(a1)2(b1)2，显然ab，a1，b1在ab1时同时等于0，故a2b2ab1(ab)0.a2b2ab1ab.方法二：a2b2ab1aba2(b1)ab2b1，令 f(a)a2(b1)ab2b1，(b1)24(b2b1)3(b1)20.f(a)0 恒成立，即 a
7、2b2ab1ab.【授之以渔】比较法的关键在于变形，变形的常用方法是因式分解和配方，变形的目的是有利于判断符号而方法二则是从二次三项式的符号与二次函数关系出发，构造二次函数，用函数处理不等式问题，思路新颖灵活1已知x0，求证：(x21)2x4x21.证明：(x21)2(x4x21)x42x21x4x21x2，x0，x20.(x21)2(x4x21)0.(x21)2x4x21.利用不等式的性质判断命题的真假判断下列命题的真假，并简述理由(1)若 ab，cd，则 acbd；(2)若 ab0，cd0，则acbd；(3)若 ab，cd，则 acbd；(4)若 ab，则 anbn，n an b(nN 且
8、 n2)解：(1)取 a3，b2，c2，d3，即 32，23，此时 acbd6.因此(1)为假命题(2)取 a6，b4，c3，d2，此时acbd2，因此(2)为假命题(3)cd，cd.又ab，acbd.因此(3)为真命题(4)当 ab0 时，才能成立，因此(4)为假命题【授之以渔】判断命题的真假，要注意一些特殊方法的应用，如：图象法、特值法等在判断中，若要运用不等式的性质，一定要强调不等式性质中条件的作用2判断下列命题的真假，并简述理由(1)ab，cdacbd.(2)ab，cd，cd0acbd.(3)ab0 1ab1a.解：(1)假命题令 a5，b4，c3，d1，有 acbd.(2)假命题当
9、ab0，c0，d0 时显然有acbd.(3)假命题.1ab1abaab，由 ab0，可得baab0，则有 1ab1a.利用不等式的性质证明简单不等式若 ab0，cd0，e0.求证：eac2ebd2.思路点拨：已知 e0，故只需证1ac21bd2，即只需证(ac)2(bd)2.证明：cd0，cd0.ab0，acbd0.(ac)2(bd)20.1bd21ac2.又e0，ebd2eac2，即eac2ebd2.【授之以渔】进行简单不等式的证明时，如果不能直接应用不等式性质得到，我们可以先分析需要证明的不等式的结构特点，利用不等式性质进行逆推，寻找其成立的充分条件3已知 ab0，cd0，求证：bac a
10、bd.证明：cd0，cd0.又 ab0，acbd0.0 1ac 1bd.而 0ba，bac abd.易错误区系列(一)对不等式的性质理解不透而致错【典例】已知二次函数f(x)ax2bx(a0)满足1f(1)2,3f(1)4，求f(2)的取值范围【错解】由题意得1ab2，3ab4.解得 2a3，12b32.而 f(2)4a2b，由不等式的性质，得 5f(2)11.【错因】由于1ab2，3ab4，两式的等号成立的条件不同，在多次运用不等式的可加性时，导致 f(2)的范围扩大【正解】根据已知条件有f1ab，f1ab.设 f(2)f(1)f(1)()a()b4a2b.4，23，1，即 f(2)3f(1
11、)f(1)又1f(1)2,3f(1)4，6f(2)10.【纠错心得】1.待定系数法的应用已知两个代数式的范围，求另一个代数式的取值范围时，应用待定系数法，体现整体思想的应用，再利用同向不等式的同向可加性求解，如本例中将f(2)表示为f(1)和f(1)的形式求解2注意同向不等式相加时的应用同一问题中，应用同向不等式相加性质时，不能多次使用，否则易导致范围扩大，如本例可用待定系数法避免多次使用【成功破障】已知 43，3，则 2 的取值范围是_解析：设 2A()B()，则 2(AB)(AB)，比较两边系数得AB2，AB1 A12，B32.所以 212()32()因为212()23，32 32()2，所以26.故 2，6.答案：，6点击进入WORD链接谢谢观看！
