1、高三数学（理）一轮复习 教案 第六编 数列 总第30期6.5 数列的综合应用基础自测1.（2008山东文，15）已知f(3x)=4xlog23+233,则f(2)+f(4)+f(8)+f(28)的值等于 .答案 2 0082.设f(n)=2+24+27+23n+1 (nN*)，则f(n)= .答案 (8n+1-1)3.若互不相等的实数a,b,c成等差数列，c,a,b成等比数列，且a+3b+c=10，则a的值为 .答案 -44.设等比数列an的公比为q,前n项和为Sn，若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列，则公比q= .答案 -25.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂
2、成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，6小时后细胞存活的个数是 .答案 65例题精讲 例1 数列an的前n项和记为Sn，a1=1,an+1=2Sn+1 (n1).(1)求an的通项公式；（2）等差数列bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列，求Tn.解 （1）由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1 (n2),两式相减得an+1-an=2an,an+1=3an (n2).又a2=2S1+1=3,a2=3a1.故an是首项为1，公比为3的等比数列，an=3n-1.（2）设bn的公差为d,由T3=15,b1+b2+
3、b3=15,可得b2=5,故可设b1=5-d,b3=5+d,又a1=1,a2=3,a3=9,由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2，解得d1=2,d2=-10.等差数列bn的各项为正，d0,d=2,b1=3,Tn=3n+2=n2+2n.例2已知f(x)=logax(a0且a1)，设f(a1),f(a2),f(an) (nN*)是首项为4，公差为2的等差数列.（1）设a为常数，求证：an成等比数列；（2）若bn=anf(an),bn的前n项和是Sn，当a=时，求Sn.（1）证明 f(an)=4+(n-1)2=2n+2,即logaan=2n+2,可得an=a2n+2.=a2（n2）为
4、定值，an为等比数列(2)解 bn=anf(an)=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.当a=时，bn=(2n+2)()2n+2=(n+1)2n+2.Sn=223+324+425+(n+1)2n+2 2Sn=224+325+426+n2n+2+(n+1)2n+3 -得-Sn=223+24+25+2n+2-(n+1)2n+3=16+-(n+1)2n+3=16+2n+3-24-n2n+3-2n+3=-n2n+3.Sn=n2n+3.例3 假设某市2008年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每
5、年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，（1）该市历年所建中低价房的累计面积（以2008年为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？（参考数据：1.0841.36,1.0851.47, 1.0861.59)解 （1）设中低价房的面积形成的数列为an，由题意可知an是等差数列，其中a1=250,d=50,则an=250+(n-1)50=50n+200，Sn=250n+50=25n2+225n,令25n2+225n4 750,即n2+9n-1900,而n是正整数n10.到2017年底，该市
6、历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1=400,q=1.08,则bn=400(1.08)n-1.由题意可知an0.85bn,即50n+200400(1.08)n-10.85.当n=5时，a50.85b5,当n=6时，a60.85b6,满足上述不等式的最小正整数n为6.到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.巩固练习 1.已知数列an、bn满足：a1=2,b1=1,且 (n2).(1)令cn=an+bn，求数列cn的通项公式；（2）求数列an的通项公式及前n项和公式Sn
7、.解 （1）当n2时，cn=an+bn=+=an-1+bn-1+2,cn=cn-1+2，即cn-cn-1=2 (n2)，数列cn为等差数列，首项c1=a1+b1=3,公差d==3+（n-1）2=2n+1.（2）当n2时， -得：an-bn=(an-1-bn-1) （n2）,数列an-bn为等比数列，首项为a1-b1=1，公比q=，an-bn=()n-1. ，由（1）知：an+bn=2n+1, +得2an=(2n+1)+ ()n-1an=+Sn=+=.2.已知数列an满足a1=2,且点（an,an+1）在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中n=1,2,3,.（1）证明：数列lg(1+an)是等
8、比数列；（2）设Tn=（1+a1）（1+a2）（1+an），求Tn及数列an的通项.（1）证明 由于(an,an+1)在函数f(x)的图象上，an+1=a+2an,an+1+1=（an+1）2.a1=2，an+11,lg（an+1+1）=2lg（an+1）.数列lg(an+1)是公比为2的等比数列.（2）解 由（1）知lg(an+1)=2n-1lg(1+a1) =2n-1lg3=lg.an+1=.Tn=(1+a1)(1+a2)(1+an)=.Tn=,an=-1.3.某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d (d0),因此，历年所
9、交纳的储备金数目a1,a2,是一个公差为d的等差数列.与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1，第二年所交纳的储备金就变为a2(1+r)n-2,.以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.（1）写出Tn与Tn-1(n2)的递推关系式；（2）求证：Tn=An+Bn,其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列.（1）解 我们有Tn=Tn-1(1+r)+an(n2).（2）证明 T1=a1,对n2反复使用上述关系式，得Tn=Tn-1(1+r)+an=Tn-2(1+r)2+an
10、-1(1+r)+an=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+an-1(1+r)+an. 在式两端同乘1+r，得(1+r)Tn=a1(1+r)n+a2（1+r）n-1+an-1(1+r)2+an(1+r). -,得rTn=a1(1+r)n+d(1+r)n-1+(1+r)n-2+(1+r)-an=(1+r)n-1-r+a1(1+r)n-an,即Tn=(1+r)n-n-.如果记 An=(1+r)n,Bn=-n,则 Tn=An+Bn, 其中An是以(1+r)为首项，以1+r（r0）为公比的等比数列；Bn是以-为首项，-为公差的等差数列.回顾总结 知识方法思想课后作业 一、填空题1.数列an是各项
11、均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a6=b7，则a3+a9 b4+b10.(用“”,“”或“=”填空)答案 2.(2008桂林模拟)数列1，的前n项和为 .答案 3.已知一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为 .答案 84.（2009范水高级中学高三期中）在公差不为零的等差数列an中，有2a3-a+2a11=0,数列bn是等比数列，且b7=a7,则b6b8= .答案 165.已知等比数列an的各项均为正数,数列bn满足bn=lnan,b3=18,b6=12,则数列bn前n项和的最大值等于 .答案 1326.（2008衡水调研）设y=f(x
12、）是一次函数，f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列，则f(2)+f(4)+f(2n)= .答案 n(2n+3)7.观察下列数表:12,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15则2 008是此表中的第 行的第 个数.答案 11 9858.（2008福州检测）图（1），（2），（3），（4）分别包含1,5,13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第50个图包含 个互不重叠的单位正方形.答案 4 901二、解答题9.设等差数列an的首项a1及公差d都为整数,前n项和为Sn.（1）若a11=0,S14=98,求数列an的通项公式；（2）若a16,
13、a110,S1477,求所有可能的数列an的通项公式.解 （1）由S14=98，得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0.解得a1=20,d=-2,因此an的通项公式是an=22-2n,（n=1,2,3,）.(2)由，得即.解得-d-,又dZ,故d=-1.10a112,a1Z，故a1=11或a1=12.所以，所有可能的数列an的通项公式是an=12-n和an=13-n,（n=1,2,3）.10.将函数f(x)=sinxsin(x+2)sin(x+3)在区间（0,+）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列an (n=1,2,3,).(1)求数列an的通项公式；（2）设bn=sinans
14、inan+1sinan+2,求证：bn=（n=1，2，3，）.（1）解 f（x）=sinxsin(x+)sin(x+)=sinxcosx=-sinxcosx=-sin3xf（x）的极值点为x=+，kZ，从而它在区间（0，+）内的全部极值点按从小到大排列构成以为首项，为公差的等差数列，an=+（n-1）=，（n=1，2，3，）.（2）证明 由an=知对任意正整数n,an都不是的整数倍.所以sinan0,从而bn=sinansinan+1sinan+20.于是=-1.又b1=sinsinsin=,bn是以为首项，-1为公比的等比数列.bn=（n=1，2，3，）.11.已知Sn是数列an的前n项和，
15、且an=Sn-1+2（n2），a1=2.（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=,Tn=bn+1+bn+2+b2n,是否存在最大的正整数k，使得对于任意的正整数n,有Tn恒成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.解 （1）由已知an=Sn-1+2 得an+1=Sn+2 -，得an+1-an=Sn-Sn-1 (n2),an+1=2an (n2).又a1=2,a2=a1+2=4=2a1,an+1=2an (n=1,2,3,)所以数列an是一个以2为首项，2为公比的等比数列，an=22n-1=2n.(2)bn=,Tn=bn+1+bn+2+b2n=+,Tn+1=bn+2+bn+3+b2(n+1
16、) =+.Tn+1-Tn=+-=.n是正整数，Tn+1-Tn0，即Tn+1Tn.数列Tn是一个单调递增数列，又T1=b2=，TnT1=,要使Tn恒成立，则有,即k6,又k是正整数，故存在最大正整数k=5使Tn恒成立.12.（2008大庆模拟）已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1,nan+1=(n+2)Sn (nN*).(1)求证：数列为等比数列；（2）求数列an的通项公式及前n项和Sn；（3）若数列bn满足：b1=,=(nN*),求数列bn的通项公式.（1）证明 将an+1=Sn+1-Sn代入已知nan+1=(n+2)Sn;整理得=2(nN*).又由已知=1,所以数列是首项为1，公比为2的等比数列.（2）解 由（1）的结论可得=2n-1,Sn=n2n-1，当n2时， an=Sn-Sn-1=n2n-1-（n-1）2n-2=2n-2（n+1）.由已知，a1=1,又当n=1时，2n-2(n+1)=1,an=(n+1)2n-2(nN*).(3)解 由=(nN*),得=+2n-1,由此式可得=+2n-2,=+2n-3,=+23-2, =+22-2.把以上各等式相加得，=2n-2+2n-3+23-2+22-2+b1.b1=,=+,bn=(2n-1) (nN*).191
